排列组合知识总结+经典题型

1、(1)知识的整理1 .分类订正数原理(加法原理):完成一件事有好几种方法，第一类有m1种方法，第二类有m2种方法第n类有m3种方法，完成它有不同的方法。2 .步长计数原理(乘法原理):完成一个步长必须分成n个步长，完成第一步长有m-1种不同的方法，完成第二步长有m-2种不同的方法，完成第n步长有m-n种不同的方法特别注意：分类计数的原理与分类有关，注意“类”和“类”之间的独立性和并行性。步骤计数的原理与“步骤”有关，注意“步骤”和“步骤”之间的依赖性和连续性，应用这两个原理3 .排列：从n个不同的元素体中任意取m(mn )个元素体并按一定的顺序排成一列，这被称为一种从n个不同的元素体取出m个元

2、素体的排列。4 .数组数：从n个不同的元素体中取出m(mn )个元素体排列成一列，从n个不同的元素体中取出m个元素体称为一个数组。 从n个不同的元素体中抽出m个元素体的一个排列数，用符号表示。5 .数组公式：特别注意：(1)规定0！=1(2)包含重元素的排列问题关于求出含有相同元素体的排列个数的方法，若设重集s中k个不同的元素体a1，a2，an中的重复数为n1，n2nk，则n=n1 n2 nk，则s的排列个数相等。例如，知道数字3、2、2，求其排列个数，例如求数字5、5、5、其排列个数？ 其排列个数6、一种组合：从n个不同的元素体中任意提取m(mn )个元素体进行组合，从n个不同的元素体中提取

3、m个元素体进行组合。7 .组合公式：8 .两个公式：特别注意：排列和组合的联系和区别衔接：全部从n个不同的元素体中取出m个元素体区别：前者是“排成一列”，后者是“排成一组”，前者有顺序关系，后者没有顺序关系(2)典型例题试验点：排列问题例1.6人按照以下要求横排，各有几种不同的站法？(1)甲不立于两端(2)甲、乙必须相邻(3)甲、乙不相邻(4)甲、乙之间的间隔二人(5)甲、乙站在两端(6)甲不站在左端，乙不站在右端试点：的组合问题选出6名男子运动员、4名女子运动员、其中男女队长各1名. 5名参加比赛。 在以下情况下，各有几种选择方法？(1)男选手3名，女选手2名(2)至少有一名女运动员(3)队

4、长中至少有一人参加既要有队长，也要有女选手试点：综合题例3 .把四个不同的球、四个不同的箱子、球全部装在箱子里(1)有一个刚好不装球的箱子，有几种放法？(2)正好一个盒子里有两个球，一共有几个放法？(3)正好两个箱子不装球，一共有几个放法？当堂考试1.5位男医生、4位女医生中选择3位医生组成一个医疗工作团队，要求其中有男医生和女医生，则共享不同的工作团队方案()。A.70种B.80种C.100种D.140种2、亚洲大比武组委会要从老张、老赵、老李、小罗、王老板五位志愿者中挑选四位从事口译、导游、礼仪、司机四项不同的工作。 其中老张和老赵只能从事前两项工作，那侑三人就能从事这四项工作A.48种B

5、.12种C.18种D.36种3.0、1、2、3、4、5这6个数字中任意取2个奇数和2个双位数，构成没有重复数字的4位的个数是()A.48 B.12 C.180 D.1624 .甲组有5名男学生、3名女生；乙组有6名男学生、2名女生。 从甲、乙两组中各选出2名同学，选出的4人中正好有1名女同学的不同选举法被共有()。A.150种B.180种C.300种D.345种5 .甲、乙两人从4条路线中分别选择2条路线的话，甲、乙选择的路线中至少1条路线会共享不同的选择法()A.6 B.12 C.30 D.36在6.0到9之间的10个数字中，可以构成非重复数字的3位双位数的个数是()A.324 B.328

6、C.360 D.648从7.10名高等院校毕业生中选出3人作为村社长助理，甲、乙至少有1人入选，而丙未入选的不同选择法总数为()A.85 B.56 C.49 D.288 .将甲、乙、丙、丁四名学生分成三个不同的班级，各班级至少分成一个学生，甲、乙两名学生不能分成同一班级时，不同分法的总数为()A.18 B.24 C.30 D.309.3个男生和3个女生的改正6个同学站在一排，男甲不站在两头，在3个女生中，而且只有2个女生相邻，不同的排法的种子数是()A.360 B.288 C.216 D.96参考回答：例1解： (1)方法1 :甲不站在两端，首先甲在正中间的4个位置选择一个，有一个站法，然后，

7、其馀5个人在其他5个位置全部排列有站法，根据阶乘修正数原理，可以共享站法方法2 :甲不站在两端，这两个位置只能从其侑予5人中选2个站，有站法，然后中间4人有站法，根据分阶段的乘法修正数原理，共享站法方法3 :甲方没有限制条件共享种局法，甲方在两端共享种局法，从总数中减去这些个两种情况的排列数，即共享种局法：(2)方法1 :将甲、乙视为一个“整体”，将其视为一个人，与其侑予4人进行全排列有车站法，其次将甲、乙进行全排列有车站法，根据阶段性乘法修正数原理进行共享方法2 :先将甲、乙以外的4人完全排列，有站法，然后从5个中性中选择1个放入甲、乙，有方法，最后将甲、乙完全排列，有方法，共享(3)因为甲

8、、乙不相邻，中间有间隔物，利用“插空法”，第一步是给甲、乙以外的4人立工作团队，站法有的下一步是，再把甲、乙排列成4人组成的5个空档(包括两端)，有站法吗？也可以利用“间接法”，6人全员并排站法，(2)因为知道甲、乙的旁边有站法，所以有不在旁边的站法(4)方法1 :甲、乙以外的4人完全排列，有，其次甲、乙按条件插入车站工作团队，有，因此共享车站法方法2 :先从甲、乙以外的4人中选择2人并排在甲、乙之间的2个位置，然后将甲、乙以及中间的2人排成一个“大”要素和侑下的2人，最后将甲、乙并排，因为有方法，所以共享站法(5)方法1 :首先考虑特殊元素体，甲、乙先站在两端，然后将其他4人全部排列在中间位

9、置，根据某一步乘法改正数原理，共有台站法方法2 :首先考虑两端的两个特殊位置，甲、乙去车站有站法，然后考虑中间的四个位置，其馀四个人去车站有站法，分阶段乘法修正数原理共享站法(6)方法1 :甲在左端的站法有，乙在右端的站法有，甲在左端，乙在右端的站法有a种，共有站法方法2 :按元素体甲分类可分为两类：甲站右端有站法，甲在中间4个位置之一，乙不在右端，因此共有站法例2解(1)第一头地：选出3名男子选手，有选择方法第二步：挑选两名女选手，有选择法共享选择法(2)方法至少一名女选手包括以下情况：一女四男、二女三男、三女二男、四女一男从分类加法计数原理得出的总选择法数就是这样方法2“至少一个女选手”的

10、另一面可以用“全是男选手”间接解开十个人中选五个有选法，其中都有男选手的选法所以“至少有一个女选手”的选择方法(3)方法1 :可以分类求解“只有男队长”的选择方法“只有女队长”的选择方法是“男女队长都入选”的选择方法所以选择法有9分方法2 :间接法：有办法从十个人中选五个人其中有不选择队长的方法。 所以“至少一个队长”的选择方法是. 9分(4)有女队长时，由其他人任意选择，共享选择法。 如果不选女队长，必须选择男队长，共享选择方法。 由于其中不包含女选手的选择法，所以不选择女队长时的选择法共有选择法所以有队长和女选手的选择方法例3解(1)为了保证“正好一个箱子不能装球”，首先从四个箱子中任意取

11、出一个，问题是“四个球，三个箱子，每个箱子都要装球。 一共有几个放手法？ 也就是说，把四个球分成二、一、一三组，然后从三个箱子中选择一个放入两个球，把那个侑预两个球放入另一个箱子中，用阶段性乘法修正原理，共享(2)“正好一个箱子里有两个球”，也就是说，另外三个箱子里有两个球，也就是说，另外三个箱子里正好有一个空箱子，和“正好一个箱子里有两个球”是一样的。(3)有确定两个空箱的方法把四个球放在两个箱子里可以分为(3，1 )、(2，2 )两种，有第一类秩序不均匀分组的方法，有第二类秩序均匀分组的方法因此共有种子本堂查出答案1.5位男医生、4位女医生中选择3位医生组成一个医疗工作团队，要求其中有男医

12、生和女医生，则共享不同的工作团队方案()。A.70种B.80种C.100种D.140种分析：分为2男1女和1男2女2种，合订=70种解题战略：合理的分类和正确的步骤战略。2、亚洲大比武组委会要从老张、老赵、老李、小罗、王老板五位志愿者中挑选四位从事口译、导游、礼仪、司机四项不同的工作。 其中老张和老赵只能从事前两项工作，那侑三人就能从事这四项工作A.48种B.12种C.18种D.36种解析：合理分类，分析有(1)老张和王老板正好有一个入选，先从两个人中选一个，然后把这个人从前两个工作中安排一个，最后把剩下的三个人完全并排选择的方法。 (2)老张和老赵都入选，先安排这两个人，然后从剩下的三个人中

13、选两个人并排。有24 12=36种选择。解题战略：1.特殊因素优先安排的战略。2 .合理分类和准确步骤的战略。3 .排列混合问题，组合先选择后面的战略。3.0、1、2、3、4、5这6个数字中任意取2个奇数和2个双位数，构成没有重复数字的4位的个数是()A.48 B.12 C.180 D.162解析： (1)0，包括步骤1，从其他2个双位数中选择1个，1个方法，2.3个奇数中选择2个，在有方法的3.0中配置1个位置，1个，只能选择10，100位，有方法的4 .其他3个数字进行全排列，排列方法(2)不含0，分阶段、双位数必然为2、4。 奇数有不同的选择法，然后将4个元素体全部排列，共有种列法，有不

14、含0的列法。 根据加法原理把两个部分加在一起解题战略：1.特殊因素优先安排的战略。2 .合理分类和准确步骤的战略。3 .排列混合问题，组合先选择后面的战略。4 .甲组有5名男学生、3名女生；乙组有6名男学生、2名女生。 从甲、乙两组中各选出2名同学，选出的4人中正好有1名女同学的不同选举法被共有()。A.150种B.180种C.300种D.345种解析： 4个人中正好有1个女生的话，这1个女生分为来自甲组还是乙组两种，所有不同的选择方法共有选择方法。解题战略：合理的分类和正确的步骤战略。5 .甲、乙两人从4条路线中分别选择2条路线的话，甲、乙选择的路线中至少1条路线会共享不同的选择法()A.6

15、 B.12 C.30 D.36解析：首先让甲、乙任意选择两种选择方法，然后两人消除大相迳庭状况，两人大相迳庭，让甲选择两种选择方法，乙选择剩下的两种选择方法，因为有大相迳庭选择方法，所以至少一种不同的选择方法是不同的选择方法。解题战略：正难是反、等价转换的战略。在6.0到9之间的10个数字中，可以构成非重复数字的3位双位数的个数是()A.324 B.328 C.360 D.648解析：第一类的二进制位为零，有多种排序方法。第二类二进制位不为零，有不同的解法。解题策略：合理的分类和正确的步骤策略从7.10名高等院校毕业生中选出3人作为村社长助理，甲、乙至少有1人入选，而丙未入选的不同选择法总数为

16、()A.85 B.56 C.49 D.28分析：合理的分类，甲乙都有选择法，甲乙有一个选择法，有不同的选择法，合订=49种不同的选择法。解题战略：(一)优先安排特殊因素的战略；(2)合理分类和准确步骤的策略；8 .将甲、乙、丙、丁四名学生分成三个不同的班级，各班级至少分成一个学生，甲、乙两名学生不能分成同一班级时，不同分法的总数为()A.18 B.24 C.30 D.30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，共享不同的分法，然后三组进行全排列共享不同的方法，然后排除将甲、乙分成一个等级，采取不同的排列方式。 所以，整体的排列方式是种子注意：在此，存在四个要素被分成三个组的分组问题。 也就是说，有几

17、个不同的分组问题。在这里分为有序小组和无序小组，有兴趣的同学可以继续研究，在此不详细叙述。解题战略：1 .正难是反、等价转换的策略2 .处理邻近问题的捆绑软件的策略3 .排列混合问题，组合先选择后面的战略9.3个男生和3个女生的改正6个同学站在一排，男甲不站在两头，在3个女生中，而且只有2个女生相邻，不同的排法的种子数是()A.360 B.288 C.216 D.96分析数组组合的问题，首先要遵循特殊因素优先的原则，先考虑女生的问题，先从三个女生中选择两个，有方法，然后再考虑顺序，即选后面，有方法先这样选择两个女生，然后考虑男生的问题，先考虑三个女生的问题然后，把两个女孩看作一个整体，把另一个女孩看作两个要素插入四个位置。 有不同的列法，有不同的列法。 然后，考虑排除男子甲站两端的状况。甲可能站在左端，也可能站在右端。 有不同的方法。 然后，其他两个男生并排。 最后把女生排在剩下的三个位置，有不