清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考2

1、习题三习题三 1 1正 常 情 况 下 ， 某 炼 铁 炉 的 铁 水 含 碳 量 XN(4.55,0.1082).现在测试了 5 炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问 总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总 体方差是否有显著变化（ 0.05）？ 解解由 题 意 知 X N(4.55,0.1082),n 5, 0.05 ， u 1/2 u 0.975 1.96，设立统计原假设H 0 : 0 ,H 1 : 0 拒 c u 1/2 绝域为 K 0 x 0 c ，临界值 n 1.960.108/5 0.0947， 由于 x 0

2、4.3644.55 0.186c，所以拒绝H 0 ，总体 的均值有显著性变化. 设立统计原假设 H 0 :2 0 2,H 1 :2 0 2 由于 0 ，所以当 0.05时 1n 22S (X i )20.03694, 0.025 (5) 0.83, 0.975 (5) 12.83, n i1 2 22(5) /5 0.166,c 2 0.975 (5) /5 2.567c 1 0.025 拒绝域为 K 0 s2/ 0 2 c 2或s 2/ 0 2 c 1 由于S2 / 0 23.167 2.567，所以拒绝H 0 ，总体的方差有 显著性变化. 2 2一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h

3、.现 抽测 25 件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命 / 35 XN(100,2)，问这批元件是否合格（ 0.05）？ 解解由题意知 XN(100,2)，设立统计原假设 H 0 : 0 ,H 1 : 0 ,100. 0.05. 拒绝域为 K 0 x 0 临界值为 c u 0.05 c n u 0.05 10025 32.9 由于 x 0 50 c，所以拒绝H 0 ，元件不合格. 3 3某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重 量为 500g，现从某天生产的罐头中随机抽测 9 罐，其重 量分别为 510，505，498，503，492，502，497，506，4 95（g） ，

4、假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是 否正常（ 0.05）？ 2）能否认为这批罐头重量的方差为 25.5 （ 0.05）？ 解解 （1）设 X 表示罐头的重量 (单位：g). 由题意知 XN(,2), 已知 设 立 统 计 原 假设 K 0 x 0 c H 0 : 0 500 , H 1 : 0 , 拒 绝 域 当 0.05时，x 500.89,s2 34.5,s 5.8737 临界值 c t 12 (n1)sn 4.5149，由于 x 0 0.8889c， 所以接受H 0 ，机器工作正常. （2）设 X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知 XN(,2)， 已知 / 35 设立

5、统计原假设 H 0 :2 0 2 5.52 拒绝域为 K 0 s2 0 2 c 1 2, H 1 :2 0 s2 2 0 c 2 当=0.05 时，可得 22x 500.89, s2 34.5, 0.025 (5) 2.7, 0.975 (5) 19.02,c 1 0.3,c 2 2.11 由于 s2 0 21.0138 K 0 ,所以接受 H 0 ，可以认为方差为 5.52. 4 4某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽 查某市 20 个集市上鸡蛋的平均售价为3.399（元/500 克） ，标准差为 0.269（元/500 克）.已知往年的平均售价 一直稳定在 3.25（元/500 克）

6、左右， 问该市当前的鸡蛋 售价是否明显高于往年？（ 0.05） 解解设 X 表示市场鸡蛋的价格（单位：元/克） ，由题 意知 XN(,2) 设立统计原假设 H 0 : 0 3.25,H 1 : 0 , 拒绝域为 K 0 x 0 c 当 x 3 =0.05 1 时 9 c ， ,n0. 临界值3 n9 由于 x 0 3.399 蛋售价明显高于往年. 3.250.149 c.H 0 ，当前的鸡所以拒绝 5 5已知某厂生产的维尼纶纤度 X 2N(,0.048 )，某日 抽测 8 根纤维，其纤度分别为 1.32，1.41，1.55，1.36， / 35 1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生

7、产的维尼纶纤度的方 差是否明显变大了（ 0.05）？ 2 解解由题意知 XN(,0.0482)，0.05 设立统计原假设 H 0 :2 0 2 0.0482, H 1 :2 0 2 0.0482 拒绝域为K 0 s2 0 2 c， 当0.05时， 22x 1.4213, s2 0.0055, 0.95 (7) 14.07, c 0.95 (7) 7 2.0096 由于 s2 0 2 2.3988 c，所以拒绝H 0 ，认为强度的方差明 显变大. 6 6某种电子元件,要求平均寿命不得低于 2000h，标 准差不得超过 130h.现从一批该种元件中抽取 25 只,测得 寿命均值 1950h ,标准

8、差 s 148h.设元件寿命服从正态分布， 试在显著水平 =0.05 下, 确定这批元件是否合格. 解解设 X 表示电子元件的平均寿命（单位：h） ，由题 意知 XN(,2) 设立统计原假设 H 0: 0 =2000，H 1 ： 0 拒绝域为 K 0 x 0 c 当 0.05时，x 1950,s 148, 临界值 c t(n1)sn 50.64 由于 x 0 50 c，所以接受H 0 ，即这批电子元件的 寿命是合格的. / 35 7 7 设 X ,X 12 ,.,X n 为来自总体 XN ( ,4)的样本，已知对 X2 统计假 H 0 :1;H 1 :2.5 的拒绝域为 0 .1）当 n9 时

9、，求犯两类错的概率 与 ；2）证明：当 n 时， 0， 0. 解解（1）由题意知 X N ( ,4), H 0 :1;H 1 :2.5, K 0 X2 ,n9. 犯第一类错误的概率为 P X21P X12 1 991.51(1.5) 0.0668. 22 犯第二类错误的概率为 P X22.5P X2.522.5 990.75 22 N (1, 4) ( 0.75) 1(0.75) 0.2266. （2）若H 0 :1成立，则X n P(否定H 0 H 0成立)=P X0 c1P X 0 c1( nc 0 ) 当 n 0 ( n) n时 ， ( nc 0) 1 ， 所 以 同理 n =P X 0

10、 +c =( n( 0 +c 1)/0 )()=0 (n) 8 8设需要对某一正态总体 N ( ,4)的均值进行假设检验 H 0： = 15，H1： 0时 ,由题意知 H 0 : 0 ;H 1 : 1 0 ; 犯 第 一 ， 二 类 错 误 分 别 为 , ， 则 有 P(X 0 |c) 0 c 0 1 u n P(X 0 c| 1) P( X 1 0 n u 1 1 0n | 1) 0 u 1 u 1 2 1 0 1 0 0 2 n u 1 u 1 n n u 1 u 1 2 0 0 1 0 （2）当 1 0时 由题意知 H 0 : 0 ,H 1 : 1 0 ，犯第一，二类错误分 别为,，则

11、有 / 35 P(X 0 c| 0 ) c u 0 n n u P(X 0 c| 1) P( u 1 u X 1 0 0 1n | 1) 0 2 2 0 1 1 0n u 1 u 1 0n n u 1 u 1 2 0 0 1 0 X 1 ,., X 17 1010设为总体 XN( 0, 2)样本，对假设： H 0 :2 9,H 1 :2 2.905的 拒绝域为 K 0 s2 4.93. 求犯第类错误的概率和犯第 类错的概率 . 解解由题意知 X 统 计 假 设 为 K 0 s2 4.93 N(0,), 2 ns2 2 2(n). H 0 :2 9,H 1 :2 2.905 .拒 绝 域 为 则

12、犯第一，二类错误的概率,分别是 17s2 174 17s2174 P s 4 9 P P 7.304 0.025 9999 2 17s174 P s2 42 3.319 1 P 20.48810.75 0.25 3.319 3.319 22 1111设总体是密度函数是 x1,0 x 1 f (x;) 0,其他 统计假设 H 0 :1,H 1 : 2.现从总体中抽取样本X 1 , X 2 ,拒 绝域 3 4X 1 X 2 ，求：两类错误的概率, 解解由题意知 / 35 3 H 0 :1;H 1 : 2,K 0 X 2 ,n 2. 4X1 1,0 x 1,x2 1 当 1时，f (x;1)1.X

13、U(0,1), f (x 1,x2 ) 0,其他 此 P 3 X 2 1 4X 1 时 3 x2 4x1 f (x 1,x2 )dx 1dx2 0.250.75ln 0.75. 当 2时，f (x;2) 此时 P 2x,0 x 1 4x x ,0 x 1,x2 1 .f (x 1,x2 ) 12 0,其他0,其他 3 X 2 2 4X 1 3 x2 4x1 f (x 1,x2 )dx 1dx2 99 ln0.75. 168 1212设总体 X 统计假设： N(,2)，根据假设检验的基本原理，对 H 0 : 0 ,H 1 : 1( 0 ) (已知)；H 0 : 0 ,H 1 : 0 （未知） ，

14、 试分析其拒绝域. 解解由题意知 X 立时 PX c 0 P X 0 / n cc 1 /n / n N(,2),当H 0 : 0 ,H 1 : 1( 0 ) 成 c u 1 ,c u 1 ,K 0 X 0 c /nn 所以拒绝域为 K 0 X 0 c 当H 0 : 0 ,H 1 : 0 成立时 X 0 c c P(X c 0 ) P(X 0 c) P nn n / 35 c n ,c n ,K 0 X 0 c 所以拒绝域为K 0 X 0 c 1313设总体 X 计假设： （1） 22H 0 :2 0 ,H 1 :2 0 (已知) N(,2)根据假设检验的基本原理，对统 ； （2） 22H 0

15、 :2 0 ,H 1 :2 0 (未知) 试分析其拒绝域. 解解由题意知 X N(,2) （1）假设统计假设为 H 0: 2= 0 2,H 1: 2 0 2 其中已知 2 s 当H 0 成立时，拒绝域形式为 K 0 = 2 c 0 由 ns2 2 = ns2 0 2 ns2 (n)，可得=P 2 nc 0 2 所 以 21 s K 0 = 2 2n ( 1- ) n 0 2nc= 1-(n) ， 由 此 可 得 拒 绝 域 形 式 为 （2）假设统计假设为 H 0: 2 0 2 其中未知 当 (n - 1 s2) H 0 成 立 时 ， 选 择 拒 绝 域 为 2 s K 0 = 2 c 0

16、， 由 2 2(n 1 ) / 35 22 n1sn1s 得 P n1 c P n1 c 22 0 所以(n1)c 1 2 (n1) ，由此可得拒绝域形式为 21 s 2K 0 = 2 1-(n1) 0 n1 1414从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含灰率 （%）为,甲:24.3, 20.8, 23.7, 21.3, 17.4, 乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服从正态分布且 2 1 2= 2 ， 问 甲 、 乙 两 煤 矿 的 含 灰 率 有 无 显 著 差 异 （=0.05）？ 解解由题意知 XN( 1, 2),YN( 2 ,2) 设统计假设为 H 0:1

17、= 2;H1:1 2 其中n 1 =5,n 2 =4 当=0.05时 2(n 1 1)s 1 2(n 2 1)s 2s w 2.3238,t 1/2 (n 1 n 2 2) 2.3646 n 1 n 2 2 临界值 c=t 1-2 (n 1+n2 2)s w 1/ (n 1 1 n 2 ) 3.6861 拒绝域为K 0 x y c 3.6861 而 x y 3.5c,接受H0,认为没有差别 . 1515设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比 甲零件制造简单，造价也低 .经过试验获得它们的抗拉 / 35 强度分别为（单位：2） ： 甲：88，87，92，90，91乙：89， 89，90，84，

18、88 假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且 =. 2 1 2 2 问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高（=0.05）？ 解解由题意知 XN( 1, 2),YN( 2 ,2) 设统计假设为 H 0:1 = 2;H1:1 2 ，其中n 1 =5,n 2 =5 当=0.05时 2(n 1 1)s 1 2(n 2 1)s 2s w 2.2136,t(n 1 n 2 2) 1.86, n 1 n 2 2 临界值 c=t 1-2 (n 1+n2 2)s w 1/ (n 1 1 n 2 ) 2.2136 拒绝域为K 0 x y c 2.2136 而 x y 1.6c，所以接受H 0 ，认为甲的抗拉强度 比

19、乙的要高. 1616甲、乙两车床生产同一种零件 .现从这两车床产 生的产品中分别抽取 8 个和 9 个，测得其外径（单位： ） 为： 甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1， 15.2，14.8 乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0， 14.8，15.1，14.8 假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否 / 35 比甲车床的高（=0.05）？ 解解由题意知 XN( 1, 2),YN( 2 ,2) 设统计假设为 H 0:1 2 2 2;H 1:1 2 2 2，其中n 1 =8,n 2 =9 2当=0.05时s x 20.0955,s y

20、 0.0261 ， 临 界 值 c F (n1 1,n 2 1) 0.2684 22 s x s x 拒绝域为 K 0 2 c，而F 2 3.6588 c，接受H 0 ， s y sy 认为乙的精度高. 1717要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两 种轮胎中各取 8 个，各取一个组成一对，再随机选取 8 架飞机，将 8 对轮胎磨损量（单位： ）数据列表如下： x i （甲 ） y i 4952556063768648 0020002040605070 4949515761687950 3000400010803010 （乙 ） 试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？(=0.05). 假定

21、甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足 X 且两个样本相互独立. 解解由题意知 XN( 1, 2),YN( 2 ,2) N( 1, 2),YN( 2 ,2) 设统计假设为 H 0:1 = 2;H1:1 2 ，其中n 1 =n 2 =n=8 / 35 当=0.05时，令 1n 2 Z X Y,z 320,s z z102200,s Z 319.69,t 1/2 (n1) 2.3646 n1 i1 2 Z 拒绝域为K 0 z c，临界值c=t 1-2 (n1)s Z n 2138 而 z 320c，所以接受H 0 ，认为两种轮胎耐磨性无显 著差异. 取样本 X ：4.4，4.0，2.0，4.8 Y ：6.

22、0，1.0，3.2，0.4 1）能否认为 1 2 (=0.05)? 2 ）能否认为 1 2 2 2 (=0.05)？ 解解 (1) 由题意知 XN( 1, 2),YN( 2 ,2) 1818设总体 XN( 1, 2),YN( 2 ,2), 由两总体分别抽 设统计假设为 H 0:1 = 2;H1:1 2 ，其中n 1 =n 2 =4=n 1n 令Z X Y，则有z 1.15,s (z z) 9.0233， n1 i1 2 z 2 当=0.05时，c=t 1-2 (n1) 3.1824，c=t 1-2 (n1)s Z /n 4.78 拒 绝 域 为 接受H 0 ,认为 1 2. K 0 z c ，

23、 而 z 1 . 1c5， 所 以 (2) 由题意知 XN( 1, 2),YN( 2 ,2) 设统计假设为 H 0:1 2=2;H 1:1 22，其中n 1 =n 2 =4=n 22 2其中s x 21.5467,s y 6.4367，拒绝域为 22 s x s x K 0 2 c 1或 2 c 2 s y sy 临界值 c 1 F /2 (n 1 1,n 2 1) 0.0648, c 2 F 12 (n 1 1,n 2 1)15.4392 / 35 2s X而F 2 0.2403,接受H 0 ,认为 1 2 2 2. s Y 1919从过去几年收集的大量记录发现，某种癌症用 外科方法治疗只有

24、 2%的治愈率.一个主张化学疗法的医 生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数 据证实他的看法，他用他的方法治疗200 个癌症病 人，其中有 6 个治好了.这个医生断 言这种样本中的 3% 治愈率足够证实他的看法 .（1）试用假设检验方法检验 这个医生的看法； （2）如果该医生实际得到了 4.5%治愈 率，问检验将证实化学疗法比外科方法更有效的概率是 多少？ 解解(1) 记 每 个 病 人 的 治 愈 情 况 为 X ， 则 有 XB ( 1 , p ) 设 统 计 假 设 为 n 2 0 0,0 . 0 H 0:p p0 =0.02; H 1:p p0 0.02 ， 其 中 拒 绝

25、 域 为 K 0 x p 0 c ， 临 界 值 c 1 p 0 (1 p 0 ) 0.0163 n 而 x p 0 0.01 c,拒绝H 0 ,不能认为p 0.02. (2)不犯第二类错误的概率 1 PX u 1 p 0 (1 p 0 ) p 0 p 4.5% n / 35 由 XB(1, p) ，可得 EX p, DX p(1 p) n 由中心极限定理得 u 1 p 0 (1 p 0 ) n p 0 p X p 1 Pp 4.5% p(1 p) np(1 p) n 1.645 2%(12%) 200 2%4.5% 1 4.5%(14.5%) 200 0.72 2020在某公路上，50 之间

26、，观察每 15s 内通过的汽 车数，得下表 通过的汽车数量 次数 f 问能否认为通过的汽车辆数服从泊松分布（=0.10）？ 解解设统计假设为 01234 5 926828111 0 H 0 :F(x) F 0 (x),H 1F(x) F0 (x),n 200. 0.10 14 若H 0成立, X j j 0.805. n j0 j p j P(x j) e j1,2,3,4 ,则有 j! 记 / 35 p 0 e e0.805 0.4471,p 1 0.805* p 0 0.3599, p 2 0.805 * p 1 0.1449 2 40.8050.805 p 3 * p 2 0.0389,

27、 p 4 * p 3 0.0078, p 5 1p j 0.0014, 34 j0 检验统计量的值为 2 n j0 5 j np j np j 2 2 2.1596 1 2 (mr 1) 0.95 (4) 9.848 不拒绝H 0 ,认为X P(),且 0.805. 2121对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100 次抽样检 验，测得 100 数据分组列表如下： 组限 频数 组限 频数 10.93 10.95 5 11.01 11.03 17 10.95 10.97 8 11.03 11.05 6 10.97 10.99 20 11.05 11.07 6 10.99 11.01 34 11.07 1

28、1.09 4 试对螺栓的口径 X 的分布做假设检验（ =0.05）. 解解设 X 表示螺栓的口径， X F(x)，统计假设为 N(,2)，分布函数为 H 0 : F(x) F 0 (x), H 1 : F(x) F 0 (x)，其中n 100, 0.05,r 2 在H 0成立的情况下，计算得 1818 2 X x j v j 11.0024, (x j )2v j 0.001018 8 i1 8 i1 由 X X 11.0024 0.00319 N(0,1) 得 / 35 x 0 10.9311.0024 2.2689, 0.00319 ,x 8 11.0911.0024 2.7452 0.0

29、0319 所以 p 1 (x 1)(x0 ) 0.0386, p 8 (x 8 )(x 7 ) 0.0140 检验统计量的值为 2 n j1 8 (v j np j )2 np j 213.825 1 2 (mr 1) 0.95 (5)11.07 由此应该拒绝H 0 ,不能认为X N(,2). 2222检查产品质量时，每次抽取 10 个产品检验，共抽 取 100 次，得下表： 次品数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数35 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0 问次品数是否服从二项分布（ =0.05）？ 解解设 X 表示抽取的次品数， X 为F(x)，统计假设为 N(,2)

30、，分布函数 H 0 : F(x) F 0 (x), H 1 : F(x) F 0 (x)，其中n 10, 0.05 X1 在H 0 成立的情况下， p NN jv j j0 N 计算得 jp j C N pj(1 p)N j, j 0,1,10; 1010 ) 01010,p 10 C 10 p (1 p 001122 ) 10 0.3487, p 1 C 10 ) 9 0.3874, p 2 C 10 ) 8 0.1937p 0 C 10 p (1 pp (1 pp (1 p 33 ) 7 0.0574,p 3 C 10 p (1 p 检验统计量的值为 0020 2 n j0 10 j np

31、 j np j 2 2 5.1295 1 2 (mr 1) 0.95 (9) 16.92 / 35 因此不拒绝H 0 ,认为X B(10,0.1). 2323请 71 人比较 A、B 两种型号电视机的画面好坏， 认为 A 好的有 23 人，认为 B 好的有 45 人，拿不定主意 的有 3 人，是否可以认为 B 的画面比 A 的好（ =0.10）？ 解解设 X 表示 A 种型号电视机的画面要好些，Y表示 B 中型号电视机画面要好些 分布函数分别为F X (x)，F Y (x)，统计假设为 H 0 :F X (x) F Y (x),H 1 :F X (x) F Y (x),N 10,n 100.

32、0.05 由题意知n + =23，n =45, n=n + +n 检验统计量 s min(n ,n ) 而s 23 s (68) 25 ，所以拒绝H 0 ,认为B的画面好. 2424为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指 标的波动情况，各依次抽取 12 个产品进行测量，得下表 甲 1. 13 乙 1. 21 1. 26 1. 31 1. 16 0. 99 1. 41 1. 59 0. 86 1. 41 1. 39 1. 48 1. 21 1. 31 1. 22 1. 12 1. 20 1. 60 0. 62 1. 38 1. 18 1. 60 1. 34 1. 84 问这两车间所生产的产品

33、的该项指标分布是否相同 （=0.05）？ 解解设 X,Y 分别表示甲乙两车间所生产产品的指标分 布，分布函数分别F X (x)F Y (x)，统计假设为 H 0 : F X (x) F Y (x),H 1 : F X (x) F Y (x),. 0.05,n m 12, / 35 检验统计量为秩和 T ，易知 T 的样本值为 T 112 且 TN(150,300) 拒绝域为 K 0 u u 1 2 而 u 2.194u0.9751.96，所以拒绝H 0 ,认为指标分布不相同. 2525观察两班组的劳动生产率(件)，得下表： 第1 28 33 39 40 41 42 45 班组46 47 第2

34、34 40 41 42 43 44 46 班组48 49 问两班组的劳动生产率是否相同（=0.05）？ 解解设 X,Y 分别表示两个组的劳动生产率，分布函数 分别为F X (x), F Y (x)，统计假设为 H 0 :F X (x) F Y (x),H 1 :F X (x) F Y (x),. 0.05,n 9,m 9 检验统计量为秩和T，易知T的样本值为T 73 拒绝域形式为 K 0 T t 1 T t 2 ,其中t 1t2 而 t 1(9,9)=66,t2 (9,9) 105 ，因此 T K0 ,所以 接受H 0 ,认为劳动生产率相同. 2626观观察得两样本值如下： 2.363.147

35、.523.482.76 5.43 6.54 7.41 4.384.256.543.287.21 6.54 / 35 问这两样本是否来自同一总体（=0.05）？ 解解设 X,Y 分别表示，两个样本，分布函数分别 是F X (x), F Y (x)，统计假设为 H 0 :F X (x) F Y (x),H 1 :F X (x) F Y (x),. 0.05,n 6,m 8, 检验统计量为秩和T，易知T的样本值为T 49 拒绝域形式为 K 0 T t 1 T t 2 ,其中t 1t2 而 t 1(6,8)=32,t2 (6,8) 58 ，因此 T K0 ,所以 接受H 0,认为来自同一总体. 272

36、7某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各 类的数目是：10，53，46,按照某种遗传模型其比率之比 应 为 ： p2:2p(1 p):(1 p)2 ， 问 数 据 与 模 型 是 否 相 符 （ 0.05）？ 解解设体格的属性为样本 X ，由题意知 XB(2,1 p) 其密度函数为 f (x)，其中f (x, p) C 2 xp2x(1 p)xx 0,1,2 统计假设为 H 0 :F(x) F 0 (x),H 1 :F(x) F 0 (x) 似然函数为 L C p xi 2 i1 n 2xi(1 p) p xi2nnx(1 p)nxCxi 2 i1 n x 1解得最大似然统计量为p 2 则

37、 0 p 21.332 0.1121p 1 2p (1 p ) 0.4454p / 35 2 (1 p )2 0.4424p 拒绝域为 K 0 2 1 2 (mr 1) 而 n 2 j0 10 j j np j np 2 2 0.9134 1 2 (mr 1) 0.95 (9) 3.8414 所以不拒绝H 0,认为与模型相符. 2828在某地区的人口调查中发现： 15729245 个男人 中有 3497 个是聋哑人.16799031 个女人中有 3072 个是 聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设（ 0.05）. 解解设 X 表示男人中聋哑人的个数， Y 表示女人中聋 哑人的个数，其分布函

38、数分别表示为 F X (x)，F Y (x). 统计假设为 H 0 :F(x, y) F X (x)F Y (x),H 1 :F(x, y) F X (x)F Y (x) 拒绝域为 K 0 2 1 2 (mr 1) 2(v np ) j2 62.64 1 2 (mr 1) 0.95 (1)3.84 而 n 2j np j0 j 10 所以拒绝H 0 ,认为聋哑与性别相关. 2929下表为某药治疗感冒效果的联列表： 疗 效 一般 较差 年龄 儿童 58 28 成年 38 44 / 35 老年 32 45 n i 128 117 显著 n j 23 109 18 100 14 91 55 300

39、试问该药疗效是否与年龄有关（=0.05）？ 解解设 X 表示该药的疗效与年龄有关， Y 表示该药的 疗效与年龄无关，其分布函数分别表示为 F X (x), 计假设为 H 0 :F(x, y) F X (x)F Y (x),H 1 :F(x, y) F X (x)F Y (x),r 3,s 3, 0.05, F Y (x). 统 拒绝域为 K 0 2 1 2 (mr 1) 而 n 2 j0 10 j j np j np 2 213.59 1 2 (mr 1) 0.95 (4) 9.488 所以拒绝H 0 ,认为疗效与年龄相关. 3030某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器 厂提供的产品批的

40、不合格率不超过 3%时以高于 95%的概率 接受，当不合格率超过 12%时，将以低于 10%的概率接受. 试为验收者制订验收抽样方案. 解解由题意知， p 0 0.03, p 1 0.12, 0.05, 0.1 L(p 0 ) 1 代入式子 L(p ) 1 / 35 L(p) 选用 p p) 式 P) 子 d U n( ( n p 1 L (P d n )X (d n( p 1 计算求得 n 66,d 4，于是抽查方案是：抽查 66 件 产品，如果抽得的不合格产品 X 4，则接受这批产品，否 则拒绝这批产品. 3131假设一批产品的质量指标 X ， N(,2)（2已知） 要求质量指标值越小越好

41、.试给出检验抽样方案（ n,c）的 计算公式.若2未知，又如何确定检验抽样方案（ n,c）？ 若质量高时指质量指标在一个区间时，又如何确定检验抽 样方案（n,c）? 解解 (1) 解方程组 L( 0 ) 1 L(1) u u 得 n 0 1 2 c 1u 0u u u (2) 若2未知，用 M 2 *估计2，从而得出公式 *u u M 2 1u 0u c n 0 1 u u 2 / 35 习题四习题四 1 1下表数据是退火温度 x ( 0C )对黄铜延性效应的试 验结果， 是以延伸率计算的，且设为正态变量，求 对x的样本线性回归方程. x ( 0C )300 400 500 600 700 8

42、00 40 50 55 60 67 70 y (%) 解解利用回归系数的最小二估计： l xy nn1 l xx 其中l xy x i y i nxy,l xx x i 2nx2 i1i1 x y 1 0 0.0589, 24.6286 代入样本数据得到： 10 24.6286 0.0589x 样本线性回归方程为： y 2 2证明线性回归函数中 (1) 回 归 系 数 1 l xx t 1 (n 2；) 2 1 的 置 信 水 平 为 1 的 置 信 区 间 为 (2) 回 归 系 数 0 1 n x2 0 的 置 信 水 平 为 1 的 置 信 区 间 为 l xx t 1 (n 2.) 2

43、 证证 (1) 由于 2S E又因为： 2 1 2 N 1, ，所以 11l xx l xx N0,1 2n2 (n2)，故 2 22(n2) / 35 所以11l xx tn2 易知 c 1，P 1 p 11 c l xx l xx 1 其中c= l xx t 1 2 n2 1 l xx t 1 (n 2) 2 所以 的置信水平为1的置信区间为 1 (2) 由 x2 2)，得 0 N( 0 ,( nl xx 1 00 x2 nl xx 1 l xx 2n2 N0,1， 2 2 与 2(n2)， 相 0 互独立， 00l xx 00 1 n 1 n 2 所以：T x l xx 2 n2 2n2

44、 x l xx 2 l xx tn2 根据1 PT t 1 (n2) P00 2 1x 2 nl xx l xx t (n2) 1 2 1x21x2 nlnl xxxx P tn2 tn2 00 0 11 l xx l xx22 / 35 得到 0 的置信度为1的置信区间 0 x2 nl xx 1 l xx t 1 2 n2. 3 3 某河流溶解氧浓度（以百万分之一计）随着水向 下游流动时间加长而下降.现测得 8 组数据如下表所示.求 溶解氧浓度对流动时间的样本线性回归方程，并以 =0.05 对回归显著性作检验. 流动时间 t（天）0.51.01.61.82.63.23.84.7 溶解氧浓度（

45、百万 0.20.20.20.10.10.10.10.1 分之一）89987802 l ty 1 解解利用 l tt 0 y 1t 其中l ty t i y i nty,l tt t i 2nt2 i1i1 nn 0.0472, 0.3145 代入样本数据得到： 10 0.31450.0472t所以，样本线性回归方程为：y 2 c 拒绝域形式为： 1 而c 2F 0.95 1,6 l tt , 2 0.0022，所以回归模型c 0.0058 1 不显著. 4 4假设 X 是一可控制变量， Y 是一随机变量,服从正 态分布.现在不同的 X 值下分别对 Y 进行观测，得如下数 据 0.2 5 y 2

46、.5 7 x i i 0.3 7 2.3 1 0.4 4 2.1 2 0.5 5 1.9 2 0.6 0 1.7 5 0.6 2 1.7 1 0.6 8 1.6 0 0.7 0 1.5 1 0.7 3 1.5 0 / 35 0.7 5 y 1.4 1 x i i 0.8 2 1.3 3 0.8 4 1.3 1 0.8 7 1.2 5 0.8 8 1.2 0 0.9 0 1.1 9 0.9 5 1.1 5 1.0 0 1.0 0 (1)假设 X 与 Y 有线性相关关系，求 Y 对 X 样本回归直线方 程，并求 DY 的无偏估计； 2 (2)求回归系数 、 的置信度为 95%的置信区间； 2 01

47、 (3)检验Y和 X 之间的线性关系是否显著（=0.05） ； (4)求Y置信度为 95%的预测区间； (5)为了把 Y 的观测值限制在 (1.08,1.68) ，需把x的值限制在 什么范围？（=0.05） l xy 1 l xx 0 y 1x 解解(1)利用其中 l xy x i y i nxy,l xx x i 2nx2计算得 i1i1 nn 2.0698, 3.0332 10 所以，样 本线性回归方程为： 2S E 0.0020 15 2 3.0332 2.0698xy ， (2) 根据第二题， 1的置信区间为 1 l xx t 1 2 n2， 代入值计算得到： 12.1825,1.95

48、71 ， / 35 21x t n2，代入数值计 0 的置信区间为 0 nl xx 1 2 算得到： 0 2.95069,3.1160. 2 c (3) 根据 F 检验法，其拒绝域形式为 K 0 1 而c l xx t 1 2 (n2),显然 1 K 0 ，所以 Y 和 X 之间具有 显著的线性关系. (4) y 2 x x N(0,( l xx 2 1 1)2) n , x x 令s(x) l xx 1y y 1， ns(x) N(0,1) 2(n2) 2 2(n2), y y s(x) t(n2) s(x) t (n2),y s(x) t (n2) 则有 y(y 11 22 (5) s(x

49、)ty 根 1 据(4) 1 的 2 结论，令 2 s(x)t1.68，y1.08 解得 x(0.7802,0.8172) 5 5证明对一元线性回归系数 , 相互独立的充分 必要条件是 x 0 . 01 证证 , E cov 0100 y x 111011 2x E(y 1101 y 1 11x 01) / 35 2 y x2 y 1 xE 1011101 2 2 x E 11 2 2 D 2 (E )2 2E 1111 l xx , 0，那么x 0.若要cov 01 反之显然也成立，命题的证. 6 6设 n 组观测值 (x , y )(i 1,2,.,n) 之间有关系式： ii y i 0

50、1 (x i x) i，i 1n x x i n i1 N(0, 2 )(i 1,2,.,n) （其中 ） ，且 1,2 ,., n 相互独立. 01 , ； (1) 求系数 , 的最小二乘估计量 01 1n (2) 证明(y i y) (y i y i ) (y i y) ，其中 y y i n i1i1i1i1 222 nnn , 的分布. (3) 求 01 解解(1)最小化残差平方和： 2S E y i 0 1(xi x)2 求 0，1 的偏导数 22S E S E 2y i 0 1(xi x) 0， 2y i 0 1(xi x)(x i x) 0 0 1 l xy 得到： y, 01

51、l xx (2) 易知 y y(y y )y y y y iiiiii i1i1i1 n 2 n 2 n 2 i y) 2y i y i (y i y) (y 2 i1 n / 35 (x x) y i 其中 y 01i l xy l xx (x i x)，将其代入上式 可得 )(y y) 0 (y y iii i1 n 所以,(y i y) i1 n 2 i ) (y i y)2(y i y 2 i1i1 nn ) N(, y， (3) i N(0,2), 00 0 N(,同理，易得 11 2 n 2 l xx ) 7 7某矿脉中 13 个相邻样本点处某种金属的含量Y 与样本点对原点的距离

52、X 有如下观测值 23457810 x y 106.108.109.109.110.109.110. 42205850009349 111415161819 x y 110.110.110.110.111.111. 596090760020 i i i i 分别按(1) y a bx ；(2) y a blnx ；(3)y a x . 指出其 b 2S E 建立Y对 X 的回归方程，并用相关系数 R 1 S2 T 中哪一种相关最大. 解解 (1) 令v 正规方程： l vy 1 1.1947, 106.3013 ，最后得到 l vv 10 0 y 1v x, y a bv ，根据最小二乘法得到

53、， / 35 106.3013 1.1947所以：样本线性回归方程为：yx ， R 1 0.8861 (2) 令v ln x, y a bv l vy 1 1.714, 106.3147 ，得到 l vv 10 0 y 1v 106.3147 1.714ln x，所以：样本线性回归方程为：y R 2 0.9367 (3) 令v 1 , y abv x l vy 1 111.4875, 9.833 ，得到 l vv 10 0 y 1v 111.48759.833 x ，所以： 样本 线性回 归方 程为 ： y R 3 0.987 综上， R 1 R 2 R 3 ,所以第三种模型所表示的 X与Y 的相 关性最大. 8 8设线性模型 y 1 1 1 y 2 2 1 2 2 y 2 123 3 其中 i N(0, 2)（ i 1,2,3. ）且相互独立，试求 1 、 2 的估计. 解解令 1 0 T , (,)T, T Y y 1, y2 , y 3 , X 21 123 12 1 2 / 35 则线性模型可转化为 Y X 根 据 2S E 0 2S E Y X 2 ，令 YTY 2YTXTXTX XTX 可得 1 XTY 1 (Y 2Y 3Y ), 1 (Y 2Y ) 即 1123223 66 9 9养猪场为估算猪的毛重，随机抽测了 14 头猪的 身长 x ()，肚围 x (