4 不定积分-1.ppt

1、（三）一元函数积分学（26学时） 1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质， 了解原函数存在定理。 2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法 和分部积分法，会求简单有理函数的不定积分。 3理解定积分的概念及几何意义， 了解定积分的基本性质和积分中值定理。 4理解积分上限函数的概念及其求导定理， 掌握牛顿莱布尼茨公式。 5掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6掌握实际问题中建立定积分表达式的元素法（微元法）， 会建立简单的几何问题和经济问题的定积分表达式。 7了解两类反常积分及其收敛性的概念，了解函数的概念。,第四章 不定积分,I. 不定积分的概念与性质,例: 我们知道自由落

2、体中， 物体下落的距离 s (米)与时间 t (秒)的关系式为 s(t) 1/2gt 2, 则它在时刻 t 的速度是 v(t) s(t) gt 。 反过来，如果知道的是自由下落运动中物体下落的速度v 与时间 t 的关系式为 v(t) s(t) gt ， 那么下落距离函数 s(t)（即原来的函数）又怎样求呢？,由于 的导数是 gt ， 故 就是速度函数 v(t) gt 的一个原来的函数。,例: 如果已知生产某种产品的成本是产量 x 的函数 C C (x) ， 那么边际成本为 Cm C (x) 。 若知道边际成本是 C(x) 2x 1 ，问成本函数 C(x) ？ 由于 ( x2 + x) 2x 1

3、， 所以 C(x) x2 x 是边际成本函数 Cm C (x) 2x 1的 一个原来的函数，即成本函数。,1. 定义: 设 f (x) 是定义在某区间(a, b)上的一个函数， 如果存在一个函数 F (x)，使得对任意的 x (a, b)， 都有 F (x) f (x) 或 dF (x) f (x)dx， 则称 F (x)为 f (x) 在该区间 (a, b) 上的一个原函数。,一 原函数 (antiderivative),例: 设函数 f (x) cos x, 因为在区间 ( , ) 上 (sin x) cos x, 所以 F (x) sin x 是 cos x 的一个原函数， 不难验证F1

4、(x) sin x1, F2(x) sin x2, F3(x) sin xp , 等, 都是 cos x 的原函数。 可见，一个函数 f (x) 如果有一个原函数F (x)， 那么它的原函数就不止一个， 而是有无穷多个 F (x) C （C 是任意常数）。 这时，我们自然会问，如果 F (x) 是函数 f (x) 的一个原函数， 那么是不是它的所有原函数都包括在 F (x) C 内呢？ 由拉格朗日中值定理的容易证明结论： 若函数 f (x) 在某区间上存在原函数， 则其任意两个原函数只差一个常数项。,这表明: f (x)的所有原函数一定是 F (x) C 的形式。,2. 定理 (原函数的存在定

5、理): 如果函数 f (x) 在区间I上连续， 那么在区间 I 上存在可导函数F (x)， 使对任一x I，都有 F (x) f (x). 简单地说：连续的函数都有原函数。 需要指出的是，由于初等函数在其定义区间上都是连续函数， 所以初等函数在其定义区间上都有原函数存在， 但原函数不一定是初等函数，如 e x 2、 sin x / x、等函数， 它们原函数存在，但不能用初等函数表示。,1. 不定积分的定义: 若函数F(x)是 f (x)的一个原函数, 那么 f (x)的全体原函数 F (x) C (C 为任意常数), 称为函数 f (x)的不定积分(indefinite integral),

6、记作 f (x)dx , 即 其中记号 称为积分号，f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。,二 不定积分的概念,于是, 前面例子可以表达为:,例1: 求不定积分 。 解：,因为 ， 所以 即 是 x a 的一个原来的函数， 因而,例2: 求不定积分 。 解：,因为函数 是初等函数，定义域为( , 0) (0, ) 且 所以 ln |x| 是 在( , 0) (0, )上的一个原函数， 因而,函数 f (x) 在某区间上的一个原函数F (x), 在几何上表示一条曲线, 称为积分曲线。 这条曲线上点 x 处的切线斜率等于 f (x), 即满

7、足 F (x) f (x)。 f (x) 的不定积分就是f (x)的全体原函数F(x) C， 对于每一个给定的 C 值时，都有一条确定的积分曲线， 当C 取不同的值时，就得到不同的积分曲线， 所有的积分曲线 F (x) C 组成了积分曲线族。 因为任意两条积分曲线的纵坐标之间只相差一个常数, 故它们都可以由曲线 F(x) 沿纵坐标轴方向上下平移而得到。 由于积分曲线族中的每一条积分曲线在点 x 处的 切线斜率都等于f (x)，因此它们在点x处的切线互相平行。,2. 不定积分的几何意义,设所求曲线为 y f (x)， 由题意, 该曲线上点处的切线斜率为2x, 即 f (x) 2x, 所以 它是一

8、族抛物线。 将 x 1, y 2 代入上式，得 C 1 因此，所求曲线的方程为: y x2 + 1,例3: 求过点(1, 2)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：,三 基本积分公式,思考题,填空:,性质1: 微分运算与积分运算互为逆运算。 或 或 即若先积分后求导, 则两者的作用互相抵消, 反之, 若先求导后积分, 则抵消后要多一个任意常数项。 性质2: 两个函数的代数和的不定积分等于各函数不定积分的 代数和，即 性质2可以推广到有限多个函数的情况。 性质3: 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面, 即,四 不定积分的基本性质,1. 性质:,2. 直接积分法 只利用不定积分性质以及

9、基本积分公式求积分的方法, 称为直接积分法，它是求积分的最基本的方法。,例4: 求下列不定积分:,【1】求不定积分 解： 【2】求不定积分 解：,【3】求不定积分 解： 【4】求不定积分 解：,由于积分常数的任意性，所以最后合并写一个任意常数C 即可,【5】求不定积分 解： 【6】求不定积分 解：,【7】求不定积分 解： 【8】求不定积分 解： 【9】求不定积分 解：,【10】求不定积分 解： 【11】求不定积分 解：,由于总成本函数的导数是边际成本，所以成本函数为： 已知固定成本为1000元，即当 x = 0 时，y =1000， 因此有C = 1000 。所以总成本y与日产量的函数关系为：

10、 从这个例子可以看出，在实际问题中， 可以根据问题的具体条件确定积分常数的一个对应的值。,例5: 某化工厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本 y 的 变化率（即边际成本）是日产量 x 的函数 ， 已知固定成本为1000元， 求总成本与日产量的函数关系。 解：,思考题,求下列不定积分：,习题四(A)/3,换元积分法的基本思想是: 利用变量替换, 使得被积函数表达式变形为基本积分表中所列积分的形式, 从而计算出不定积分。 换元积分法可以分为第一类换元积分法和第二类换元积分法。 一 第一类换元法 (凑微分法) 例: 求不定积分 解：,显然 (sin 2x C ) = 2cos 2x , 故结果正确

11、。,II. 不定积分的换元积分法,定理: 设 , 如果 u j(x)具有连续导数, 则有 证：,由于F (u) f (u)，由复合函数的求导法则，得 F j(x) F (u)j(x) f (u)j(x) f j(x)j(x) ， 所以定理得证。,例6: 求下列不定积分:,【1】求不定积分 解：,设 u 1 x ，则 du dx ，于是,这种积分方法称为第一类换元法, 应用时关键在于将 被积函数凑成 f j (x)j(x), 因而这种积分方法也称为“凑微分法”。 熟练后可不必写出u, 使计算过程简化。,【2】求不定积分 解： 【3】求不定积分 解： 【4】求不定积分 解：,【5】求不定积分 解：

12、 【6】求不定积分 解：,同理可证：,【7】求不定积分 解： 【8】求不定积分 解：,【9】求不定积分 解： 【10】求不定积分 解：,【11】求不定积分 解：,【12】求不定积分,解法一：,同理可证：,解法二：,由【8】,【13】求不定积分 解： 【14】求不定积分 解：,注意: 计算某些积分时, 由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形式, 求出的不定积分在形式上可能不同, 但它们之间至多只相差一个常数项, 都属于同一个原函数族。 【15】求不定积分 解法一： 解法二： 解法三：,思考题,求下列不定积分：,习题四(A)/4(单),习题中的问题,设F (x)是 的一个原函数，求 。,对于某些无

13、理函数的积分, 第一类换元积分法已不再适用, 要用第二类换元积分法求其积分。 例: 求不定积分 解：,设 x t 2，则 dx 2t dt ，于是,一般地, 若积分 f (x)dx 不易计算, 而如能作适当变量代换 x y(t) 把原积分化为 f y(t)y(t)dt 的形式较容易积分, 并且在求出原函数后容易将 t y1(x) 代回还原。 这就是第二类换元积分法的基本思想。,二 第二类换元法 (变量代换法),由假设 利用复合函数的求导法则与反函数的求导公式，得 这表明 F y1(x) 是 f (x) 的一个原函数，从而 , 定理得证。,1. 定理: 设 x y(t) 是单调、可导的函数, 且y(t) 0, 如果 f y(t)y(t)dt F (t) C , 则有 其中y1(x) 是 x y(t) 的反函数。 证：,若被积函数中含有根式 或 , 即根号内的 x 是一次的, 可作代换 或 。,2. 根式代换,例7: 求下列不定积分:,【1】求不定积分 解：,设 ，则 x t 6，dx 6t 5dt ，于是,【2】求不定积分 解：,【3】求不定积分 解：,设 ，则 x t 2 4 ，dx 2tdt ，于是,3. 三角代换 对于被积函数含有如 根式的积分, 通常采用三角替换 xa sin t、xa tan t 和 xa sec t 化去根式, 从而能变换