极值点偏移问题专题――对数平均不等式_第1页
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文档简介

1、极值点偏移对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作建立不等式的方法中看到这样一个不等式链：，不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题对数平均不等式：对于正数，且，定义为，的对数平均值，且有，即几何平均数对数平均数算术平均数，简记为先给出对数平均不等式的多种证法证法1（对称化构造）设，则，构造函数，则由得，且在上，在上，为的极大值点对数平均不等式即，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试证法2（比值代换）令，则，构造函数可证证法3（主元法）不妨设，记，则，得在上，有，左边得证，右边同理可证证法4（积分形式的柯西不等式）不妨设，则由得，；由得，证法5（几何图示法）过上点作切

2、线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即；如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得，即由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题再解例1：即，则（正数，的对数平均数为1），于是，得，且再解例2：即；由得，两式相减得，下面用反证法证明若，则，取对数得，则而由对数平均不等式得，矛盾再解例3：由得，；由对数平均不等式得，得再解练习1：由得，则，得；，已证再解例4：同例1，不再详述再解例5：同例1得到，则再解例7（2）：易得，则，则，再解例8：，得，则，再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为即，则得，则（正数，的对数平均数为1）于是，得，且得，所以，由此可得解练习3：选项D：即，则，所以顺带地，也有极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步：（1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；（3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例例10设函数的两个零点是，求

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