电路的等效变换和一般分析方法

1、2.1线性电阻电路的等效变换 2.2简单电路的分析 2.3支路电流法 2.4节点电压法 2.5网孔分析法 2.6电压源和电流源模型间的等效变换 2.7叠加定理 2.8戴维南定理 本章小结,第二章 电路的等效变换和一般分析方法,2.1线性电阻电路的等效变换,2.1.1 二端网络 1.二端网络的定义 一个网络如果与其它网络连接的外伸连接端钮为两个，就称为二端网络.,又称为单端口网络。若网络中无独立源，则称为无源二端网络；若网络中有独立源，则称为有源二端网络，如图2.1所示。,图2.1二端网络,2.等效二端网络 一个二端网络的端口电压电流关系和另一个二端网络的端口电压、 电流关系相同, 这两个网络叫

2、做等效网络。,2.1.2 电阻的串联及分压公式 在电路中, 把几个电阻元件依次一个一个首尾连接起来, 中间没有分支, 在电源的作用下流过各电阻的是同一电流。 这种连接方式叫做电阻的串联。,图 2.2 电阻的串联,2.分压公式 电阻串联时, 各电阻上的电压为,可见，串联电阻上所得的电压与其电阻值成正比。,2.1.3 电阻的并联及分流公式 1.并联等效电阻 在电路中, 把几个电阻元件首、尾两端分别接到两个节点之间的连接叫做电阻的并联。,图 2.3电阻并联及其等效电路,在图2.3中，KCL和欧姆定律可得,两个电阻并联，通常记为R1/R2。 2.分流公式 并联电阻的电压相等, 各电阻的电流与总电流的关

3、系为,2.1.4电阻的混联,既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路。 对于电阻混联电路， 可以应用等效的概念， 逐次求出各串、 并联部分的等效电路， 从而最终将其简化成一个无分支的等效电路， 通常称这类电路为简单电路； 若不能用串、 并联的方法简化的电路， 则称为复杂电路。 例 2.4 求图2.4所示电路中a、 b两端的等效电阻,图2.4,图2.4的等效电路图,图2.4的等效电路图,解 把图（a）逐步化简，可得图2.6(b)、 (c)、 (d)， 由此可得 Rab=2+3=5,2.1.5电阻Y形和形电路的等效变换 有一些电阻的混连电路,既不属于电阻串联也不属于电阻的并联.如图2.5所示

4、。,图2.5电阻Y形和形连接,将Y形连接等效为形连接,（21）,将形连接等效为Y形连接,（22）,由式（21）可知，当R1=R2=R3时， 有 R12=R23=R31=R ，并有R =3RY 同样，由式（22）可知，当R12=R23=R31时， 有R1=R2=R3=R Y，并有RY=1/3R 例 2.2图2.6(a)所示电路中, 已知Us=225V, R0=1, R1=40, R2=36, R3=50, R4=55, R5=10, 试求各电阻的电流。,图2.6 例2.2题图,解 将形连接的R1, R3, R5等效变换为Y形连接的Ra, Rc、Rd, 如图2.6(b)所示, 求得,图2.6(b)

5、是电阻混联网络, 串联的Rc、R2的等效电阻Rc2=40, 串联的Rd、R4的等效电阻Rd4=60, 二者并联的等效电阻,Ra与Rob串联, a、b间桥式电阻的等效电阻,桥式电阻的端口电流,R2、R4的电流各为,为了求得R1、R3、R5的电流, 从图2.6(b)求得,回到图2.6(a)电路, 得,并由KCL得,2.2简单电路分析,2.2.1单回路电路 所谓的单回路电路是指整个电路只有一个回路，所有的电路元件都串联在这一个回路当中。,进行电路分析的依据为欧姆定律和基尔霍夫定律。对于单回路电路，要求解的电路变量主要是回路电流。 根据欧姆定律和基尔霍夫定律列出两类方程： （1）基尔霍夫定律： UR1

6、-US1+UR2+US2-US3+UR3+UR4+US4=0 （2）欧姆定律 UR1=R1I UR2=R2I UR3=R3I UR4=R4I,解得 上式为全电路欧姆定律。全电路欧姆定律。表明，在多个电压源和多个电阻组成的单回路中，回路电流等于沿回路电流方向上所有电压源的电动势代数和除以回路中所有电阻之和。 2.2.2 单节点偶电路 单节点偶电路就是只有一个节点的电路。电路中所有元件都接在这一对节点之间。 在电路参数已知的情况下，对电路进行分析，求出两节点之间电压和各支路中的电流。,（1）基尔霍夫定律： 对于节点b IR1-IS1+IR2+IS2-IS3+IR3+IR4+IS4=0 （2）欧姆定

7、律 IR1= IR2= IR3= IR4= 解得 其中，G1=1/R1，G2=1/R2，G3=1/R3，G4=1/R4,2.3 支 路 电 流 法,支路电流法以每个支路的电流为求解的未知量。 以图2.7所示的电路为例来说明支路电流法的应用。 对节点a列写KCL方程 节点数为n的电路中, 按KCL列出的节点电流方程只有(n-1)个是独立的。,对节点b列写KCL方程,图2.7 2个节点、3条支路的电路,按顺时针方向绕行, 对左面的网孔列写KVL方程: 按顺时针方向绕行对右面的网孔列写KVL方程: 综上所述, 支路电流法分析计算电路的一般步骤如下: （1） 在电路图中选定各支路（b个）电流的参考方向

8、, 设出各支路电流。 （2） 对独立节点列出(n-1)个KCL方程。 （3） 通常取网孔列写KVL方程, 设定各网孔绕行方向, 列出b-(n-1)个KVL方程。 （4） 联立求解上述b个独立方程, 便得出待求的各支路电流。,例 2.7 图2.7所示电路中, Us1=130V、R1=1、R3=24, Us2=117V、R2=0.6。 试求各支路电流。 解 以支路电流为变量, 应用KCL、KVL列出式并将已知数据代入, 即得,解得I1=10A, I2=-5A, I3=5A。,2.4节 点 电 压 法,节点电压法是以电路的节点电压为未知量来分析电路的一种方法。 在电路的n个节点中, 任选一个为参考点

9、, 把其余(n-1)个各节点对参考点的电压叫做该节点的节点电压。 电路中所有支路电压都可以用节点电压来表示。 对节点1、 2分别由KCL列出节点电流方程:,图2.8 节点电压法,I1+I2-IS1=0 I2-I3+IS2=0 设以节点3为参考点, 则节点1、 2的节点电压分别为U1、 U2。 将支路电流用节点电压表示为 I1=U1/R1=G1U1 I3=U2/R3=G3U2 I2=（U1-U2）/R2=G2（U1-U2）,代入两个节点电流方程中, 经移项整理后得 （G1+G2）U1-G2U2=IS1 -G2U1+（G2+G3）U2=IS2 将上式写成 G11U1-G12U2=IS11 -G21

10、U1+G22U2=IS22 G11、G22分别是节点 1、节点 2 相连接的各支路电导之和, 称为各节点的自电导, 自电导总是正的。,G12=G21是连接在节点1与节点2之间的各公共支路的电导之和的负值, 称为两相邻节点的互电导, 互电导总是负的。Is11、Is22分别是流入节点1和节点2的各电流源电流的代数和, 称为节点电源电流, 流入节点的取正号, 流出的取负号。 当电路中含有电压源支路时, 这时可以采用以下措施: （1） 尽可能取电压源支路的负极性端作为参考点。 （2） 把电压源中的电流作为变量列入节点方程, 并将其电压与两端节点电压的关系作为补充方程一并求解。 ,节点电位法的一般步骤

11、(1) 选取参考节点。 (2) 建立节点电位方程组 。 (3) 求解方程组， 即可得出各节点电位值。 (4) 设定各支路电流的参考方向。 对于只有一个独立节点的电路,写成一般形式,上式称为弥尔曼定理。,例 2.8 试用节点电压法求2.9图所示电路中的各支路电流。,图2.9 例2.8图,解 取节点O为参考节点, 节点 1、2的节点电压为U1、U2, 按式（2.24）得,解之得,取各支路电流的参考方向, 如图2.9所示。 根据支路电流与节点电压的关系, 有,2.5 网孔分析法,采用网孔电流为电路的变量来列写方程, 这种方法称为网孔法。 设想在每个网孔中, 都有一个电流沿网孔边界环流, 其参考方向如

12、图所示, 这样一个在网孔内环行的假想电流, 叫做网孔电流。 各网孔电流与各支路电流之间的关系为,图2.10 网孔法举例,选取网孔的绕行方向与网孔电流的参考方向一致。,经过整理后, 得,方程组可以进一步写成,上式就是当电路具有两个网孔时网孔方程的一般形式。 ,其中: R11=R1+R2、R22=R2+R3分别是网孔 1 与网孔 2 的电阻之和, 称为各网孔的自电阻。因为选取自电阻的电压与电流为关联参考方向, 所以自电阻都取正号。 网孔的自电阻。 因为选取自电阻的电压与电流为关联参考方向, 所以自电阻都取正号。 R12=R21=-R2是网孔 1 与网孔 2 公共支路的电阻, 称为相邻网孔的互电阻。

13、互电阻可以是正号, 也可以是负号。当流过互电阻的两个相邻网孔电流的参考方向一致时, 互电阻取正号, 反之取负号。 Us11=Us1-Us2、Us2=Us2-Us3分别是各网孔中电压源电压的代数和, 称为网孔电源电压。凡参考方向与网孔绕行方向一致的电源电压取负号, 反之取正号。,推广到具有m个网孔的平面电路, 其网孔方程的规范形式为,例 2.8 用网孔法求图2.11所示电路的各支路电流。 解 （1） 选择各网孔电流的参考方向, 如图2.11所示。 计算各网孔的自电阻和相关网孔的互电阻及每一网孔的电源电压。,图2.11 例2.8图,（2） 按式(2.21)列网孔方程组,（3）求解网孔方程组,(4)

14、 任选各支路电流的参考方向, 如图所示。由网孔电流求出 各支路电流:,2.6 两种电源模型的等效变换,1. 两种电源模型的等效条件 对于图2.12(a)， 根据KVL, 有 对于图2.12(b), 根据KCL, 有,则这两种电源模型的外部电压、 电流关系完全相同，因此， 对外电路而言, 它们是等效的。,比较上述两式，若,图2.12 两种电源模型,图2.13 电流源模型等效为电压源模型,图2.13 电压源模型等效为电流源模型,2. 几点说明 （1）电源模型的内部是不等效的。 （2）理想电压源与理想电流源不能相互等效变换。 （3）两种电源模型的等效变换可以进一步理解为含源支路的等 效变换 。 例

15、2.9 如图2.14(a)所示电路， 求电位A,图2.14 例2.9图,解 对于有几个接地点的电路， 可以将这几个接地点用短路线连接在一起， 这样做以后与原来是等效的。 然后应用电阻串、 并联及电源等效变换原理可将图2.14(a)依次等效变换为图2.14(b)、 (c) ， 由图2.14(c)可得,例 2.10 试求图2.15(a)所示电路中的电流I 、I2、I3。,图2.15 例2.10图,解 根据电源模型等效变换原理， 可将图2.15(a)依次变换为图2.15(b)(c)。 根据图2.15(c)可得 从图2.15(a)变换到图2.15(c)， 只有ac支路未经变换， 故知在图2.15(a)

16、的ac支路中电流大小方向与已求出的I完全相同， 即为1 A， 则 再根据图2.15(a)， 有,2.7 叠 加 定 理,叠加定理是线性电路的一个基本定理。 叠加定理可表述如下: 在线性电路中, 当有两个或两个以上的独立电源作用时, 则任意支路的电流或电压, 都可以认为是电路中各个电源单独作用而其他电源不作用时, 在该支路中产生的各电流分量或电压分量的代数和。,图2.16 叠加定理举例,R2支路的电流,使用叠加定理时, 应注意以下几点: （1） 只能用来计算线性电路的电流和电压, 对非线性电路, 叠加定理不适用。 （2） 叠加时要注意电流和电压的参考方向, 求其代数和。 （3） 化为几个单独电源

17、的电路来进行计算时, 所谓电压源不作用, 就是在该电压源处用短路代替, 电流源不作用, 就是在该电流源处用开路代替。 （4） 不能用叠加定理直接来计算功率。 ,例 2.11 图2.17（a）所示桥形电路中R1=2, R2=1, R3=3 , R4=0.5, Us=4.5V, Is=1A。试用叠加定理求电压源的电流I和电流源的端电压U。 ,图2.17 例2.11图,解 (1) 当电压源单独作用时, 电流源开路, 如图2.27（b）所示, 各支路电流分别为,电流源支路的端电压U为,(2) 当电流源单独作用时, 电压源短路, 如图2.27（c） 所示, 则各支路电流为,电流源的端电压为,(3) 两个

18、独立源共同作用时, 电压源的电流为,电流源的端电压为,2.8 戴 维 南 定 理,2.8.1戴维南定理 戴维南定理指出: 含独立源的线性二端电阻网络, 对其外部而言, 都可以用电压源和电阻串联组合等效代替; 该电压源的电压等于网络的开路电压, 该电阻等于网络内部所有独立源作用为零情况下的网络的等效电阻。 下面我们对戴维南定理给出一般证明。,图 2.18 戴维南定理的证明,等效电阻的计算方法有以下三种： （1） 设网络内所有电源为零, 用电阻串并联或三角形与星形网络变换加以化简, 计算端口ab的等效电阻。 （2） 设网络内所有电源为零, 在端口a、 b处施加一电压U, 计算或测量输入端口的电流I

19、, 则等效电阻Ri=U/I。 （3） 用实验方法测量, 或用计算方法求得该有源二端网络开路电压Uoc和短路电流Isc, 则等效电阻Ri=Uoc/Isc。 ,例 2.12 求图2.19（a）所示电路的戴维南等效电路。,图2.19 例2.12图,解 先求开路电压Uoc(如图2.19(a)所示),然后求等效电阻Ri,其中,2.8.2 最大功率传输定理,负载电阻上的功率为,当R变化时， 负载上要得到最大功率必须满足的条件为,图 3.20最大功率传输定理,解得 R=R0,即当R=R0时， 负载上得到的功率最大。 将R=R0代入上式即可得最大功率为,用图3.20 (b)所示的电路， 同样可以在ISC和R0为定值的前提下，推得当R=R0时， 负载上得到的功率为最大， 其最大功率为,用实际的电压源或电流源向负