福建卷高考试题-理科数学Word

1、20102010 年普通高等学校招生统一考试（福建卷）年普通高等学校招生统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类）数学试题（理工农医类） 第第 I I 卷卷 （选择题（选择题 共共 5050 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1.计算 sin43cos13-cos43sin13的结果等于 A A 3321 B.C.D. 3222 2.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为

2、A. x2+y2+2x=0B. x2+y2+x=0 C. x2+y2-x=0D. x2+y2-2x=0 3.设等差数列an前 n 项和为 Sn. 若 a1= -11,a4+a6= -6 ,则当 Sn取最小值时，n 等于 A.6B. 7C.8D.9 4.函数 f（x）=的零点个数为 A. 0B. 1C.2D.3 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于 A.2B.3C.4D.5 6.如图，若是长方体 ABCD-A1B1C1D1被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1后得到的几何 体，其中 E 为线段 A1B1上异于 B1的点，F 为线段 BB1上异于 B1的点，且 E

3、HA1D1，则 下列结论中不正确的是 A. EHFGB.四边形 EFGH 是矩形 C.是棱柱D.是棱台 x2 2 7.若点 O 和点 F（-2，0）分别为双曲线 2 y 1（a0）的中心和左 a uu r uu r 焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则opgfp的取值范围为 A.3- 2 3,） B.3+ 2 3,） C. 77 , ） D., ） 44 8.设不等式组所表示的平面区域是 1 ，平面区域 2 与 1 关于直线 3x-4y-9 对 称。对于 1 中的任意点 A 与 2 中的任意点 B，AB的最小值等于 A. 2812 B. 4C.D. 2 55 9.对于复数 a,b,c,d

4、，若集合 S=a,b,c,d具有性质“对任意 x,yS，必有 x,yS” ，则当 时，b+c+d 等于 A.1B.-1C.0D.i 10.对于具有相同定义域D 的函数 f（x）和 g（x） ，若存在函数h（x）=kx+b（k,b 为常数） ， 对任给的正数 m，存在相应的 x0D，使得当 xD 且 xx0时，总有 则称直线 l： y=kx+b 为曲线 y=f （x） 与 y=g （x） 的 “分渐近线” 。 给出定义域均为 D=x x 1 的四组函数如下： f（x）=x ,g(x)= 2 x; f(x)=10-x+2，g(x)= 2x3 ; x 2x2x21xln x1 f(x)=,g(x)=

5、;f(x)= f (x) ，g(x)=2(x-1-e-x). x1xln x 其中，曲线 y=f(x)与 y=g(x)存在“分渐近线”的是 A B. C. D. 第卷第卷 （非选择题（非选择题 共共 100100 分）分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.在等比数列a n中，若公比q=4，且前3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an（） 12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（） 。 13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停 止答题，晋级下一

6、轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独 立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于（） 。 14.已知函数 f(x)=3sin(x- )( 0)和 g(x)=2cos(2x+ )+1 的图像的对称轴完全相同。 若 6 x 0, ,则 f(x)的取值范围是（） 。 2 15已知定义域为（0，+）的函数 f(x)满足： （1）对任意 x(0, +),恒有 f(2x)=2f(x)成 立； （2）当 x(1,2时，f(x)=2-x。给出结论如下： 对任意 mZ,有 f(2m)=0；函数 f(x)的值域为0，+）;存在 nZ,使得 f(2n+1)=9;

7、 “函数 f(x)在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在kZ,使得(a,b)(2k,2k+1)”. 其中所有正确结论的序号是（） 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 13 分） 2 设 S 是不等式 x -x-60 的解集，整数 m,nS。 （）记“使得 m+n=0 成立的有序数组（m,n） ”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； （）设=m2,求的分布列及其数学期望E。 17.（本小题满分 13 分） 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3） ，且点 F（2.0）为其右焦点。 （）求椭圆

8、C 的方程； （）是否存在平行于 OA 的直线 L，使得直线 L 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的 距离等于 4？若存在，求出直线 L 的方程；若不存在，说明理由。 18.（本小题满分 13 分） 如图，圆柱 OO1内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1， 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆 O 的直径。 （）证明：平面 A1ACC1平面 B1BCC1； （）设 AB=AA1。在圆柱 OO1内随机选取一点，记该点取自于 三棱柱 ABC-A1B1C1内的概率为 P。 （i）当点 C 在圆周上运动时，求P 的最大值； （ii） 记平面 A1ACC1与平面 B1OC 所成的

9、角为（0b0） ，且可知左焦点为F(2,0) ab 从而有c 2解得 2a | AF | | AF| 35 8 22 ，a 4 c 2 x2y2 1 又a b c，所以b 12，故椭圆 C 的方程为 1612 22 （II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y 3 x t 2 由 y 3 x t 得3x23tx t212 0 2 x2y2 1 1612 因为直线l与椭圆 C 有公共点，所以 3t 解得 4 3 t 4 3 43t 2212 0 ， 另一方面，由直线 OA 与l的距离d 4可得 |t | 9 1 4 4，从而t 2 13。 由于 2 13 4 3,4 3，所以符合题意的直线l不存

10、在。 解法二： x2y2 （I）依题意，可设椭圆 C 的方程为 2 2 1（ab0） ，且有： ab 49 2 。从而a 161， 解得b212或b2 3（舍去） 22ab a2b2 4 （II）同解法一 18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积 几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结 合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13 分。 解法一 ： （I） A 1 A 平面ABC，BC 平面ABC， A 1 A BC AB是圆 O 的直径，BC AC 又AC A 1 A A，BC 平面A 1 ACC 1 而BC

11、 平面B1BCC1， 所以平面A 1 ACC 1 平面B 1BCC1 。 （II） （i）设圆柱的底面半径为 r，则AB AA 1 2r 故三棱柱ABC _ A 1B1C1 的体积 V 1 1 AC BC2r ACBCr 2 又 AC BC AB 4r 2222 AC2 BC2 2r2 AC BC 2 当且仅当AC BC 从而，V1 2r 而圆柱的体积V r 2r 2r， 23 3 2r时等号成立。 V 1 2r31 故p ，当且仅当 V 2 2r3 AC BC 2r，即OC AB时等号成立。 所以，p的最大值等于 1 （ii）由（i）可知，p取最大值时，OC AB 于是，以 O 为坐标原点，

12、建立空间直角坐标系O xyz（如图） ， 则C(r,0,0)，B(0,r,0)，B1(0,r,2r) BC 平面A 1 ACC 1 ， 设平面B1OC的法向量n (x, y,z)， 是平面A 1 ACC 1 的一个法向量 取z 1，得平面B1OC的一个法向量为n (0,2,1) 0 90， 解法二： （I）同解法一 （II） （i）设圆柱的底面半径为 r，则AB AA 1 2r， 故三棱柱ABC _ A 1B1C1 的体积V1 设BAC (0 90 )， 1 AC BC2r ACBCr 2 则AC ABcos 2rcos，BC ABsin 2rsin， 由于AC BC 4r sincos 2r

13、 sin2 2r，当且仅当sin21即 45 时等号成立，故V1 2r 而圆柱的体积V r 2r 2r， 23 3 222 V 1 2r31 故p ，当且仅当sin21即 45时等号成立。 3V 2 2r 所以，p的最大值等于 （ii）同解法一 解法三： （I）同解法一 （II） （i）设圆柱的底面半径r，则AB AA 1 2r，故圆柱的体积V r 2r 2r 因为p 23 1 V1 ，所以当V 1 取得最大值时，p取得最大值。 V 又因为点 C 在圆周上运动，所以当OC AB时，ABC的面积最大。进而，三棱柱 1 ABC _ A 1B1C1 的体积最大，且其最大值为 2r r 2r 2r3

14、2 1 故p的最大值等于 （ii）同解法一 19.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、 运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分 类与整合思想。满分 13 分。 解法一： （I）设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S 900t2 400230t 20cos(9030) = 900t2600t 400 = 900(t ) 300 1 3 2 故当t 10 31 30 3 时，S min10 3 ，此时v 1 3 3 即，小艇以30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。 （II）设小艇与轮船在 B 出相遇，

15、则 v t 400 900t 22030t cos(90 30 ) 222 600400 2tt 600400 0 v 30，900 2 900 tt 232 即 2 0，解得t t3t 2 又t 时，v 30 3 2 故v 30时，t 取最小值，且最小值等于 3 此时，在OAB中，有OA OB AB 20，故可设计寒星方案如下： 故v 900 2 航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 解法二： （I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北 方向。 设小艇与轮船在 C 处相遇。 在RtOAC中，OC 20cos30

16、10 3，AC 20sin30 10 又AC 30t，OC vt 此 时 ， 轮 船 航 行 时 间 t 101 ， 303 v 10 3 30 3 1 3 即，小艇以30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。 （II）猜想v 30时，小艇能以最短时间与轮船在D 出相遇，此时AD DO 30t 又OAD 60，所以AD DO OA 20，解得t 据此可设计航行方案如下： 2 3 航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 证明如下： 如图，由（I）得OC 10 3，AC 10， 故OC AC，且对于线段AC上任意点 P, 有OP OC AC而小

17、艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时， 故小艇与轮船不可能在A，C 之间（包含 C）的任意位置相遇。 设COD (0 90 )，则在RtCOD中，CD 10 3 tan，OD 10 3 cos 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 t 1010 3tan10 3 和t 30vcos 10 10 3tan10 3 30vcos 所以， 由此可得，v 15 3 sin(30) 又v 30，故sin(30 ) 从而，30 90 3 2 由于 30时，tan取得最小值，且最小值为 3 3 于是，当 30时，t 1010 3tan2 取得最小值，且最小值为 303 解法三： （I）同解法

18、一或解法二 （II）设小艇与轮船在 B 处相遇。依据题意得： v t 400 900t 22030t cos(90 30 )， （(v 900)t 600t 400 0 （1）若0 v 30，则由 22 222 360000 1600(v2900) =1600(v 675) 0 得v 15 3 2 300 20 v2675 从而，t ，v15 3,30) v2900 300 20 v2675 当t 时， 2v 900 令x v2675，则x0,15)，t 300 20 x 204 ，当且仅当x 0即 2x 153x 225 v 15 3时等号成立。 300 20 v267524 当t 时，同理

19、可得 t 2v 90033 由、得，当v15 3,30)时，t （2）若v 30，则t 2 3 2 3 2 3 综合（1） 、 （2）可知，当v 30时，t 取最小值，且最小值等于 此时，在OAB中，OA OB AB 20，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能 力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一 般思想。满分 14 分。 解法一： （） （i）有 f(x)=x3-x 得 f(x)=3x2-1=3(x- 33

20、 )(x+). 33 当 x(, 33 )和(，)时，f(x)0; 33 当 x( 33 ，)时，f(x)0。 33 （）曲线 C 在点 P1处的切线方程为 y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1， 即 y=(3x12-1)x-2 x13. 由 得 x3-x=(3x12-1)x-2 x13 即（x-x1）2(x+2x1)=0, 解得 x=x1或 x=-2x1, 故 x2=-2x1. 进而有 用 x2代替 x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和 S2= 又 x2=-2x10，所以 S2= 27 4x 2 。 4 s12716 4x 1 0,因此有1 。 s 2 164 （）记函数

21、 g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线 C，类似于（） （ii）的正确命题 为：若对于任意不等于 b 的实数 x1,曲线 C与其在点 P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点 3a S 1为定值。 S 2 P2（x2, g(x2)）,曲线 C与其在点 P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)） ，线段 P1P2、P2P3 与曲线 C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则 证明如下： 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线 y=g(x)的对称中心平移至 解法二： （）同解法一。 （）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线 C，类似于（） （

22、ii）的正确命题为： 若对于任意不等于 b 的实数 x1,曲线 C与其在点 P（处的切线交于另一点P（ 1 x1, g(x1)） 2 x2, 3a S 1 为定值。 S 2 g(x2)）,曲线 C与其在点 P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)） ，线段 P1P2、P2P3 与曲线 C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则 证明如下： (3ax 2 b)4b 用 x2代替 x1，重复上述计算过程，可得x3=2x和S2。 12a3a 又 x2= bb 2x 1且x1 , a3a (3ax 2 b)(6ax 1 2b)416(3ax 1 b)4 0, 所以S2 12a312a312a3 故 S 1 1 . S 2 16 21 （1）选修 4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。满分7 分。 解法一： （）由题设得： （）因为矩阵 M 为对应的线性变换将直线变成直线（或点） ，所以可取直线 y=3x 上的两