样本及抽样分布

1、一. 总体与样本,样本：随机样本 在总体X中抽取n个个体X1, X2 , , Xn , n为样本容量， (X1, X2 , , Xn)构成n维随机变量。,1. 总体和个体,总体：研究对象的全体，用随机变量X表示。 个体：总体的每个单元。,2. 样本与样本值,样本值：数据样本 样本的取值，即样本的观察值x1, x2 , , xn,样本的联合分布函数为F*(x1,x2,xn), 样本的联合概率密度函数为f*(x1,x2,xn),简单随机样本 ( 1 ) 每个个体Xi与总体X同分布； ( 2 ) 个体之间相互独立。,且 F* (x1, x2 , x n) = F (x1 ) F (x2 )F (xn

2、 ) f* (x1, x2 , xn) = f (x1 ) f (x2 )f (xn ),设总体X的分布函数为F ( x ),概率密度为f ( x )，则,二. 经验分布函数,1.经验分布函数 将n个样本值按大小排成顺序 x(1) x (2) x (n) 记Fn (x)为不大于x的样本值出现的频率。,称Fn (x) 为经验分布函数。,2. 格列汶科定理 设总体分布函数为F (x) ，经验分布函数为Fn(x) ， 则,即 当n 很大时， F n ( x ) F ( x ),三. 样本的数字特征,1. 样本均值,2. 样本方差,3. 样本标准差,4. 样本的 k 阶原点矩,5. 样本的 k 阶中心

3、矩,由大数定律可知,定理 样本的数字特征依概率收敛到总体的数字特征,四. 统计量,设X1, X2, , Xn是总体X的样本，若函数 g ( X1, X2, , Xn )不含任何未知参数， 则称函数g ( X1, X2, , Xn )为一个统计量。,顺序统计量,设X1, X2, , Xn是总体X 的样本，将样本的各分量由小到大的顺序排列成：,极差,1.2 抽样分布,分布函数的分位点 四大统计分布 正态总体的抽样分布定理,一. 分布函数的分位点,分位点 设统计量U服从某分布，如果对于 (0 U ) = 则称U为该分布的上分位点。,抽样分布 统计量的分布。,U,面积 = ,二. 四大统计分布,1.

4、正态分布,u,设 X N(, 2), 则U = ( X-) / N ( 0, 1 ),记标准正态分布的分布函数为(u), 分位点为u,1 ,例如 求 u 0.05,由于 1 = 0.95 查表 (1.645) = 0.95,所以 u 0.05 = 1.645,定义：设总体X N(0,1)，X1, X2, , Xn是X的样本统计量2定义为,称 2 服从自由度是 n 的卡方分布。,2. 2 (卡方)分布,概率密度为, 2分布的可加性 若12 2(n1)， 22 2(n2)且相互独立， 则 12 + 22 2(n1 + n2),2 分布的性质, E ( 2(n ) ) = n， D ( 2(n) )

5、 = 2 n, 当 n = 1时，2 ( n ) 为分布, 当 n = 2时，2 ( n ) 为指数分布。,当n 45时, 利用以下近似公式计算,2 分布的分位数计算,2(n), 当n 45时, 可直接查表求出,如 20.1 ( 25 ) = 34.328,如,定义：设X N ( 0, 1 )，Y 2 ( n )，且X, Y相互独立，,3. t 分布,则称 T 服从自由度是n的t 分布,概率密度为,(2) 当n时, t 分布的极限为标准正态分布,t 分布的性质,(1) f ( t ) 关于t = 0 (纵轴)对称。,t 分布的分位数计算,当n 45时, 利用以下近似公式计算 t ( n ) u

6、 , 当n 45时, 可直接查表求出,如 t0.005 ( 8 ) = 3.3554,t 1- (n) =-t (n),t (n),如 t0.025 ( 52 ) u 0.025 = 1.96,t 1-(n),定义：设U 2(n1)，V 2(n2)且U, V相互独立，,4. F 分布,则称F服从自由度是(n1 , n2)的F分布.,概率密度为,F分布的分位数计算,定理 若X F (n1,n2)分布,则1/X F(n2,n1),由此可知 F ( n1, n2 ) = 1/ F 1- ( n2, n1 ),当 0.5时, 利用上述公式计算, 当 0.5时, 可直接查表求出,如 F 0.005 ( 9, 9 ) = 6.54,如 F 0.995 ( 9, 9) = 1/ F 0.005 ( 9, 9 ) = 1/ 6.54 =0.153,F ( n1, n2 ),三.正态总体的抽样分布定理,设总体XN( , 2)，X1,X2,Xn是其样本,1,2,则有以下结论 (1) (5),结论1,2 的证明,是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,1,2,且U与V独立,根据t分布的