数学实验练习题及答案(5,6,7)

1、数学实验应用练习题 5数值计算实验 一. 请编程完成下列功能： 1. 用 polyval 请计算多项式函数132 2 xx在节点 0:0.1:3 上的函数值； 2. 绘制这些节点的散点图 参考答案： close all a=2 3 1; v=0:0.1:3; w=polyval(a,v); plot(v,w,+) 二. 某种复合物质的主要成分为 A。经过试验和分析，发现主要成分 A 与其性能指标 E 之 间有一定的数量关系。下面有一组数据。 A 37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 40.5 41.0 41.5 42.0 42.5 43.0 E 3.40 3.0

2、0 3.00 2.27 2.10 1.83 1.53 1.70 1.80 1.90 2.35 2.54 2.90 请编写程序绘出散点图，并用二次多项式函数拟合数据，然后分别预测 A=44，45 时，指标 E 的值。 参考程序： A=37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 40.5 41.0 41.5 42.0 42.5 43.0; E=3.40 3.00 3.00 2.27 2.10 1.83 1.53 1.70 1.80 1.90 2.35 2.54 2.90; plot(A,E,*) a = polyfit(A,E,2); Fnew = polyval(a,4

3、4 45) 参考程序2： % A与其性能指标E之间有一定的数量关系。下面有一组数据。 A=37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 40.5 41.0 41.5 42.0 42.5 43.0; E=3.40 3.00 3.00 2.27 2.10 1.83 1.53 1.70 1.80 1.90 2.35 2.54 2.90; % 请编写程序绘出散点图，并用二次多项式函数拟合数据，然后分别预测A=44，45时，指 标E的值。 a=polyfit(A, E, 2) plot(A,E,o) Enew= polyval(a, 44 45) % AA= linspace(3

4、7, 43,100); hold on plot(AA, polyval(a,AA) 三. 编程调用 fzero 求解方程05432 23 xxx，并将所求根赋给变量 xp。 提示：实验过程 1. 编写一个 function 计算 f 的函数值 2. 调用 fzero 求根（找零点） 参考程序： % 求根函数fzero syms x f = 2*x3-3*x2+4*x-5 % 问题:解方程f(x)=0 fun =inline(vectorize(char(f),x) x = -5:0.1:10; plot(x,fun(x) %绘制函数曲线 xp,val,flag=fzero(fun,2) 注：

5、函数f(x)可以创建一个function文件来表示. 四. 请调用 fsolve 求解下列方程组： 03 01 010 321 2 3211 3 2 21 2 1 xxx xxxx xxxx 参考程序： function testmain x,val,flag=fsolve(fun,1 1 1) function r=fun(x) r=x(1)2+x(1)*x(2)2+x(3)-10; x(1)-x(1)*x(2)+x(3)2+1; x(1)+x(2)+x(3)-3; 注： x,val,flag=fsolve(fun,x0) x 近似解 val 在 x 处函数值 ：等于 fun(x) flag

6、 0 找到近似解；= 20, % (i-1)*h 为当前y(i)对应时刻.到达这个时刻就停止得到 break; end end x = (1:i)*h-h;%时间 plot(x,y,-) 七. 使用函数 quad 求定积分 2 0 3 52 1 dx xx . 参考程序 1：调用 quad 求解程序放在主函数中；被积函数定义为一个子函数， function testmain Q = quad(myfun,0,2) %定义函数 function y = myfun(x) y = 1./(x.3-2*x-5); 参考程序 2：使用 inline 表示被积函数（一个一元函数） f=inline(1.

7、/(x.3-2*x-5),x); Q = quad(f,0,2) 数学实验应用练习题 6优化建模实验 一某化学品生产厂家生产 A、B两种产品, 产一吨 A 产品用 R1资源 3 吨，R2资源 5m3， R3资源 9 件.;产一吨 B产品用 R1资源 4 吨, R2资源 5m3, R3资源 7 件. 一吨 A 产品和 B产 品分别价值 60 万元和 70 万元, 资源 R1、R2、R3现有量分别为 140 吨、180m3和 220 件. 另 外要求生成的 A 产品不低于 4 吨，B产品不低于 3 吨。生产两种产品各多少才能使总价值 最高？请为此建立优化模型并用 linprog 函数求解。 问题分

8、析：可建立最优化模型求解问题。 第一步：将问题抽象为优化模型 目标：生产的 2 种产品的总价值最高； 决策：两种产品的产量 约束条件：三种资源的限制 变量：设 x,y 分别表示生产 A、B两种产品的产量（5 分） 3, 4 22079 18055 14043 . . 7060),(max yx yx yx yx ts yxyxf （目标函数：5 分，条件：5 分） 第二步：调用 Matlab 解线性规划函数 linprog 求解模型 f=-60 -70; A=3 4; 5 5;9 7; b=140;180;220; lb=3 4; ub=inf inf; x,val,flag=linprog(

9、f,A,b,lb, ub) 二求一元函数 x xexxxf sin5 . 0)(在区间-2，10上的一个极小值，并绘出函数图形 标出极小值点。 fun=inline(0.5*x-x.*exp(-x); fplot(fun,-2,10),hold on x0,y0,flag=fminbnd(fun,-2,10) plot(x0,y0,o) 三如果一元函数)(xf在区间-10，10上有多个极小值，请设计实验过程，找出所有的极 小值点。 参考步骤： 绘出函数曲线 观察极值点所在区间 将各个区间端点分别传给函数 fminbnd（多次调用） ，从而找出所有的极小值点。 四 已知函数xexxxy x si

10、n80102001. 05 . 0 )sin(23 ， 请编程找出区间-10,10上的一 个极大值点、极小值点。 参考答案： f = 0.5*x3-0.01*x2+20*x+10*exp(sin(x)+80*sin(x);%函数表达式字符串 f1 = inline(vectorize(f),x) % 创建f(x)函数对象 x = linspace(-10,10,100); plot(x,f1(x),-.) %绘曲线f(x) x,val,flag=fminbnd(f1,-10,10) % 求f(x)极小值点 f2 = inline(vectorize(-,f),x) % 创建-f(x)函数对象

11、x = linspace(-10,10,100); plot(x,f2(x),-.) %绘曲线-f(x) x,val,flag=fminbnd(f2,-10,10)% 求-f(x)极小值点 五某投资者有 10 万元用于投资。他考虑的投资方式及其收益为：储蓄利率 2.5%，债券 5，股票的平均收益为 12%，他设定如下的投资目标： 每年收益不少于 9000 元； 股票投资额不低于 20000 元； 股票投资额不超过储蓄和债券的投资额之和的 2 倍； 储蓄额位于 1000030000 元之间； 聘请你作为顾问，帮助他做出投资决策。 参考答案： 问题分析 这是一个最优化问题，先分析出三要素，然后建立

12、此优化问题的数学表达式， 变量说明 设 x，y，z 分别表示选择储蓄、债券、股票的投资额（单位：万元）. 令向量 T zyxu, 简化问题 假设 10 万元均用于投资. 假设投资方式只有储蓄、债券、股票三种. 建立模型 即得到线性规划模型如下： 10,0 31 )(2 2 9 . 0)( 10 . . 12. 005. 0025. 0max zyx x yxz z uF zyx ts zyxuF 模型求解 模型可改写如下： 102 100 31 10 022 9 . 0)12. 005. 0025. 0( . . 12. 005. 0025. 0max z y x zyx zyx zyx ts

13、 zyxuF 根据上面的模型，可以很方便的编写调用 linprog 函数的求解代码： f=-0.025 0.05 0.12; A=-0.025 -0.05 -0.12; -2 -2 1; b = -0.9; 0; Aeq=1 1 1; beq=10; lb=1 0 2; ub = 3 10 10; optx,optvalue,flag= linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 附. 运行结果： Optimization terminated successfully. optx = 1.0000 2.3333 6.6667 optvalue = -0.9417 flag =

14、1 由程序运行结果可知，预计投资的最大收益为0.9417万元，此时一种最佳投资方案为储 蓄、债券、股票分别投资1、2.3333、6.6667（万元）. 数学实验应用练习题 7随机模拟实验 一请简述用蒙特卡罗法估算定积分的原理，及操作步骤。 二请编程产生区间-10,30上的 2000 随机数，赋给行向量 x. 参考： x=-10+40*rand(1,2000) %或者 x=unifrnd(-10,30,1,2000) 三 编写程序在区域25,100| ),(yxyxD内随机投点， 并绘出投点效果图. 要 求投点个数不低于 10000 个。 实验步骤：实验步骤： 产生随机数表示随机投点坐标 绘图

15、参考程序： N=10000; N=10000; % % 投点个数投点个数 x=10*rand(1,N); x=10*rand(1,N); % % 投点投点x x坐标坐标 y=y=- -5+7*rand(1,N); 5+7*rand(1,N); % % 投点投点y y坐标坐标 - -5,2 5,2 plot(x,y,plot(x,y,.) ) % % 描点描点 四请用蒙特卡罗法估算定积分 2 0 2 dxex x . 基本情况： 所求定积分为一个曲边梯形的面积 S1。设计方法计算该区域的面积. 这里也用 S1表示该曲 边梯形。 方法思路：方法思路： 估算被积函数的最大值：由于被积函数是单调递增的

16、，易知被积函数最大值为 4 2e，令 d= 4 2e; 找一个大矩形包含区域S1，计算矩形区域面积：矩形区域D:dyx0 , 20，设其面 积为S2，易知S2=2d. 令S1= 2 0 2 dxex x ；由定积分的几何意义可知，S1为由曲线x=0,x=2,y=0,y= 2 x ex所围区域 的面积. 由概率知识可知，设向矩形区域内D随机投点，点落在S1的概率p=S1/S2 下面由随机实验方法来估算p；在矩形区域D内随机投N点，设有m个落在x=0,x=2,y=0,y= 2 x ex曲线所围区域内，则点落在S1的概率近似等于频率m/N，即p=S1/S2Nm/ 则S1= 2 0 2 dxex x

17、2 S N m 实验程序：实验程序： N = 10000; x=2*rand(1,N); d=sqrt(2)*exp(4); y= d*rand(1,N); freq=sum(y=x) 参考程序 2： %1. 随机投点 N = 10000; x= 5*rand(1,N); % x= unifrnd(0,5,1,N); y= 3*rand(1,N); % y= unifrnd(0,3,1,N); %2. 绘图 plot(x,y,.) %3. 统计 idxs=find(y=x); num=length(idxs); 六请向直线3, 0, 5, 0yyxx所围平面区域内随机投 10000 个点，绘出

18、投点，并统 计在直线xy 上方的点有多少（赋值给 num） 。 参考程序： N=10000; x=5*rand(1,N); y=3*rand(1,N); plot(x,y,.) idx=find(y=x); num=length(idx) %前2行可以用下列代码完成 num = sum(y=x) 七 已知某物体由圆锥面zxy 22 和半球面zxy 11 22 所围。 该三维立体含 于区域 20 , 11, 11| ),(zyxzyx内。请用蒙特卡罗方法计算体积。 方法思路（略）. （类似与例【5.8】 ， 【5.9】 ，p.141-144） （圆锥面在半球面的下方） 参考程序： functionfunction V= simfun(N)V= simfun(N) ifif nargin = 0 nargin = 0 % % 设置投点个数设置投点个数N N默认值默认值 N = 10000;N = 10000; end