线性系统理论讲义第三章：2单变量系统的实现.ppt

1、1,首先研究单变量系统的可控性、可观性与传递函数零、极点相消之间的关系。,考虑单变量系统，其动态方程为,(3-22)式对应的传递函数为：,一、可控性、可观测性与零极点对消问题,3-2单变量系统的实现,2,定理3-6 动态方程(3-22)可控、可观测的充分必要条件是g(s) 无零、极点对消，即 D(s)和N(s)无非常数的公因式。,证明：首先用反证法证明条件的必要性。若有s=s0 既使N(s0)=0，又使D(s0)=0：,利用恒等式,3,将s= s0代入，可得,将上式前乘 c、后乘 b 后即有,式(1)前乘cA、后乘b，并考虑到(2)的结果后即有,.，依次类推可得,4,这组式子又可写成,因为假设

2、动态方程可观测，上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故,5,考虑到式(1-45)，我们有,这与系统可控的假设相矛盾。,6,矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。,充分性：即若N(s)和D(s)无相同因子，要证明动态方程(3-30),是可控、可观的。用反证法。设系统不是既可控又 可观测的。不妨设 (3-30) 是不可控的。这时可按可 控性分解为(2-36) 的形式，并且可知这时传递函数，,7,在上面的式子中，D(s)是n 次多项式，而D1(s)是n1次多项式，由于系统不可控，所以 n1 n，而N(s)和D(s)无相同因子可消去，显然,这和两者应相等矛盾。同样可

3、以证明动态方程也不可能不可观测。,证完。,8,推 论 单输入系统(A, b)可控的充分必要条件是adj(sIA)b 与D(s)= (s)无非常数公因式;,单输出系统(A, c)可观的充分必要条件是cadj(sIA)与D(s)= (s)无非常数公因式。,对单输出系统亦有类似的结论。,9,零极对消问题小结,一、 若 cadj(sIA)b与A的特征式(s)有公因子ss0 , 则s0 或是不可控模态，或是不可观模态，或是既不可控又不可观的模态； 若 adj(sIA)b与(s)有公因子ss0 , 则s0是不可控模态 若cadj(sIA)与(s)有公因子ss0 , 则s0是不可观模态,10,二、 若 ad

4、j(sIA)与(s)有零、极对消，则 ad(sIA)b 与(s)有零、极对消； c adj(sIA)与(s)有零、极对消； 即使adj(sIA)与(s)无零、极对消，也有可能 adj(sIA)b与(s) 、 c adj(sIA)与(s)都有零、极对消。,但即使消去数值上相同的模态，也未必是既不可控又不可观的模态。见下面的例1：,11,例题 1,不可控模态：1； 不可观模态：1； 既不可控又不可观的模态：无。 adj(sIA)与 (s)有 s=1 对消； adj(sIA)b与(s)有s=1 对消； cadj(sIA)与(s)有s=1 对消。 尽管消去了数值上相同的模态 s=1，但s=1却不是既不

5、可控又不可观的模态。,12,adj(sIA)与(s)无零、极对消，也有可能有既不可控又不可观的模态。见下面的例2。,例题2,不可控模态：3、4, adj(sIA)b 与 (s)可对消 (s3)(s4)； 不可观模态：2、4, cadj (sIA)与 (s)可对消 (s2)(s4)； 既不可控又不可观的模态：4 , (但 adj(sIA)却与(s)无对消！)。,13,总结例1和例2： 既不可控又不可观的模态一定使adj(sIA)b 与(s)有零、极对消，也使cadj(sIA)与(s)有零、极对消； 反之，即使adj (sIA)b与(s)有零、极对消、 cadj(sIA)与(s)有零、极对消，也不

6、一定adj(sIA) 与(s)有零、极对消(例题2), 也不一定有既不可控又不可观的模态(例题1 )。,14,adj(sI-A)与(s)有s-s0对消,有既不可控又不可观的模态s-s0 。,adj(sI-A)b与(s)有s-s0对消， cadj(sI-A)与(s)有s-s0对消。,adj(sI-A)b与(s)有s-s0对消， cadj(sI-A)与(s)有s-s0对消。,反之不成立,反之不成立,15,如何从对消中求既不可控又不可观的模态?,cadj(sIA) 与A的特征式(s)消去的是不可观模态，记为集合 adj(sI-A)b与(s)消去的是不可控模态。将公因式消去后的adj(sIA)b与 (

7、s)分别记为H(s)和1(s) (留下了可控的部分) 若cH(s)和1(s)仍有公因子相消,设消去的模态之集合,记为集合 (这是可控、不可观的部分) 即为既不可控又不可观的模态集合。(不可观的除掉可控、不可观的部分就是既不可控又不可观的部分),16,(3-30) 式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分,所以只需讨论(3-30)式中的严格真有理分式部分。,设给定有理函数,二、有理传递函数的最小实现,17,要求寻找 （A, b, c），使得,并且在所有满足(3-33)式的（A, b, c）中，要求 A 的维数尽可能的小。下面的讨论中总假定g(s)的分子和分母无非常数公因式。,对(3-33)式，

8、可构造出如下的实现 (A ,b,c),问题的提法是：给定严格真有理函数,18,1. 可控标准形的最小阶实现 (3-34)：,具体构造如下：,19,1),20,3),21,(3-42)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于已经假设g(s)无零、极点对消，故可知(3-42)式对应的动态方程也一定是可观的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递函数的分母是n 次多项式的结果。所以(3-42)式给出的就是(3-34)的最小阶动态方程实现。,22,2. 可观标准形的最小阶实现,23,24,25,26,27,28,可控和可观标准型实现小结 在传递函数为即约的条件下，无论是可控还是可观标准型均是最小实现； G(s)实现为可控标准型 (