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1、10.3 格林（Green）公式,一 格林公式 二 格林公式的应用,一 格林公式,否则称为复连通区域。,单连通,复连通,外边界逆时针，内边界顺时针。,定理1,则有,解,（上一节的例3）,例2 求,其中,是以点,为顶点的三角形区域的正向边界。,解,例3 求,其中,是从点,沿曲线,到点,的弧。,解,例4 求,其中,是从原点,经圆周,的上半部分到点,再经圆周,的第一象限部分到点,的弧。,解,例5 求,其中,是圆周,取逆时针方向。,解,例6 求,其中,是一不经过原点的简单,正向闭曲线。,解,记,则,所以,（2）设原点在,所围成的区域 内，,则,从而,二 格林公式的应用,1 利用曲线积分计算平面区域的面

2、积,解,2 平面上曲线积分与路径无关的条件,定理2,则以下四条等价：,证,（1）,（2）：,它所围成的区域记为,所以,由条件（1）有,由格林公式有,（2）,（3）：,由条,件（2）有,即,（3）,（4）：,一动点,则由条件（3）可以构造函数,下证：,事实上，,由于,（ 介于 与 之间）,所以,同理可得,且,（4）,（1）：,因此,于是,所以,注：,上面的证明过程中给出了原函数的构造方法，,即,例8 求,其中,是,从点,沿曲线,的第一象限部分到点,的弧。,解,例9 求,其中,是从点,沿曲线,的上半部分到点,的弧。,解,则,例10 求,的原函数。,解,方法一,（曲线积分法）,原函数为,方法二,（凑微分法）,原函数

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