2013版高中数学全程复习方略 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理

1、第三节 空间点、直线、平面之间的 位置关系,三年9考 高考指数: 1理解空间直线、平面位置关系的定义； 2了解可以作为推理依据的公理和定理； 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题,1点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点 2.从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力和空间想象能力. 3从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，一般难度不大，属低中档题,1.平面的基本性质,图形,文字语言,公 理 1,如果一条直线上 的_在一个平 面内，那么这条 直线在此平面内,A,B,l,两点,符号语言,图形,文字语言,

2、公 理 2,过不在_ _，有且 只有一个平面,A，B，C三点不 共线,公 理 3,如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 _条过 该点的公共直线,若P且P，则=a，且Pa,C,B,A,P,a,一条直线,上的三点,有且只有 一个平面，使 A,B, C,有且只有一,符号语言,【即时应用】 (1)思考：三个公理的作用分别是什么？ 你能说出公理2的几个推论吗？ 提示：公理1的作用：()判断直线在平面内；()由直线在平面内判断直线上的点在平面内 公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件,公理3的作用：()判定两平面相交；()作两平面的交线；()证明点共线 公理2的三个

3、推论为： ()经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； ()经过两条相交直线，有且只有一个平面； ()经过两条平行直线，有且只有一个平面,(2)判断下列说法的正误.(请在括号中填写“”或“”) 如果两个不重合的平面,有一条公共直线a，就说平面,相交，并记作=a ( ) 两个平面,有一个公共点A，就说,相交于过A点的任意一条直线 ( ) 两个平面,有一个公共点A，就说,相交于A点，并记作=A ( ) 两个平面ABC与DBC相交于线段BC ( ),【解析】根据平面的性质公理3可知对；对于，其错误在于“任意”二字上；对于，错误在于=A上；对于，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC. 答

4、案： ,(3)平面,相交，在,内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面 【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个 答案：1或4,2.空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系,图形语言,符号语言,公共点,平行 直线,ab,个,0,a,b,图形语言,符号语言,公共点,相交 直线,ab=A,个,异面 直线,a,b是异 面直线,个,1,0,A,a,b,b,a,(2)平行公理和等角定理 平行公理 平行于_的两条直线平行用符号表示：设a,b,c为三条直线，若ab,bc，则ac 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应

5、平行，那么这两个角_ _,同一条直线,相等或,互补,(3)异面直线所成的角 定义：已知两条异面直线a,b，经过空间中任一点O作直线aa,bb，把a与b所成的_叫做异面直线所成的角(或夹角) 范围：_.,锐角(或直角),【即时应用】 (1)思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？ 提示：不一定因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行也可能异面；因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，故该结论不一定正确,(2)和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是_. 【解析】画出图形分析. 图中，AB、CD与异面直线a、b都相交，此时AB、CD异面； 图中，AB、AC与异面直

6、线a、b都相交，此时AB、AC相交. 答案：异面或相交,3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系,图形语言,符号语言,公共点,直 线 与 平 面,相交,a=A,个,平行,a,个,在平 面内,a,个,a,A,1,0,无数,a,a,平 面 与 平 面,平行,个,相交,=l,个,无数,0,l,【即时应用】 (1)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 经过三点确定一个平面 ( ) 梯形可以确定一个平面 ( ) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ( ) 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( ) (2)两个不重合的平面可把空间分成_部分,【解析】(1)经过不共线的三点可以确定

7、一个平面， 不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确； 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面， 正确；命题中没有说清三个点是否共线， 不正确. (2)当两平面平行时可分为3部分；绷狡矫嫦嘟皇狈治4部分 答案：(1) (2)3或4,平面的基本性质及其应用 【方法点睛】 考查平面基本性质的常见题型及解法 (1)判断所给元素(点或直线)是否能确定唯一平面，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，此时需要利用公理2及其推论,(2)证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证

8、两平面重合 (3)证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上,(4)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点,【例1】(1)给出以下四个命题 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； 若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,(2)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形 ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD

9、=FAB =90，BCAD且BC= AD，BEAF且BE= AF，G，H分别为FA，FD的中点. 证明：四边形BCHG是平行四边形； C，D，F，E四点是否共面？为什么？,【解题指南】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断. (2)证明BC、GH平行且相等即可；证明EFCH，由此构成平面，再证点D在该平面上,【规范解答】(1)选B.假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.

10、(2)由题设知，FG=GA，FH=HD， 所以GHAD且GH= AD,又BCAD且BC= AD， 故GHBC且GH=BC， 所以四边形BCHG是平行四边形 C，D，F，E四点共面理由如下： 由BEAF且BE= AF，G是FA的中点知， BEGF且BE=GF， 所以四边形EFGB是平行四边形， 所以EFBG.,由知BGCH，所以EFCH， 故EC，FH共面. 又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.,【互动探究】本例第(2)题的条件不变，如何证明“FE，AB，DC交于一点”？ 【证明】由例题可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边形，故可得四边形ECHF为平行四边形 ECHF，且

11、EC= DF 四边形ECDF为梯形 FE，DC交于一点，设FEDC=M MFE，FE 平面BAFE，M平面BAFE,同理M平面BADC 又平面BAFE平面BADC=BA， MBAFE,AB,DC交于一点,【反思感悟】点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，实质上是利用公理3，证明点在两平面的交线上，解题时要注意这种转化思想的运用,【变式备选】如图，空间四边形ABCD中，E， F，G，H分别是AB，AD，BC，CD上的点，设 EG与FH交于点P求证：P、A、C三点共线 【证明】EGFH=P，PEG，EG 平 面ABC ，P平面ABC同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公

12、共点 又平面ABC平面ADC=AC. PAC.P、A、C三点共线,空间中两直线的位置关系 【方法点睛】 判定空间直线位置关系的方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决,【提醒】在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点.,【例2】(1)(2012广州模拟)若a,b是异面直线，b、c是异面直线，则( ) (A)ac (B)a、c是异面直线 (C)a、c相交 (D)a、c或平行或相交或异面

13、,(2)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的 为( ) (A)ACBD (B)AC截面PQMN (C)AC=BD (D)异面直线PM与BD所成的角为45,【解题指南】(1)构造正方体为模型进行判断. (2)结合图形，根据有关的知识逐一进行判断注意本题选择的是错误选项！,【规范解答】(1)选D.如图正方体ABCD- A1B1C1D1中，a,b,c的位置有三种情况: AD=a,CC1=b,A1B1=c; AB=a,A1B1=c,CC1=b; A1D1=a,A1B1=c,CC1=b 故选D.,(2)选C.因为四边形PQMN为正方形，所以PQMN， 又PQ 平面AD

14、C，MN 平面ADC，所以PQ平面ADC. 又平面BAC平面DAC=AC，所以PQAC. 同理可证QMBD.由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故A正确；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上知C错误.,【反思感悟】解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中的条件，不能将问题适当地转化；另外，图形复杂、空间想象力不够、分析问题不到位等，也是常出现错误的原因,【变式训练】设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) (A)若AC与BD共面，则AD与BC共面 (B)若AC与BD是异面直线，则AD与BC是

15、异面直线 (C)若AB=AC，DB=DC，则ADBC (D)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC,【解析】选D.对于A，易知点A，B，C，D共面， 故AD与BC共面，所以A正确；对于B，假设AD与 BC不异面，则可得AC与BD共面，与题意矛盾， 故B正确；对于C，如图，E为BC中点，易证得 直线BC平面ADE，从而ADBC，故C正确； 对于D，当四点构成空间四面体时，只能推出ADBC，但二者不一定相等，故D错误.,异面直线所成的角 【方法点睛】 1.找异面直线所成的角的方法 (1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移,2.求异面直线所成角

16、的步骤 (1)作：通过作平行线，得到相交直线； (2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角； (3)算：通过解三角形，求出该角,【例3】(1)如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB， DF的中点求证：直线ME与BN是两条异 面直线 (2)已知三棱锥ABCD中，AB=CD，且直 线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角.,【解题指南】(1)采用反证法证明； (2)取AC中点P，连PM，PN，利用三角形中位线性质可得PMAB，PNCD，从而得MPN的大小，然后解三角形可得所求角.,【规范解答】(1)假设直线ME与

17、BN共面， 则AB 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF 又ABCD，所以AB平面DCEF 线EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以ABEN又ABCDEF， 所以ENEF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立 所以ME与BN不共面，它们是异面直线.,(2)如图，取AC的中点P.连接PM、PN， 则PMAB，且PM= AB. PNCD，且PN= CD， 所以MPN为AB与CD所成的角 (或所成角的补角). 则MPN=60或MPN=120, 若MPN=60, 因PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角).,又因为AB

18、=CD，所以PM=PN，则PMN是等边三角形， 所以PMN=60,即AB与MN所成的角为60. 若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形. 所以PMN=30, 即AB与MN所成的角为30. 故直线AB和MN所成的角为60或30.,【互动探究】把本例第(2)题中的“直线AB与CD成60角”改为“ABCD”，结果如何？ 【解析】由题意得MPN=90. MPN是等腰直角三角形.PMN=45， 故直线AB和MN所成的角为45.,【反思感悟】1.证明两直线为异面直线时可利用结论“过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线为异面直线”；也可用反证法，即证明这两直线共面时不成立 2.在求异面直

19、线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围，如在 解三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时，必须转化 为(0， 内的角,【变式备选】在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC= 且ADBC，对角线 ，求AC和BD所成的角 【解析】如图，分别取AD、CD、AB、BD的中 点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位线定理知 EFAC，且EF= ，GEBD，且GE= . GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所 成的角.,同理， ，GHAD，HFBC， 又ADBC，GHF=90，GF2=GH2+HF2=1， 在EFG中，EG2+EF2=1=GF2，GEF=90， 即AC

20、和BD所成的角为90.,【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答 【典例】(12分)(2011上海高考改编)已知 ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱， 高AA1=2，求 (1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值； (2)四面体AB1D1C的体积.,【解题指南】(1)利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化为解三角形的问题； (2)利用割补法求体积即可 【规范解答】(1)连BD，AB1，B1D1，AD1.1分,BDB1D1,异面直线BD与AB1所成角为AB1D1(或其补角)，记AB1D1=,3分 由已知条件得AB1=AD1= ， 在AB1D1中，由余弦定理得 cos= 6分 异

21、面直线BD与AB1所成角的余弦值为 .7分 (2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积 12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2012深圳模拟)有下列四个命题： 过三点确定一个平面；矩形是平面图形； 三条直线两两相交则确定一个平面；两个相交平面把空间分成四个区域. 其中，错误的命题是( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选B.若三点共线则不能确定一个平面，故错.对当两两相交的三条直线有公共交点时可能不能确定一个平面，故应选B.,2.(2011四川高考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) (A)l1l2,l2l3 l1l3 (B)l1l2,l2l3 l1l3 (C)l1l2，l2l3 l1,l2,l3共面 (D)l