固体物理(胡安)课后答案

1、伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 1 第一章第一章第一章第一章晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性 1.1 石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式 格子。 为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元 胞。 解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为 如图点 A 和点 B 的格点在晶格结构中所处的地位不同， 并 不完全等价，平移 AB,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。 1.2 在正交直角坐标系中，若矢量kljlilRl 321 +=，i ，j ，k 为单位向量。 ()3 ,

2、2 , 1=ili为整数。问下列情况属于什么点阵？ （a）当 i l 为全奇或全偶时； （b）当 i l 之和为偶数时。 解： 1 12233 123 l Rl al al a l il jl k =+ =+ ().2, 1, 0, 321 =lll 当l为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当 321 lll+之和为偶数时是面心 立方结构 1.3在上题中若 =+ 321 lll 奇数位上有负离子， =+ 321 lll 偶数位上有正离 子，问这一离子晶体属于什么结构？ 解：是离子晶体，属于氯化钠结构。 1.4（a）分别证明，面心立方（fcc）和体心立方（bcc）点阵的惯用初基元胞 三基矢间夹角相

3、等，对 fcc 为，对 bcc 为 （b）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条 线之间夹角均为 1 cos109 27 3 arc = 1 cos109 27 3 arc = 解:（1）对于面心立方 () 1 2 a ajk=+ ()2 2 a aik=+ ()3 2 a aij=+ 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 2 13 2 2 2 aaaa= () 12 12 12 1 60 2 aa COS aa a a = () 23 23 23 1 60 2 aa COS aa aa = ()13 60COS aa= （2）对于体心立方

4、() 1 2 a aijk= + () 2 2 a aijk=+ () 3 2 a aijk=+ 123 3 2 aaaa= () 12 12 12 1 129 27 3 aa COS aa a a = = () 13 13 13 1 129 27 3 a a COS a a a a = = () 23129 27COS aa= （3）对于金刚石晶胞 () 1 3 4 a ijk=+ () 2 3 4 a ijk= () 2 2 12 12 2 12 2 3 1 4 93 4 a COS a = 1.5证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l）的晶 面族间距为 2 1 2 2 2 22 3 4

5、 + + = c l a khkh d 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 3 证明:aba= 元胞基矢的体积 aai= cos60cos30 13 22 baij aiaj = + = + cck= 2 00 33 0 222 00 a a aa c c = = 倒格子基矢 ) 3 3 ( 22 ji a cb a += = j a ac b 3 342 = = k c ba c 22 = = 倒格矢： * hkl Ghakblc=+ 晶面间距 * 22 2 c lbkah G d hkl hkl + = ()()() 2 222222 222hakblch ak

6、 bl chk abkl bchl ac +=+ 2 2 4 2 3 a a = 2 2 4 2 3 b a = 2 2 2 c c = 2 2 2 3 ab a = 0bc = 0ac = 1 2222 2 222 1 222 2 22 4 24 24 24 2 3333 4 3 hkl dhklhk aaaa hkkll ac =+ + =+ 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 4 1.6证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。 证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体 底心正交点阵的惯用晶胞如图： 1aax= 2 22 ab axy=+ 3acz= 2

7、45 0, 3333 m = 初级晶胞体积: 2 c abc V= 倒易点阵的基矢： 123 211 2 c baaxy Vab = 231 24 y c baa Vc = 312 22 c baaZ Vc = 这组基矢确定的面是正交底心点阵 1.7证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。 证明：倒易点阵初级元胞的体积: c V是初基元胞的体积 () 123 c Vbbb= 123 2 c baa V = 231 2 c baa V = 312 2 c baa V = () 123c Vaaa= 而 () () ()() 2 233112 2 31213112 2 2 c c bbaaaa V

8、 aaaaaaaa V = = () ()()()A BCDA BD CA BC D= 由于( )0 113 = aaa () 2 123121 2 c bbaaaa V = 而() 312c Vaaa= () 2 231 2 c bba V = 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 5 () () () () () 2 1231 1 3 123 2 3 2 2 2 c c c bbba b V aaa V V = = = 或: () () () 3 123 123 2 bbb a aa = 现 在 证 明 ： () bbb bb a 321 12 1 2 = ()

9、bbb bb a 321 13 2 2 = () bbb bb a 321 21 3 2 = 又 () 2 231 2 c bba V = 令 () () () () 21 1 123 2 1 123 2 21 2 c bb c bbb a V bbb = = 又： () () 3 123 2 c bbb V = 代入 () () 3 111 3 2 2 c c V caa V = 同理 () () 2 321 13 2 2a bbb bb c = = () () 3 321 21 3 2a bbb bb c = = 1.8从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。 解： 2cosAB

10、ama=cos1 2 m = 3 0, 22 m = 245 1, 3333 m = 2,2m= 1.9试解释为什么： 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 6 （a）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。 （b）立方晶系中没有底心立方点阵。 （c）六角晶中只有简单六角点阵。 解： （a）因为四方晶系加底心，会失去 4 次轴。 （b）因为立方晶系加底心，将失去3 次轴。 （c） 六角晶系加底心会失去 6 次轴。 1.10证明： 在氯化钠 型离子晶体中 晶面族（ h,k,l ）的衍射强 度为 2 2 , , AB hklAB ff Iff + 当（h,k,l）为

11、偶数时 当（h,k,l）为奇数时 0，其它情况 其中 A f 、 B f分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明 KCL 晶体中 h,k,l 均为奇数的衍射消失？ 证明：Nacl 初基原胞中有Na+和Cl两种离子。 () 1 1 1 r :0,0,0, 2 2 2 i AB A、B 分别代表和。 因此几何结构因子： () () () 112233 123 2 123 2 2 123 123 , , , iii ih xh xh x i i hhh AB AB AB F h h hf e ff e ffhhh ff hhh + + = =+ + = + 为偶 为奇 射强度：() 2 1 23

12、IF hh h,对于 123 hhh+为奇数的衍射面 AB ff=则会消 光。 1.11试讨论金刚石结构晶体的消光法则。 解：金刚石结构中，金刚石单胞有 8 个碳原子，坐标为： () 1 1111 11 1 13 3 33 3 13 1 31 3 3 0,0,0 ,0 ,0, 0, 2 2222 24 4 44 4 44 4 44 4 44 4 4 几何结构因子 () 112233 2 jjj i n h xh xh x hklj Ff e + = ()()() () ()()() 1expexpexp 1 exp 2 exp2expexp1 2 hkl Ffi n hki n kli n l

13、k fi nhkl i n hki n klilh =+ + + 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 7 ()()()()1expsin1coscos 22 hkl nn Ffihklihklnhknkl =+ hkl I()() 2 22 1cossin 22 hkl f hklhkl nn FIhklhkl =+ 衍射强度不为零： （1）nh nk nl 都为基数。 （2）nhnknl 都为偶数（包括零）,且() 1 2 nhnknl+也为偶数。 如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3， 2，1）或（2，2，1）的一级衍射斑，也不可能有（

14、4，4，2）这样的二 级衍射斑点。 1.12证明：在倒易空间中，当 落于一倒格矢垂直平分面上时，发生布拉格 反射。 证明：当波矢满足 2 2 hkkk+= 时有 0 2 h h k kk += 令 hkkk=+ K 刚好是 h k 中垂直面的反射波。 又 1 2 h d k = ,由图知： 2 sinsin 2 h k k = 2 sindm=(其 中 h hkmk= )DE= 1.13试证明：具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量： 0 = 证明： 由DE= 111213 212223 313233 = 各物理量在新旧坐标中： DE= pAD= EAE= 1 DAAEAAE +

15、= (由于对称操作 DE= ) 1 AAAA + = 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 8 x A是绕 X(a)轴转动90是一个对称的操作 100 001 010 x A = y A是绕 Y(b)轴转动90也是一个对称操作 001 010 100 y A = 将代入 AA + = 11 2223 2333 00 0 0 = 再将代入 AA + = 11 11 11 00 00 00 = 1.14若的立方结构如图所示，设 原子的散射因子为 ， 原子的散射因子 为 ， （a）求其几何结构因子? hkl F= （b）找出（h,k,l）晶面族的 X 光衍射强度分别在什么情

16、况下有 2 2 3 AB hkl AB Ff I Ff + (c)设 AB ff=， 问衍射面指数中哪些反射消失？试举出 五种最简单的。 解：结构中，单胞中含有 3 个 B 原子，1 个 A 原子。 () 123 2 jjj i hxkxlx hklj Ff e + = 取() 1 1111 1 0,0,0,0,0,0, 2 2222 2 AB ()()() () ih kik lih l hklAB Fffeee + =+ 当 h+k 与 h+l，k+l 均为偶数时3 hklAB Fff=+ 当 h+k，h+l，k+l 其中两个为奇数，一个为偶数时 hklAB Fff= 当 AB ff=时有

17、 （0，0，1） （0，1，0） （1，0，0） （0，1，1） 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 9 （1，1，0） （1，0，1）衍射面指数的消光。 1.15在某立方晶系的铜射线粉末相中，观察到的衍射角 有下列关系： 128 222222222222 222222222222 3:4 : 8: 11: 12 : 16 : 19 :20 sin:sin.sin 111200220113 222400331420 = =+ + （a）试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数； （b）问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方？ 解： 222 hkl a d hkl

18、= + 又2sin hkl dn= ()()() 222 sin 2a nhnknl = + sin()()() 222 nhnknl+ 128 222222222222 222222222222 3:4 : 8: 11: 12 : 16 : 19 :20 sin:sin.sin 111200220113 222400331420 = =+ + h k l = (1,1,1)(2,0,0)(2,2,0) 该立方晶体是面心立方. 第二章第二章第二章第二章晶体的结合晶体的结合晶体的结合晶体的结合 2.1 导出 NaCl 型离子晶体中排斥势指数的下列关系式： 4 00 2 418 1 kR n e

19、= +(SI 单位) 其中 k 为体变模量，设已知 NaC 晶体的 102 0 2.4 10/,0.281kN mRnm=，求 NaCl 的 n=? 解：NaCl 晶体排斥势指数的关系，设晶体有 N 个元胞。 则晶体的内能：) 6 ( 2 nn r B r A N r b r e NU+ =+ = 其中： 2 eA=， 2 6bB=对于 NaCl 结构 3 2Nrr=， （ 3 2r为元胞的体积） drNrdr 2 6= 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 10 0 2221 0000 1 0 66 r n dudu drduNAnB dVdr dvNrdrNrrr

20、 + = 在 0 r为平衡位置处： 1 0 1 = n r nA B 由 () 4 0 2 2 2 0 2 2 18 1 18 1 00 r en dr ud Nrdr ud rk rr = 1 18 2 4 0 += e kr n （如取 SI）1 184 2 4 00 + = e kkr n 对于 NaCl、CsCl、ZnS 结构a=1.747、1.762、1.638 210 /104 . 2mNk=nmr281 . 0 0 = 可求n 2.2带e 电荷的两种离子相间排成一维晶格， 设 N 为元胞数， B/为排斥势， 为正负离子间最短的平衡值。证明，当 N 有很大时有： （a）马德隆常数2

21、ln2=； （b）结合能( ) 2 00 2ln21 1 4 Ne U R Rn = ; （c）当压缩晶格时，),且，则需做功,其中 () 2 00 21ln2 4 nN Ce R = 解： （a）一维原子链，正负离子的距离为 a，相距为的两个离子间的相互 作用势能： n ij ij ij r b r q ru+= 4 )( 2 Rar jij =(R为邻近间距总离子间的相互作用势 能) = 0 2 , 11 42 )( 2 jj n j n j ji ij a b RaR qN ru N U = 1 j j a u为离子晶格的马德隆常数 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕

22、业生论文 11 += =. 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 j a u . 432 )1ln( 432 +=+ xxx xx 令1=x. 4 1 3 1 2 1 12ln+= 2ln2=u (b) 利用平衡条件0 0 = R dR du n RNq b n1 0 2 2ln = ) 1 (2ln2)( 1 02 n n nR R R NqRu =) 1 1 ( 2ln2 )( 0 2 0 nR Nq Ru= (c)( )()()() 00 2 2 1000 2 1 2 R R dud u u Ru RR RR R dRdR R = =+ 由于外力做的功等于晶体内能的增量，外力做功的主项

23、 ( )()()2 0 2 2 0 0 2 1 RR R dR ud RuRuw= 将()=1 0 RR代入：()= 0 2 212ln 2 1 NRqnw 晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项： () c R qn NR w 2 12ln1 2 1 2 2 0 2 0 = = 设 e =时外力为，外力与晶体(格)的形变成正比. () 0 2NRF=，() ee NRF 0 2=， 为比例函数. () () 0 2 00 00 2 2 00 22 11 22 2 ee NR e ee WFdxNRNR d NRNRF = = 此即为离子链被压缩 0 2 e NR 的过程中外力做功。 ()

24、 eee NR c W 0 2 2 =所以压缩 2N时外力 () 2 0 2 12ln R nq CF e ee = 2.3量子固体 在量子固体中，起主导作用的排斥能是原子的零点能，考虑晶态的一 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 12 个粗略一维模型，即每个氦原子局限在一段长为 L 的线段上，每段内的 基态波函数取为半波长为 L 的自由粒子波函数。 （a） 试求每个粒子的零点振动能； （b）推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式； （c）在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡， 非 常 粗 略 的 给 出 最 近 邻 间 的 范 德 瓦 尔 斯 能

25、 为 ，其中 L 以 cm 表示，求 L 的平衡值。 解：(a)根据量子力学，限制在 L 线段内的自由原子的波函数有 ikx Ae=形式 2 =k又 2 =L的波函数为基态波函数 LL k = 2 2 0 ， 所以基态 波函数 x L i Ae = 0 每个原子的零点动能也就是基态平均动能. 2 2 0 0 * 0 0 0 2 22 * 0 8 2 mL d dx dx d m T L L = = (b) 因零点动能会引起线段的膨胀，为了保持长度为 L 的线段结构， 必 须增加力 3 2 2 2 48mLmLdL d dL Td p = = = 有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量( )UTU

26、L= + U（L）是范德瓦尔斯能： 660 1.610ULerg = (c) 平衡时： 0 2 60 37 00 6 01.610 4 L dU dLmLL = 4804 0 10813 . 5 cmL =的平衡值AL91 . 4 0 = 第三章第三章第三章第三章晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质 3.1在同类原子组成的一位点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同， 其力常数如下图所示相间变化，且 12 .试证明：在这样的系统中，格 波 仍 存 在 着 声 频 支 和 光 频 支 ， 其 格 波 频 率 为 伊犁师范学院物

27、理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 13 () 1 2 2 11 2 12 2 12 4sin 2 11 ka M + = + 解：用 s V和 s r分别表示第 S 个初基原胞中两个原子相对平衡位置的位移. ()() ()() 121 121 sssss sssss MuuVuV MVVuVu + = = 令 ()tskai s ueu = ()i skat s VVe = () () 2 1212 2 1212 0 0 ika ika MueV euMccV += += () () 2 1212 2 1212 0 ika ika Me eM + = + ()() 22 2 1

28、212 ika Me +=+ () 222 12 1212 1 2 2 12 12 2 12 1 2cos 4sin 2 11 ka MM ka M + =+ + = + 3.2具有两维立方点阵的某简单晶格，设原子的质量为 M，晶格常数为 a，最近 邻原子间相互作用的恢复力常数为 c，假定原子垂直于点阵平面作横振动， 试证明：此二维系统的格波色散关系为() 2 22coscos xy Mck ak a= 解：只考虑最近邻作用第（l，m）个原子受四个原子的作用. ()() mlml uucml , 1 :, 1+ + ()() mlml uucml , 1, :, 1 ()() mlml uuc

29、ml ,1, :1,+ + ()() 1, :1, mlml uucml 运动方程：() () mlmlmlmlmlml lm uuuuuuc dt ud m ,1,1, 1, 1 2 2 22+= + 设() 0explmxy uui lk amk at =+ 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 14 () () 2 4 22coscos yy xx ik aik a ik aik a xy c eeee ck ak a = + = 3.3求： （a）一维单原子点阵振动的声子谱密度( ) ，并作图； （b）一维双原子点阵振动的声子谱密度( ) ，并作图. 解：一维

30、单原子链： 1 2sin 2 qa M = ( )( )2/ 2 s L dqdq = 13Sn= （有个 3n 色散关系） 一维单原子链 1S= ( ) 1 2 211 2cos 22 L1 1 cos 2 L aqa M M aqa = = 一维双原子链: () 1 2 22 2 41 11sin 2 mMmM qa mM mM + = + () 1 1 2 2 2 2 41 11sin 2 mMmM qa mM mM + + =+ + () 1 4 2 2 41 11sin 2 mMmM qa mM mM + = + 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 15

31、( ) ()() () 3 2 4 22 3 2 4 2 L 2 1/1/ 2 1414111 1/ 1 1sin2sincos 42222 141411 1/1 1sin2sincos 42222 dd dqdq LmMmMmM qaaqaqa mM mMmM mMmMa qaqaqa mM mM + =+ =+ + + + + + 3.4设某三维晶体光频声子的色散关系为( ) 2 0 qAq=，试证明，其声 子谱密度为 ( ) () 1 2 0min0 3 2 2 0 min , 4 0, 0, V A （截止频率）格波的阻尼系数与的关系. m ar cosh2= 解： 单原子链： ( )

32、i qnaq t n UAe =1qBZ ( ) 1 2sin 2 qqa M =2 m M = 当 m 时 1 sin1 2 qa，q 必定为复数，令 12 qqiq=+ () 121212 11111 sinsincoshcossinh 22222 m qiqaq aarq aiq aq a =+=+ 1 1 cos0 2 q a= 1 11 22 q ah = 1 1 2 2 n qhK aa = 将 1 q a =带入 2 cosh m qiar aa =+ () 2 cosh 2cosh 1 m m iiarnat aa n nar ii t innai t n nai t UAe

33、Ae ee Aeee Ae e + = = = = 2 m arcsh =为指数衰减因子. 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 20 3.9Grneisen 常量. () () () 2 , 2 2 1 1 p nn p n p n UU e f pa pa （a）证明频率为 的声子模的自由能为ln 2sinh 2 B b K T K T ； （b）如果是体积的相对变化，则晶体的自由能可以写为 () ( ) 2 1 ,ln 2sinh 22 B q b q FTBK T K T = + 其中 B体积的弹性模量，假定 ( ) q 与体积关系为 ( ) ( ) = q

34、qd ，为 Grneisen 常量，如果认为 与模 无关，证明，当( ) ( ) 2 coth 2 1 TK q qB B q =时，F 对为 极小，并证明利用热能密度，可将它写为( )/U TB =； （c）根据 Debye 证明： ln lnV = .其中 D B K = ( 解：考虑频率为 的声子模，配分函数为 1 2 0 2 2 22 1. 1 1 B BBB B B BB n K T n K TK TK T K T K T K TK T Ze eee e e ee + = = =+ = = 自由能： = TK TKzTKF B BB 2 sinh2lnln 晶体的自由能为：()( )

35、,ln 2sinh 2 K B K B F r TE rK T K T =+ 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 21 若晶体体积改变为r则 ()() () 0 ,ln 2sinh 2 K B k B rr F rr TE rrK T K T = + +=+ ()( )() ( ) 2 2 2 0 2 1 2 1 2 E E rrE rr r E rB +=+ =+ 2 2 2 0 E Br r = 为体弹性模量. dr r = () () 2 1 ,ln 2sinh 22 K B K B rr FTBK T K T + = + ()( ) ( ) k kk k k

36、k k kkk rrrdr r rr r rr +=+ =+ = 其中 ln ln KK K K r rr = = 为 Grneisen 常数 假定 K 与 k 无关 K = () () ln 2sinh 2 1 coth 22 0 k B K B k k K B rrF BK T K T rr B K T + =+ + =+ = () coth 22 K K K B rr B K T + = 其中 () K K rr + = 1 coth 22 K K K B B K T = 平均热能： 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 22 ( ) 2 2 ln 2sinh

37、2 1 coth 22 r V k B K B k k K B F FT U TFTT TT Tk TK T K T = = = 假定 K 与 T 无关( )/U TB = 由物态方程ln 2sinh 2 K B k TB EdE PK T rdrrK T = = 利用 Deby 近似，将第二项化为： ( ) 2 2 3 3 0 ln 2sinh 2 coth 22 ln coth 22ln D D D B B B BBD DB K TDd K Tr qN K Td K TK Tr qN d rK Tr = = 令 ln lnr = , K B X K T = , K B K = 上式化为：

38、3 3 0 coth 22 T B qTx NK Tx dx r 平均热能： ( ) 3 3 0 1 coth 22 coth 22 k K K B T B U T K T qTx NK Tx dx = = ( ) ( ) 0 U TdE P drr U T P r = + =+ 取 D =时 lnln lnlnrr = = 为正值（Grneisen 常量） 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 23 3.10科恩（Kohn）反常. 假定作用在 l 平面上总的力为方程 () LPP ss P FCUU + = 其中晶面间的力常量 P C为 0 sin P K Pa C

39、A Pa = 式中 A 和 0 K为常数，p 取遍所有整数.在金属中可能有这种形式.利用 此式和晶格振动方程证明其色散关系为( )() 2 2 1 cos P P qCqpa M = = 计算 ( ) 2 q q 的表达式.证明当 0 qK=时， ( ) 2 q q 为无穷大，并讨论 ( ) 2 q的变化情况. 解：若力常数为 P C代入() sPp ss P mUCUU + = 令： ()i qnat s UAe =得： () () 2 0 0 0 2 1 cos sin2 1 cos P P P CPKa M PK a APKa MPa = = pkaapk M A k p sinsin

40、2 0 0 2 2 = 当 0 kk=时= = apk M A k p1 0 2 2 sin 2 右边发散 即： 2 K 说明声子色散关系() 2 K或 ( ) K 曲线在 0 KK=处斜 率出现了垂直的正切变化， 也就是声子色散关系在曲线 0 k处有曲折 （kink）此即 Kohn 反常 3.11软声子模. 设有等质量而电荷交替变号的一维离子链，第 l 个离子的电荷为 ()l l ee1=.原子间的势为两种贡献之和： （1）最近邻离子间的短程弹性 相互作用，力常量为，以及（2）所有离子间的库伦相互作用. 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 24 (a)证明库伦相互

41、作用对原子的力常量的贡献为() 33 2 12 al e C l lc =，其中 a 是最近邻平衡距离. (b)由晶格振动方程推导下列一般的声子色散关系： ( )() 2 0 2 1 cos p p qCqpa M = 证明： 色散关系 可写为() () 2 23 2 1 1 sin11 cos 2 l l m qaqla l = =+ 式中 2 4 m M =，而 2 3 e = (c)证明在布里渊区边界qa=处，若0.475或( )37/4时，则( ) 2 q 是负的（不稳定模） ，这里是 Riemann-Zeta 函数.进而证明，如果 1 2ln20.721 =， 则 对 于 小 的 q

42、a 声 速 为 虚 数 . 所 以 若 0.4750.721，对于在(), 0区间内的某个 qa，( ) 2 q变为零，因而 晶格不稳定.注意，声子谱不是双原子晶格型的，因为任一离子与其近 邻的相互作用与其他离子相同. 解：软声子模 （a） 设离子链沿水平方向，第 n 个离子右端的第 n+p 个离子与第 n 个离子间的库伦力 ()() () 2 ,2 11 npn np n npn e f paUU + + + = + 考虑 n pn UUpa + 将上式 展成 n pn UU + 的级数 () () () 2 , 2 2 1 1 p npn np n UU e fa pa pa + + 第

43、n 个离子左端的第个离子与第 n 个离子间的库伦力 ()() () 2 ,2 11 n pn n p n nn p e f paUU + () () () 2 , 2 2 1 1 p nn p n p n UU e f pa pa 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 25 () () 2 , 33 21 2 p np nnpn pn e fUUU p a + + 库伦力时常数贡献() 2 33 21 pe p a (b) 第 n 个离子的运动方程： () () () () () 11, 1 2 11 3 1 2 21 22 n nnnn P n P P nnnn P

44、n Pn P du muuuf dt e uuuuuu Pa + = + = =+ =+ ()i np qat np UAe + + = ()i qnat n UAe = () () () () () () () () () () 2 2 3 1 3 1 2 23 3 1 211 22 212 1 cos1 cos 4 sin11 cos 2 p iqaiqaipqaipqa p p p p p e eeee mm pa qapqa m pa qae pqa p ma = = = =+ =+ =+ 令 0 4 m = 2 3 e = () () 32 0 cos11 2 sin + = pqp

45、a qap Qa=有 () () ( ) 333 2 3 0 33 11 3 111 121. 357 1 12 21 11 12 2 71 12 8 7 123 8 D m mm m m m m = = = + = + = = = 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 26 ( ) 2 2 0 73 1 4 = ( ) 4 0.475 73 =时 0, 1 2 0,0（软模） 第四章第四章第四章第四章能带论能带论能带论能带论 4.1一维周期场中电子的波函数满足 Bloch 定理，若晶格常数为 a 的电子 波函数为 （a）( )sin K x x a = （b）( )

46、 3 cos K x xi a = （c）( )() K i xf xla + = = f 是某确定的函数，试求电子在这些态的波矢. 解：由( )reRr n Rr i n =+ )( 在一维周期场：()( ) ika KK xaex+= ()() ( ) ( ) 3 cos 3 cos 3 cos k k ika xaixa a ix a ix a x ex +=+ =+ = = = 1 ika e= 35 ,k aaa = ,kk aaa = 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 27 ()()sin sin sin sin k ika xaxa a x a x

47、a ex a +=+ =+ = = 1 ika e= 35 ,k aaa = ()() ()1 k xaf xaa fxa = = +=+ = ()() ( ) ( ) k k ika xaf xa x ex = += = = 1 ika e= 246 0,k aaa =在布里渊区内0k= 4.2试证明，在 函数组成的以为周期势场( )() + = = l laxAxV中，单电子能量 由 下 列 Kronig Penney 关 系 决 定 ： 2 sin coscos maAa kaa a =+ ， 2 2 2mE = ；并用结果说明每一能带曲线均满足()( ) h E kkE k+=当 0

48、AbV= 且 0 V为负数时，它可以认为是单电子在一维 链 中 运 动 的 一 种 良 好 模 型 . ()( ) h E kkE k+= 证明：在 I 区域中：()bxa () () 0 0 ikxikx x ik xik x AeBexa CeDebx + = + 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 28 其中 2mE k= ，() 0 2/Km EVh= 在0 x=处 波 函 数 连 续 且， 连 续 得 ：ABCD+=+ () k ABCD k = 1 11 2 KK CAB KK =+ 1 11 2 KK DAB KK =+ 1 11 2 KK DAB K

49、K =+ 在区域 II() () ()()2, ik a b XexabaXabbxaba + =+ 按 Flogue 定理在区域 和 II 的交界处()xa=，及 必须连续得： () () () () ik a bikaika ik a b ik bik b AeBeeb eCeDe + + += = 代入 C，D 得： () () 1 11 2 1 110 2 ik a bikaik bik b ik a bikaik bik b kk eeeeA kk kk eeeeB kk + + + += () () 1 11 2 1 110 2 ik a bikaik bik b ik a bik

50、aik bik b kk eeeeA kk kk eeeeB kk + + + += 方程有解条件为行列式为零 ()() ()()() 2 coscos4coskkk bkakkk bkakkk ab+=+ 化简得： () () 22 coscossinsincos 2 kk kak bkak bk ab kk + =+ 只有当 22 coscossinsin1 2 kk kak bkak b kk + 才有解，这是对能量本正值 的限制. 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 29 对于 0 Er只需把 kik () Erm k = 0 2 又()cosikbchkb

51、=()sin ikbishkb= () 22 coscossinsincos1 2 kk kakbkakbk ab kk + =+ 当0b 0 r 令 0 0 b r=(常数) ( )() n r xxa = =+ 2 0 br m = 即： 0 2 mr b = 为常数0b() 0 r 0chkbshkbkb 而 () 002 222mrm rE k b =所以在双顶平面波近似下只 有： ()()()()()() () () 1111 1,1,1,11,11,1,1,11,1 2222 CGC kGCGCGC kGCG = () ()() () ()() 1 1,1 2 1 1,1 2 11

52、 1,11,10 22 11 1,11,10 22 G G CGUCG CGUCG = = 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 33 () () 1 1,1 2 1 1,1 2 0 G G = 因为 ()() () 2 222 11 2 1,11,1 22 1 1,1 22 GG G mma = 由行列式：() 2 2 0U= 22 2 UU ma = 4.8平面正六角形晶格（如图）六角形两个对边的间距是 a，基矢为 1 13 22 aaia j=+ 2 13 22 aaia j= + 试画出此晶体的第一、二、三布里渊区. 解：取单位矢量k 垂直 12 ,a a 3

53、 ak= () 2 123 3 2 aaaa = () 23 1 222 3 aa bij aa =+ () 31 2 222 3 aa bij aa = + () 12 3 2 2 aa bk = 在 1 b 、 2 b 平 面 内 选 一 倒 格 点 为 原 点 ， 原 点 最 近 邻 倒 格 矢 有 6 个 () 1212 bbbb+ 、正六边形为第一布里渊区. 4.9用紧束缚方法导出体心立方晶体 s 态电子的能带: ( ) 01 EE8coscoscos 222 y xz s k a k ak a kJJ= 试画出沿 x k方向()0 yz kk=,() x E k和() x V k的

54、曲线. 解:紧束缚 s 态电子能带 t ss EE8coscoscos 222 y xz ss k a k ak a CJ = 用紧束缚方法，只计其最近邻格点作用时 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 34 ( ) t ss EE n iKR s KCe = n R 是最近邻格点 取参考点的坐标()0,0,0, 222 aaa 代入上式 ( ) ()()()() ()()()() ()() 2222 2222 22 2coscos 2 n xyzxyzxyzxyz xyzxyzxyzxyz xyxy iK Rt ssss n aaaa ikkkikkkikkkikkk t sss aaaa ikkkikkkikkkikkk s aa ikkikk t zz sss EKECJe ECJeeee Jeeee kk ECJeae + + + = =+ + =+ ()() 2