数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--13章

1、第十三章 重积分 习 题 13.1 有界区域上的重积分 第十三章 重积分 习 题 13.1 有界区域上的重积分 1. 设一平面薄板（不计其厚度） ，它在xy平面上的表示是由光滑的简 单闭曲线围成的闭区域 D。 如果该薄板分布有面密度为( , )x y的电 荷，且( , )x y在 D 上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电 荷。 解解 设电荷总量为，则 Q = D dyxQ),(。 2. 设函数在矩形 Df x y( , ) 1 , 0, 0=上有界，而且除了曲线段 yxx=sin , 0外，在 D 上其它点连续。证明在 D 上可 积。 f x y( , )f 证证 设D),( ,),(yx

2、Myxf，将 D 用平行于两坐标轴的直线分成 个小 n 区域，记), 2 , 1(niDi?= 1 max diam i i n D =，不妨设), 2 , 1(kiDi?=将曲 线段sin , 0yxx=包含在内，于是在有界闭区域上连 续，因此在上可积，即 f x y( , ) n ki i D 1+= f x y( , ) n ki i D 1+= 0, 0 1 ，当 1 时， 2 1 += n ki ii 。 而当 kM4 时， 2 22 11 = kMM k i i k i ii 。 取 = kM4 ,min 1 ，当时，就有 =+ = 22 1 n i ii ， 所以在 D 上可积。

3、 f 3. 按定义计算二重积分，其中 Dxydxdy D 1 , 0 1 , 0=。 解解 将D分成个小正方形 2 n ), 2 , 1,( 1 , 1 ),(nji n j y n j n i x n i yxDij?= =， 1 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 取 n j n i ji =,，则 xydxdy D = = = n ji n n ji ijji n ij n 1, 4 1, 1 limlim 4 1 ) 1( 4 11 lim 22 4 =+= nn n n 。 4. 设一元函数在上可积，)(xf,ba,dcba=D。定义二元函数 )(),(xfy

4、xF=，D),(yx。 证明在上可积。 ),(yxFD 证证 将、分别作划分： ,ba,dc bxxxxxa nn = 1210 ? 和 dyyyyyc mm = 1210 ?， 则分成了个小矩形Dnm), 2 , 1, 2 , 1(mjniDij?=。 记 i 是在小区间上的振幅，)(xf, 1ii xx )(F ij 是在上的振 幅，则 F ij D =)(F ij i ， 于是 ,1,11 ( )() nnn ijijiijii i ji ji Fxydc = = = x， 由在上可积，可知 )(xf,ba = n i ii x 1 )0(0，所以 0 ,1 lim( ) n ijij

5、i j F = = 0 1 lim ()0 n ii i dcx = = ， 即在上可积。 ),(yxFD 5 设是D 2 R上的零边界闭区域， 二元函数和在上可积。 证明 ),(yxf),(yxgD ),(),(max),(yxgyxfyxH= 和 ),(),(min),(yxgyxfyxh= 也在上可积。 D 证证 首先我们有 (),(),(),(),( 2 1 ),(yxgyxfyxgyxfyxH+=， (),(),(),(),( 2 1 ),(yxgyxfyxgyxfyxh+=。 2 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 设),(),(),(yxgyxfyx=，将

6、划分成 个小区域Dn), 2 , 1(niDi?=， 利用不等式dbcadcbadcba+)()(，可得 ), 2 , 1()()()(nigf iii ?=+， 于是 ), 2 , 1()()()(nigfH iii ?=+， 所以 = + n i ii n i ii n i ii gfH 111 )()()(0， 由在上可积，可知 gf ,D 0)(lim 1 0 = = n i ii H ， 即在上可积。 ),(),(max),(yxgyxfyxH=D 类似地可得 ), 2 , 1()()()(nigfh iii ?=+， 从而得到),(),(min),(yxgyxfyxh=在D上也可积

7、。 3 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 习习 题题 13.2 重积分的性质与计算重积分的性质与计算 1证明重积分的性质 8。 证证 不妨设，0)(xgM、m分别是在区域)(xf上的上确界、下确界， 由 、性质 1 和性质 3，可得 )()()()(xMgxgxfxmg ， dVxgMdVxgxfdVxgm)()()()( 当，积分中值定理显然成立。当，则 0)(= dVxg0)( dVxg M dVxg dVxgxf m )( )()( ， 所以存在,Mm，使得 = dVxg dVxgxf )( )()( ， 即 =dVxgdVxgxf)()()(。 如果在有界闭区

8、域上连续，由介值定理，存在f，使得 =)(f，所以 。 =dVxgfdVxgxf)()()()( 2根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) 与，其中为 + D dxdyyx 2 )( + D dxdyyx 3 )(Dx轴，y轴与直线 xy+= 1所围的区域； (2) 与 + D dxdyyx)ln( + D dxdyyx 2 )ln(，其中为闭矩形 ,。 D , 3501 解解（1）因为在上成立 D10+ + D dxdyyx 2 )( + D dxdyyx 3 )(。 （2）因为在上成立 ，所以 ，于是 D3xy+ 2 )ln()ln(yxyx+ + D dxdyyx)ln( +

9、D dxdyyx 2 )ln(。 3用重积分的性质估计下列重积分的值： (1) ，其中为闭矩形 ,+ D dxdyyxxy)(D , 0101； (2) + D yx dxdy 22 coscos100 ，其中为区域D( , )| | | |x yxy+10； 1 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (3) dxdxdz xyz1 22 + 2 ，其中 为单位球( , , )|x y z xyz 222 1+。 解解（1）因为在上成立 D2)(0+yxxy，所以 2)(0+ D dxdyyxxy。 （2）因为在上成立 D 100 1 coscos100 1 102 1

10、22 + yx ，所以 2 coscos10051 100 22 + D yx dxdy 。 （3）因为在 上成立 1 1 1 2 1 222 + zyx ，所以 3 4 13 2 222 + zyx dxdxdz 。 4计算下列重积分： (1) ，其中为闭矩形 ,+ D dxdyyyxx)3( 323 D , 0101； (2) ，其中为闭矩形 , + D dxdyxy yx 22 eD , a bc d； (3) dxdydz xyz()+ 3 ，其中 为长方体 , , , 121212。 解解（1） + D dxdyyyxx)3( 323 += 1 0 323 1 0 )3(dxyyxx

11、dy 1) 4 1 ( 1 0 3 =+=dyyy。 （2） + D dxdyxy yx 22 e= d c y b a x dyyedxxe 22 ()() 2222 4 1 cdab eeee。 （3） dxdydz xyz()+ 3 + + = + = 2 1 22 2 1 2 1 3 2 1 2 1 ) 1( 1 )2( 1 2 1 )( dy yxyx dx zyx dz dydx 125 128 ln 2 1 2 1 3 2 4 1 2 1 2 1 = + + + + = dx xxx 。 5在下列积分中改变累次积分的次序： (1) ； dxf x y dyab a b a x (

12、 , )()； (3) ； dxf x y dy x 0 2 0 ( , ) sin (4) ； dyf x y dxdyf x y dx yy 0 1 0 2 1 3 0 3 + ( , )( , ) (5) （改成先方向，再 方向和 方向的次dx dyf x y z dz xx y 0 1 0 1 0 + ( , , )yxz 2 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 序积分） ； (6) dxdyf x y z dz x x xy + 1 1 1 11 2 2 22 ( , , )（改成先 方向，再方向和 方 向的次序积分） 。 xyz 解解（1）。 = b y b

13、 a x a b a dxyxfdydyyxfdx),(),( （2） 2 22 02 ( , ) aax ax x dxf x y dy 22 2 0 2 ( , ) aaay y a dyf x y dx = + + aa yaa dxyxfdy 0 2 22 ),( + a a a a y dxyxfdy 22 2 2 ),(。 （3）。 dxf x y dy x 0 2 0 ( , ) sin = 1 0 arcsin arcsin ),( y y dxyxfdy + 0 1 arcsin2 arcsin ),( y y dxyxfdy （4）=+ yy dxyxfdydxyxfdy

14、3 0 3 1 2 0 1 0 ),(),( 2 0 3 2 1),( x x dyyxfdx。 （5） dx dyf x y z dz xx y 0 1 0 1 0 + ( , , ) 。 = 1 0 1 0 1 0 ),( x dyzyxfdxdz 1 000 ),( zxz dyzyxfdxdz 注：也可写成。 + x xz zx z dyzyxfdxdzdyzyxfdxdz 1 0 1 0 1 0 11 0 ),(),( （6） = + 11 1 1 1 22 2 2 ),( yx x x dzzyxfdydx 1 0 22 22 ),( z z yz yz dxzyxfdydz 。

15、6 计算下列重积分： (1) ，其中为抛物线和直线 D dxdyxy2Dy22=pxx p p= 2 0()所围 的区域； (2) )0( 2 a xa dxdy D ， 其中为圆心在， 半径为 并且和坐 标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域； D( , )a aa (3) ，其中为区域( + D dxdy yx eD, )| | | |x yxy+1； (4) ， 其 中D为 直 线+ D dxdyyx)( 22 yx yxa ya=+=,和 所围的区域； )0(3=aay (5) ，其中为摆线的一拱 D ydxdyD )cos1 (),sin(tayttax=)20( t与x轴所

16、围的区域； (6) + + D dxdyxy yx)( 2 1 22 e1， 其中为直线D1,=yxy和所围的 区域； 1=x (7) ，其中 ； D ydxdyx20, 21,2| ),( 22 xyxxyxyx+=D 3 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (8) ，其中 为曲面xy z dxdydz 23 zxy=，平面yx x=,1和 所围的区域； z = 0 (9) dxdydz xyz(1 3 + ) ， 其中为平面xyz=00,0 2 ) 和 所围成的四面体； 1=+zyx (10) ， 其 中 为 抛 物 面与 平 面 所围的区域； zdxdydz zx

17、y=+ 2 zh h=(0 (11) ， 其 中为 球 体和 dxdydzz 22222 Rzyx+ Rzzyx2 222 + )0(R的公共部分； （12），其中 为椭球体 dxdydzx21 2 2 2 2 2 2 + c z b y a x 。 解解（1） D dxdyxy2= p p p p y p p dy p y pyxdxdyy)( 8 1 2 4 22 2 2 2 2 5 21 1 p。 （2） = = axaxaa dxx xa a dy xa dx xa dxdy 0 2 00 222 2 D = 2 3 ) 3 8 22(a。 （3） + D dxdy yx e=+= +

18、 x x yx x x yx dyedxedyedxe 1 1 1 0 1 1 0 1 e e 1 。 （4） + D dxdyyx)( 22 += y ay a a dxyxdy)( 22 3 4 3 322 14) 3 1 2(adyayaay a a =+=。 （5） D ydxdy= 2 0 3 3 )( 0 2 0 )cos1 ( 2 dtt a ydydx xya 3 2 5 a 。 （6） + + D dxdyxy yx)( 2 1 22 e1 += + 1 )( 2 1 1 1 22 1 y yx dxxeydy 3 2 ( 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 =

19、+= + dyydyeeyyy y y 。 （7） D ydxdyx2 20 49 )( 2 1 22 2 2 1 2 2 = dxxxxydydxx x xx 。 （8）xy z dxdydz 23 364 1 4 1 0 6 1 0 5 0 3 0 2 1 0 = xxyx dyydxxdzzdyyxdx。 4 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （9） dxdydz xyz()1 3 + + = yxx zyx dz dydx 1 0 3 1 0 1 0 )1 ( + = x dy yx dx 1 0 2 1 0 4 1 )1 ( 1 2 1 = + = 1 0

20、4 1 2 1 1 1 2 1 dx x x16 5 2ln 2 1 。 （10）zdxdydz 3 0 2 0 3 1 hdzzdxdyzdz hh z = 。 （11） = R z dxdydzzdxdydzz 0 22 =+= R R R dzzRzdzzRzz 2 222 2 0 22 )()2( 5 480 59 R。 （12） = a a x dydzdxxdxdydzx 22 = a a dx a x xbc)1 ( 2 2 2 bca3 15 4 。 7设平面薄片所占的区域是由直线xyyx=+, 2和 轴所围成，它的 x 面密度为，求这个薄片的质量。 ( , )x yxy=+

21、22 解解 设薄片的质量为m，则 += y y D dxyxdydxdyyxm 2 22 1 0 )(),( 3 4 ) 3 8 44 3 8 ( 1 0 32 =+=dyyyy。 8. 求抛物线与所围图形的面积。 ypx 22 2=+ p0yqxqp q 22 2= +( ,) 解解 联立两个抛物线方程， 解得pqy pq x= =, 2 ， 于是两抛物线所围 的面积为 pqqpdyy pq qp qpdxdyS pa q yq p p y pq pq )( 3 2 )( 0 2 22 22 2 2 += + += 。 9. 求四张平面xyxy=001,1 6 所围成的柱体被平面和z = 0

22、 23xyz+=截的的立体的体积。 解解 设，利用对称性，有 10, 10:yxD = DD ydxdyxdxdy， 于是 2 7 56)326( 1 0 1 0 = ydydxdxdyyxV D 。 10. 求柱面与三张平面1 22 =+ zy0, 0=zxyx所围的在第一卦限的 立体的体积。 5 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解解 设是所围空间区域在Dxy平面的投影，则 D10,0),(=yyxyx， 于是 3 1 111 1 0 2 0 1 0 22 = dyyydxdyydxdyyV y D 。 11. 求旋转抛物面， 三个坐标平面及平面zxy=+ 22

23、xy+= 1所围有界区 域的体积。 解解 设是所围空间区域在Dxy平面的投影，则 D0, 0, 1),(+=yxyxyx， 于是 6 1 22)( 1 0 1 0 2222 =+= x DD dydxxdxdyxdxdyyxV。 12设在f x( )R上连续，为常数。证明 ba, (1) ； dxf y dyf y by dy a b a x a b =( )( )() (2) （） 。 dyef x dxax ef x dx a a x y a x a 000 = ()() ( )()( ) 0a 证证（1）交换积分次序，则得到 = b a b y b a x a b a dyybyfdxd

24、yyfdyyfdx)()()(。 （2）交换积分次序，则得到 = a x a xa y xa a dydxxfedxxfedy 0 )( 0 )( 0 )()( = a xa dxxfexa 0 )( )()(。 13设在上连续，证明 f x( ) 1 , 0 = 1 0 1 0 )()()( 2 dxxfeedxxfedy xx y y y 。 证证 交换积分次序，则得到 = 1 0 1 0 1 0 )()()()( 2 2 dxxfeedyedxxfdxxfedy xx x x y y y y 。 14. 设，证明 1 , 0 1 , 0=D 2)cos()sin(1 22 + D dxd

25、yyx。 证证 +=+ 1 0 1 0 2 1 0 1 0 222 )cos()sin()cos()sin(dxdyydydxxdxdyyx D +=+= 1 0 22 1 0 2 1 0 2 )cos()sin()cos()sin(dxxxdyydxx += 1 0 2 ) 4 sin(2dxx 。 当时，成立 1 , 0 x 1) 4 sin( 2 1 2 + x， 所以 6 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2)cos()sin(1 22 + D dxdyyx。 15设 1 , 0 1 , 0=D，利用不等式1cos 2 1 2 t t （2/|t）证明 1)c

26、os( 50 49 2 dxdyxy D 。 证证 由 1)cos( 2 )( 1 2 4 xy xy ， 易知 1)cos( 2 dxdyxy D ， 另一方面，由于 50 49 2 1 1 2 )( 1 1 0 4 1 0 4 4 = dyydxxdxdy xy D ， 所以 dxdyxy D 2 )cos( 50 49 。 16 设是由Dxy平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域，D在 轴 和 x y轴上的投影长度分别为l和， x ly( , ) 是内任意一点。证明 D (1) D D mlldxdyyx yx )(； (2) 4 )( 22 yx ll dxdyyx D 。 证证（1）

27、 DD dxdyyxdxdyyx)( 。 = D dxdyll yx Dmll yx （2）设D,dcba=D，且 yx lcdlab=,。则 ()()()()xydxdyxydxdy DD xydxdy D = d c b a dyydxx， 由于 ,ba，于是 )()( 2 1 )()( 22 +=+= badxxdxxdxx b a b a ， 222 2 1 )( 2 1 )()()( 2 1 x lababab=+=， 同理可得 7 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2 2 1 y d c ldyy ， 所以 4 )( 22 yx ll dxdyyx D 。

28、 17利用重积分的性质和计算方法证明：设在上连续，则 )(xf,ba b a b a dxxfabdxxf 2 2 )()()(。 证证 由于 = , 2 )()()( baba b a dxdyyfxfdxxf() + , 22 )()( 2 1 baba dxdyyfxf， 由对称性， () =+ , 2 , 22 )(2)()( babababa dxdyxfdxdyyfxf ， = b a b a b a dxxfabdydxxf)()(2)(2 22 所以 。 b a b a dxxfabdxxf 2 2 )()()( 18设在上连续，证明 f x( ), a b 2 , )()(

29、)(ddeabyx baba yfxf 。 证明证明一 将区间等分, 并取,ban, 1iii xx ，则 = , )()( baba yfxf dxdye = = n i f n i f n ii ee n ab 1 )( 1 )( 2 2 )( lim ， 再利用不等式：当（0 i xni, 2 , 1?=）时成立 2 21 21 ) 111 )(n xxx xxx n n +?， （注：上述不等式可由算术平均不小于几何平均得到） 就有 = = n i f n i f ii ee n ab 1 )( 1 )( 2 2 )( 2 )(ab ， 所以 。 2 , )()( )(ddeabyx

30、baba yfxf 证明二证明二 设，由对称性，有 ,baba=D ， = DD dxdyedxdye xfyfyfxf)()()()( 8 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 于是 += DDD dxdydxdyeedxdye xfyfyfxfyfxf 2 1 )()()()()()( = 2 )(ab 。 19设 , 2 , 1, 10 | ),( 21 nixxxx in ?=，计算下列 重积分： n (1) ； + nn dxdxdxxxx? 21 22 2 2 1 )( (2) 。 + nn dxdxdxxxx? 21 2 21 )( 解解（1） + nn d

31、xdxdxxxx? 21 22 2 2 1 )( = n dxdxdxxn? 21 2 1 3 1 0 1 0 2 1 0 1 2 1 n dxdxdxxn n = ?。 （2） + nn dxdxdxxxx? 21 2 21 )( = = n n ji ji dxdxdxxx? 21 1, = = n ji nji dxdxdxxx 1, 21 ? = += nji nji n i ni dxdxdxxxdxdxdxx 1 21 1 21 2 2? =+=+= () （2） D dxdyx，其中D是由圆周所围区域； xyx=+ 22 （3），其中是由圆周所围区域； + D dxdyyx)(D

32、xyx 22 +=+ y （4） + D dxdy yx yx 22 22 1 1 ， 其中是由圆周及坐标轴所围成 的在第一象限上的区域。 Dxy 22 1+= 解解（1）。 + D dxdye yx)( 22 )1 ( 22 0 2 0 R R r erdred = （2） D dxdyx 15 8 cos 5 4 cos 2 0 3 cos 0 2 2 = drdrrd。 （3）+ D dxdyyx)( + += cossin 0 2 4 3 4 )cos(sindrrd 3 1 = 2 sin 3 4 ) 4 (sin 3 4 )cos(sin 0 4 4 3 4 4 4 3 4 4 =

33、+=+ tdtdd。 注：本题也可通过作变换 ) 2 1 0,20(sin 2 1 ,cos 2 1 +=+=rryrx 来求解。 （4） + D dxdy yx yx 22 22 1 1 + = + = 1 0 1 0 2 2 2 0 1 1 41 1 dt t t rdr r r d = = 1 02 1 1 4 dt t t 48 2 。 2. 求下列图形的面积： （1） （()(a xb yca xb yc 111 2 222 2 1+=)=a ba b 1221 0）所围的 区域； （2）由抛物线，直线 ymx ynxmn 22 0=,() yx yx= （4）曲线 x h y k

34、x a y b h ka b+ =+ 4 2 2 2 2 0( ,; ,)0所围图形在xy00,的 部分。 1 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解解（1）作变换 222111 ,cybxavcybxau+=+=，则 1221 ),( ),( baba yx vu = ， 于是面积 12211221 1 ),( ),( baba dudv baba dudv vu yx S DD = = = 。 （2）作变换 x y v x y u=, 2 ，则 v u y v u x=, 2 ， 4 ),( ),( v u vu yx = ，于是面积 = = 4 ),( ),( v

35、 dv udududv vu yx S n m D ) 11 )( 6 1 33 22 mn。 （3）令sin,cosryrx=，则曲线方程可化为极坐标形式3cosar =， 于是面积 = 6 0 22 3cos 0 6 6 3cos33 dardrdS a 2 4 a 。 （4）作变换，则 = = 2 2 sin cos kry hrx 2sin ),( ),( hkr r yx = ，而曲线方程化为 4 2 2 4 2 2 2 sincos b k a h r+=， 于是面积 + = 4 2 2 4 2 2 sincos 0 2 0 2sin b k a h rdrdhkS += 2 0

36、2 0 5 2 2 5 2 2 cossincossin d b k d a h hk = 22 2222 6 )( ba hbkahk+ 。 3. 求极限 lim( , ) + 0 2 1 222 f x y dxdy xy ， 其中在原点附近连续。 f x y( , ) 解解 由积分中值定理， 2 ),(),( 222 fdxdyyxf yx = + ， 其中。 222 + 因为连续，且当f0时，)0 , 0(),(，所以 lim( , ) + 0 2 1 222 f x y dxdy xy )0, 0(f=。 4. 选取适当的坐标变换计算下列二重积分： （1）() + D dxdyyx，

37、其中D是由坐标轴及抛物线xy+=1所围 2 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 的区域； （2） + D dxdy b y a x 2 2 2 2 ，其中是由 i）椭圆D x a y b 2 2 2 2 1+=所围区域； ii）圆所围的区域； 222 Ryx=+ （3），其中是由直线 D ydxdyD0, 2=yx，以及曲线2=y 2 2yyx=所围的区域； （4） + D dxdye yx yx ， 其中是由直线Dxyx+=20,及y = 0所围的区域； （5） + + D dxdy yx yx 2 2 )(1 )( ，其中闭区域1| | ),(+=yxyxD； （6

38、） + D dxdy yxa yx 222 22 4 ，其中闭区域是由曲线Daxay= 22 （）和直线0axy=所围成。 解解（1）作变换 = = yv xu ，则， = = 2 2 vy ux uv vu yx 4 ),( ),( = ，于是 () + D dxdyyx =+= v D duuvdvuvdudvvu 1 0 2 1 0 84)( 15 2 )1 ()1(8 1 0 43 = dvvv。 注：本题也可通过作变换 来求解。 44 sin,cosryrx= （2）i）作广义极坐标变换，则 = = sin cos bry arx abr r yx = ),( ),( ，于是 + D

39、 dxdy b y a x 2 2 2 2 = 1 0 3 2 0 drrdab ab 2 ； ii）利用极坐标变换，得到 + D dxdy b y a x 2 2 2 2 22 422 0 3 2 0 2 2 2 2 4 )(sincos ba Rba drrd ba R + = += 。 （3） D ydxdy 2 20 2 02 x y yx y ydxdyydxdy = = 2 4 sin2 0 2 2 2 0 0 2 sin 3 8 4sinddrrdydydx 2 4sin 3 8 4 2 0 4 = d。 （4）作变换 yx yx vyxu + =+=,，则)1 ( 2 1 ),

40、1 ( 2 1 vuyvux=+=，直接计算得 2),( ),(u vu yx = 。 3 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 由，可得2, 0, 0+yxyx11, 20vu，于是 + D dxdye yx yx e edveudu v 1 2 1 1 1 2 0 = 。 （5）作变换yxvyxu=+=,，则 2 1 ),( ),( , 2 ),( ),( = = vu yx yx vu ，于是 + + D dxdy yx yx 2 2 )(1 )( 612 1 1 1 2 1 1 2 = + = v dv duu。 （6）利用极坐标，得到 + D dxdy yxa

41、yx 222 22 4 = sin2 022 2 0 44 a dr ra r d， 由 += drrararrarddr ra r 222222 22 2 444 4 以及 = = drra r r adr ra raa dr ra r 222 22 222 22 2 4 2 arcsin4 4 )4(4 4 ， 可得 Cra r a r adr ra r += 222 22 2 4 22 arcsin2 4 ， 所以 + D dxdy yxa yx 222 22 4 2 2 0 4 2 16 8 )cos(sin2ada = 。 5. 选取适当的坐标变换计算下列三重积分： （1），其中 为

42、球(； ()xyzdxdydz 222 + , , )|x y zxyz 222 1+ （2）1 2 2 2 2 2 2 x a y b z c dxdydz ，其中 为椭球 +1),( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x zyx； （3）z xy dxdydz 22 + ，其中 为柱面yxx=2 2 及平面 和zzaa=00)所围的区域； ,(y = 0 （4） ()zxyz xyz dxdydz ln 1 1 222 222 + + ，其中 为半球 0, 1| ),( 222 +zzyxzyx； （5），其中 为抛物面与球面()xyzdxdydz+ 2 xya 22 2+=z

43、4 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m xyza 2222 3+=()a 0 所围的区域。 （6），其中 为平面曲线绕 轴旋转一 周形成的曲面与平面 () +dxdydzyx 22 = = 0 ,2 2 x zy z 8=z所围的区域； （7） + dxdydz zyx 222 1 ，其中闭区域 =，； ),(zyx|1) 1( 222 +zyx0, 0yz （8），其中闭区域 = +dxdydzxzyzyxzyx)()(),(zyx| 10, 10, 10+xzyzyxzyx。 解解（1）应用球坐标，则 ()xyzdxdydz 222 + 5 4 sin 1 0 4

44、0 2 0 = drrdd。 （2）应用广义球坐标，则 1 2 2 2 2 2 2 x a y b z c dxdydz = 1 0 22 0 2 0 1sindrrrddabc = 1 0 22 14drrrabc， 令，则 trsin= 1 2 2 2 2 2 2 x a y b z c dxdydz = 2 0 22 sincos4 tdttabc = 2 0 2 0 2 )4cos1 ( 2 1 2sin dttabctdtabcabc 2 4 1 。 （3）应用柱坐标，则 z xy dxdydz 22 + = 2 0 32 0 cos2 0 2 2 0 cos 3 4 dazdzdr

45、rd a = 2 9 8 a。 （4）应用柱坐标，则 ()zxyz xyz dxdydz ln 1 1 222 222 + + += + + = 1 0 222 1 0 22 22 1 0 2 0 )1 (ln2ln 21 )1ln( 2 drrrdz zr zrz rdrd r = 2 1 22 ln 4 2ln 4 tdt )2ln 4 1 2 1 2(ln 2 。 （5）由于 关于平面和yzzx平面都对称，则 ， 0= zxdxdydzyzdxdydzxydxdydz 于是 5 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m ()xyzdxdydz+ 2 +=dxdydzzy

46、x)( 222 ， 应用柱坐标，就有 ()xyzdxdydz+ 2 += 22 2 3 2 22 2 0 2 0 )( ra a r a dzzrrdrd += a rdr a r ra a r rar 2 0 3 6 2 3 22 4 222 24 )3( 3 1 2 32 = a rdr a r a r raraa 2 0 3 64 2 3 22222 242 )3( 3 2 332 = 3 86 55 96 16 6 8 ) 139( 15 4 ) 133(2 a a a a aa = 5 30 973108 a 。 （6）可得 由曲面与平面zyx2 22 =+8=z所围，应用柱坐标，则

47、 () +dxdydzyx 22 = = 4 0 2 3 8 2 4 0 3 2 0 ) 2 8(2 2 dr r rdzdrrd r = 3 1024 。 （7）应用球坐标，则 + dxdydz zyx 222 1 = cos2 000 sinrdrdd = 0 2 cossin2d 3 4 。 （8）作变换xzywzyxvzyxu+=+=+=,，则4 ),( ),( = zyx wvu ， 于是 4 1 ),( ),( = wvu zyx ，所以 +dxdydzxzyzyxzyx)()( 32 1 4 1 ),( ),( 1 0 1 0 1 0 = = wdwvdvudududvdw wv

48、u zyx uvw。 6求球面 和圆柱面所围立体的体 积。 xyzR 222 += 2 )xyRx R 22 0+=( 解解 = + cos 0 22 2 0 222 42 22 R Rxyx rdrrRddxdyyxRV = 2 0 33 )sin1 ( 3 4 dR 3 9 86 R 。 7求抛物面与锥面zx=6 2 y 2 zxy=+ 22 所围立体的体积。 解解 联立两个曲面方程，解得交线所在的平面为2=z，所围空间区域 6 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 在xy平面的投影区域为 4: 22 + yxD， 于是 =+= 2 0 2 2 0 2222 )6()

49、6(rdrrrddxdyyxyxV D 3 32 。 8求下列曲面所围空间区域的体积： （1） x a y b z c ax a b c 2 2 2 2 2 2 2 0+ =( , ,)； （2） )0,(1 22 = + +cba c z b y a x 与三张平面0, 0, 0=zyx所 围的在第一卦限的立体。 解解（1）作变量代换，则 = = = cos sinsin cossin crz bry arx sin ),( ),( 2 abcr r zyx = 。 由于，所以 0 x 3 1 2 )cossin(0,0, 22 ar 。于是 = 3 1 2 )cossin( 0 2 0 2

50、 2 sin a drrddabcV = 0 2 2 2 3 sincos 3 1 ddbca=bca3 3 。 （2）作变量代换，则 = = = cos sinsin cossin 2 2 crz bry arx 2sinsin ),( ),( 2 abcr r zyx = ，于是 3 sin2sin 1 0 2 2 0 2 0 abc drrddabcV= 。 9 设一物体在空间的表示为由曲面与平面所围成 的一立体。其密度为，求此物体的质量。 )(254 222 yxz+=5=z 22 ),(yxzyx+= 解解 设物体的质量为M，则 = 2 0 3 5 2 5 2 0 3 2 0 ) 2

51、 5 5(2),(drrrdzdrrddxdydzzyxM r 8=。 10. 在一个形状为旋转抛物面的容器内， 已经盛有zxy=+ 22 8立方厘 米的水，现又倒入120立方厘米的水，问水面比原来升高多少厘 米。 解解 设容器盛有8立方厘米水时水面的高为 ，则 h 8)( 0 2 2 0 = h drrhrd， 7 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 即4 4 1 2 1 22 =hh，从而解得 （cm） 。 4=h 又设容器盛有128立方厘米水时水面的高为H，则 128)( 0 2 2 0 = H drrHrd， 即64 4 1 2 1 22 =HH，从而解得 16

52、=H（cm） ， 所以水面比原来升高12（cm） 。 11求质量为M的均匀薄片 对 轴上点处的 单位质量的质点的引力。 = + 0 222 z ayx z( , , ) ()0 00cc 解解 设薄片对单位质点的引力为(,) xyz F F F=F，由对称性，。 0= yx FF 在均匀薄片上点的附近取一小块，其面积设为)0 ,(yxdxdyd=，根 据万有引力定律，这小块微元对质点的引力为 33 222222222 22 , ()()() G xGyG c ddxdydxdydxdy xycxycxyc = + F 3 2 ， 于是 = z dFdxdy cyx cG 2 3 222 )(+

53、 ， + = + = a D z cr rdr dcGdxdy cyx cG F 0 2 3 22 2 0 2 3 222 )()( = + = 22 11 2 ca c cG + 22 2 1 2 ca c a MG ， 其中 G 是万有引力常数，M 是均匀薄片的质量，是均匀薄片的密 度。 12已知球体，在其上任一点的密度在数量上等于该 点到原点距离的平方，求球体的质量与重心。 xyzR 222 2+z 解解 设球体的质量为M，则 =+= cos2 0 4 2 0 2 0 222 sin)( R drrdddxdydzzyxM 5 15 32 R。 设重心的坐标为( , , )x y z，由对称性，0= yx。由 =+ dxdydzzyxz)( 2226 cos2 0 5 2 0 2 0 3 8 cossinRdrrdd R = ， 8 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 得到 = + = M dxdydzzyxz z )( 222 R 4 5 ， 所以重心坐标为) 4 5 , 0, 0(R。 13证明不等式 4 sinsin16 )417(2 1 22 22