东大考研信号与系统第五章 复频9-10

1、第五章 连续时间系统的复频域分析,Laplace transform,4、系统函数H(s)及其框图和流图,重点内容：,1、拉普拉斯变换定义、性质和反变换,2、利用拉普拉斯变换分析线性连续系统,3、双边拉普拉斯正、反变换及收敛域,5-9 双边拉普拉斯变换,1、会求一个双边信号的双边拉普拉斯变换及其收敛域,2、会求任一个象函数在不同收敛域下的原函数,一、双边拉普拉斯正变换的计算：,1,收敛区间为Re(s)a,2,a、将左边信号fb(t)反褶后形成的右边信号fb(-t) ；,b、求右边信号fb(-t)的单边LT极其收敛区：,c、 将p=-s带入，得到Fb(s)及收敛区：Fb(s) = F-b(p)

2、|p=-s,Re(p) p,Re(s)- p = b,F(s)= Fa(s) +Fb(s) aRe(s)b,3）当b a时，f(t)的双边LT不存在；,当b a时， f(t)的双边LT存在，其收敛区为aRe(s)b,例：求f(t)=e | t | 的拉普拉斯变换,解：,1）f(t)=et(t) + e- t(-t),2） f a(t)=e t(t),Re(s) ,3) f b(t)=e - t(-t),Re(s) ,Re(s)- , f b(-t)=e t(t),例：求f(t)= e | t |的拉普拉斯变换,2） f a(t)=e t(t),Re(p) ,4) a、当0时，双边LT不存在；,

3、b、 当0时，,收敛区： Re(s)- ,Re(s) ,例：求f(t)=e |t |的拉普拉斯变换,2） f a(t)=e t(t),3) f b(t)=e - t(-t),Re(s)- ,收敛区左边的极点是右边函数带来的，,收敛区右边的极点是左边函数带来的。,如果f(t)本身是右边信号，其单边LT的结果与双边LT结果相同,不同的f(t),可以有相同的LT表达式，只不过其收敛区不同,二、 双边拉普拉斯反变换（L-1T）,Re(s) ,f (t)=e t(t),Re(s) ,f (t)=-e t(-t),部分分式法（Haviside展开法）,Fa(s)只含有收敛区左边的极点，一定属于右边信号的L

4、T；,Fb(s)只含有收敛区右边的极点，一定属于左边信号的LT。,b、求F-b(p)的单边L-1 T，得右边信号f-b(t),f-b(t) =L-1F-b(p),a、 将s=-p带入，得到F-b(p) ：,Fb(s) |s=-p = F-b(p),c、 将右边信号f-b(t)反褶后形成的左边信号fb(t) = f-b(-t) ；,1）Re(s)-1,解：,2） -200Re(s)-1,3） Re(s)-200,留数法,fa(t)=ResL t0 ResL表示左侧极点的留数,fb(t)= -Resr t0 Resr 表示右侧极点的留数,则有L-1Fd(s)， 0= -f(t)，t0,结论：同一F

5、d(s)对应的左边函数fb(t)可以先对Fd(s)求单边反变换fa(t)后再乘以-1得到。,若L-1Fd(s)， 0=f(t)，t0,Re(s) ,f (t)=e t(t),Re(s) ,f (t)=-e t(-t),Rzs(s)=Hd(s)Ed(s),rzs(t)=L-1Rzs(s),三、线性系统H(s)对双边信号e(t)的零状态响应,判断Hd(s)与Ed(s)是否有公共收敛域？,Rzs(s)=Hd(s)Ed(s),例1：已知某因果系统的微分方程为：,求当激励为e(t)=et(-t)时，系统的输出响应r(t),解：,e(t)=et (-t),Re(s)-1,Re(s)1,R (s)=H (s

6、)E (s),-1Re(s)1,第五章 连续时间系统的复频域分析,Laplace transform,4、系统函数H(s)及其框图和流图,重点内容：,1、拉普拉斯变换定义、性质和反变换,2、利用拉普拉斯变换分析线性连续系统,3、双边拉普拉斯正、反变换及收敛域,5-10 线性系统的模拟,4、状态方程,1、 微分方程,2、系统传输函数,3、框图或流图,D(p)r(t)=N(p)e(t),本节要求掌握微分方程、传输函数与框图三者之间相互转化,时域： y(t)=x1(t)+ x2(t) 频域：Y(s)=X1(s)+ X2(s),一、框图模拟的基本运算单元,1、 加法器：,所有输入变量的和等于输出变量,

7、y=x1+x2+x3+x4,时域： y(t)=ax (t) 频域：Y(s)=a X (s),2、标量乘法器：,a=1,a= -1,y=x1-x2-x3+x4,1）初始条件为零：,时域：,频域：,2）初始条件不为零：,时域：,频域：,3、积分器：,积分器单向工作,注意，这里代表积分运算的方框，它们的积分限都是从0到t。,二、线性系统的框图,1、一阶系统,sY(s)=X(s)-a0Y(s),反馈支路,2、二阶系统,3、n 阶系统,全极点系统,把微分方程输出函数的最高阶导数项保留在等式左面，把其它各项一起移到等式右边；,模拟规则：,把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器，一齐送到第

8、一个积分器前的加法器与输入函数相加，加法器的输出就是最高阶导数。,这个最高阶导数作为第一个积分器的输入；,以后每经过一个积分器，输出函数的导数阶数就降低一阶，直到获得输出函数为止；,（1） 二阶微分方程,4、一般n 阶系统,（2）一般n阶微分方程,y(t)=N(p)q(t),D(p)q(t)=x(t),Y(s)=N(s)Q(s),D(s)Q(s)=X(s),1、系统串（级）联,5、其它形式的框图,h(t)= h1(t) * h2(t) * h3(t) * * hN(t),H(s)= H1(s) H2(s) H3(s) HN(s),一对共轭根组成二次实系数多项式,2、系统并联,H(s)= H1(

9、s) + H2(s)+ H3(s) + + HN(s),h(t)= h1(t) + h2(t)+ h3(t) + + hN(t),3、任意系统都可以用一阶或二阶系统的串联、并联或混联的形式表示。,4、一个微分方程描述的系统，可以有不同的模拟框图实现形式；,不同的模拟框图，可能模拟同一个微分方程。,（直接形式，并联形式和级联形式）,例1：,试用几种形式模拟此系统。,直接形式,并联形式,级联形式,X (s),Y(s),例2,直接形式,例2,并联形式,Y(s),X (s),混联形式,混联形式,Y(s),X (s),-2,三、由框图求微分方程或H(s),X(s),例2,E(s),R(s),-,-,-,-,解,求系统函数,8,例3,（1）写出该系统的微分方程式 （2）求阶跃响应r(t) （3）若r(0-)=r(0-)=1，求rzi(t) （4）e(t)=cos(t+/4)，求r(t),（1）写出该系统的微分方程式,例3,r(t)+5r(t)+6r(t)=e(t)+e(t),解,例3,（2）求阶跃响应r(t),例3,（3）若r(0-)=r(0-)=1，求rzi(t),rzi(t)=c1e-2t+c2e-3t,C1=4， C2=-3,rzi(t)=(4e-2t-3e-3t )(t),例3,（4）e(t)=cos(