线性定常连续系统状态方程的解

1、线性定常连续系统状态方程的解求解状态方程是进行动态系统解析和综合的基础，是进行量化分析的主要方法. 本节中讲解的状态方程求解理论是建构在状态空间上且用矩阵代数运算记述的定系数常微分方程解理论。 以下，在基于矩阵代数运算的状态方程解理论中，导入状态迁移矩阵这一基本概念。 这一概念对于我们深入理解系统的动态特性、状态的变迁(动态变迁)等非常有用，必须正确把握并深入理解这一概念。 在研究一般线性稳定连续系统状态方程的解之前，先研究线性稳定态方程的解，然后引入矩阵函数、状态转移矩阵等概念。 齐次状态方程是指在状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用而满足方程式解的齐次性。 研究齐次状态方程的解是研

2、究系统自身没有外力的自由(自律)运动。 非齐次状态方程是状态方程中输入项的作用，状态方程解对输入具有非齐次性。 研究非齐次状态方程的解就是研究外力对系统的强迫运动。 线性稳定一次状态方程的解和差分方程的一次方程式是什么一次方程式是满足解的一次性的方程式，即，如果x是方程式的解，对于任意非零实数a、ax都是该方程式的解。 齐次状态方程是指不考虑输入的下一方程式x=Ax齐次状态方程满足初始状态的解，即基于初始时刻t0的初始状态x(t0 )的无输入强制项(无外力)时的自由运动。 对于上述齐次状态方程，常用的常微分方程求解方法有级数展开法拉尔斯变换法，1 .级数展开法在求解齐次状态方程之前，首先观察标

3、量常微分方程在初始时刻t0=0时的解。 该方程式中的x(t )是标量变量，a是常数。 从常微分方程理论可以看出，这个方程的解是连续微小的。 因此，此解路径泰勒展开可被表示为无穷级数，即，在方程式中，qk (k=1，2，)可被表示为保留级数展开系数。 如果将设定解代入该差分方程，则设定的解是方程式的真正的解，对于任意的t，上式都可以成立。 因此，如果使t的具有相同幂项的各项系数相等，则能够在x(t )的解式中求出t=0，能够确定q0=x(0)，所以x(t )的解式能够写成、和求解上述标量差分方程的级数展开法，所以能够将其解写成t 当将设定解代入该向量状态方程x=Ax时，如果设定解是方程式的真正解

4、，则对于任意的t，上述方程式成立。 因此，如果使t的具有相同次方项的各项的系数相等则能够求出，如果、初始时刻t0=0、初始状态x(0)=x0，则q0=x(0)=x0，所以能够确定状态x(t )，这与标量指数函数的无穷级数展开式类似通过使用该矩阵函数符号，对于此一次状态方程x=Ax，若对在初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0的方程式的两边进行拉氏变换，则一次状态方程的解可写成x(t)=eAtx0、2拉氏变换法或标量函数拉氏其中确定线性状态方程的解x(t )的主要思想是将目标量函数的拉氏变换和逆变换平行于矩阵函数展开。关于标量函数，将上述关系式展开为矩阵函数，其中eAt被称为时间t的矩阵函数，

5、因此，基于上述(sI-A)-1的拉尔斯逆变换，在该一次方程式的解成为x(t)=的初始时刻t00对上述一次状态方程的解进行坐标变换可得到解的另一种表现形式：是状态方程的解实质上一次状态方程的解是初始状态x(t0 )的从初始时刻t0到时刻t的系统运动状态的迁移，其迁移特性和时刻t的状态是矩阵函数和初始状态x(t0，为了方便讨论， 引入了能够描述系统的状态转移特性的线性稳定连续系统的状态转移矩阵如下所示为： (t)=eAt，因此，从具有x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0 )的关系式的解的表现式可知，系统自由运动的轨道线如图3-1所示，在初期、图3-1的状态转移特性是在给出初始状态之后，系统的

6、状态转移特性完全由状态转移矩阵决定。 因此，状态转移矩阵包含了系统自由运动的所有信息。 由此可知，状态转移矩阵的修正运算是一次状态方程求解的关键。 另外，解(1)首先求出矩阵函数eAt，其纠正运算过程例如求出以下状态方程在初始状态x0下的解，(3)在状态方程的解中，(2)纠正矩阵函数eAt。 线性稳态连续系统的状态转移矩阵接着进一步讨论先前引入的状态转移矩阵，主要内容是：基本定义矩阵函数和状态转移矩阵的性质，1 .基本定义是对于线性稳态连续系统x=Ax，当初始时刻t0=0时，满足以下矩阵差分方程和初始条件3360(t)=的在此定义的状态转移矩阵是先前定义的引入上述状态转移矩阵的新定义主要是为了

7、便于把状态转移矩阵的概念传播到时变系统、离散系统等，可以统一地描述各种类型的系统的状态方程解，并且更好地刻画系统的状态运动变化的规律。2 .矩阵函数和状态转移矩阵的性质由矩阵函数的展开式和状态转移矩阵定义，矩阵函数和状态转移矩阵由以下性质(t )为方阵a的状态转移矩阵)1) (0)=eA0=I， 2 )可以证明具有ea的(t s)=(t)(s )式中的t和s是基于2个独立的标量参数证明指数矩阵函数的展开式，3) (t2-t1)-1=(t1-t2)， 下面的等式(4)仅在AB=BA的情况下，e (ab ) t=ea tebt5(6) (t ) n=(nt )7) (t2- t1) (t1- t0

8、)=(t2)成立的x (t2)=(t2- t1) x (t1)=(t2- t1) (t1- t0) x (t1- t0) 求系统的状态转移、例次系统的状态转移矩阵的逆矩阵。 解：由于对该系统求状态转移矩阵是-1(-t)=(t )，所以求状态转移矩阵的逆矩阵在非齐次状态方程的解对线性稳定连续系统有输入作用时，其状态方程初始为如下的非齐次状态方程： x=Ax Bu的状态方程接着，用求解常微分方程的2个方法直接求解法拉氏变换法讨论非齐次状态方程的解和解式的意义输出方程式的解，1 .用直接求解法将状态方程x=Ax Bu转移到项时，如果x-Ax=Bu在上式的左边乘以e-At，则在有e的t0=0时，解x(

9、t )即状态迁移上述非齐次状态方程的解分别为、2 .拉尔斯变换法对该非齐次状态方程的两侧进行拉尔斯变换，在可获得sx ()的上式的两侧进行拉尔斯逆变换，如果利用卷积式，则、上述求解的密钥为式的右边第二项。 回顾一下日式榻榻米卷积的拉氏变换规律。 若将W1(s )和W2(s )分别设为原函数f1(t )和f2(t )的拉氏变换，则f1(t )和f2(t )的日式榻榻米取入的拉氏变换的结果与直接求解法完全相同。 对上述状态方程的求解式利用卷积分式的话，3 .状态方程解的意思根据前面讨论过的非齐次状态方程的解，线性稳定连续系数状态方程的解由两个部分相加构成。 最初的部分是由初始状态产生的自由运动，是

10、系统的初始状态对系统状态的迁移产生的影响，与初始时刻以后的输入无关，称为状态的零输入响应。 第二部分是输入的系统强制运动，其值是输入函数和矩阵函数的日式榻榻米捕获。 因此，无论系统的初始状态如何，它都将称为状态的零状态响应。 另外，状态方程的解析表示系统的任意时刻的状态依赖于系统的初始状态x(t0 )和初始时刻t0以后的输入。 若人为地选择(实施控制)输入信号，则能够以状态空间得到期望的状态轨道。 可替代地，4 .输出方程的解由非齐次状态方程的解x(t )组成，输出方程y=Cx Du的输出响应由三个部分相加组成，或者线性稳定连续系统输出的解由三个部分相加组成。 第1个部分是根据初期状态的自由运动第2个部分是根据输入的系统强制运动。 第三部分是基于直接项的种子文件前向响应。 另外，例如，已知线性稳定系统是通过单位阶跃输入来获得状态方程的解。 由于解是在例3-1中求出的状态迁移矩阵(t )，所以系统状态方程的阶输入u