计算机数值方法试题集

1、 1 复习题（一）复习题（一） 一、填空题： 1、求方程 011015 . 0 2 =xx 的根，要求结果至少具有 6 位有效数字。已知 0099.10110203 ，则两个根为 = 1 x ， = 2 x （要有计算过程和结果） 1、 010.20410406102 1 +=x ， 00980345. 0)10406102(2 2 +=x 2、 = 410 141 014 A ，则 A 的 LU 分解为 2、 = 1556 1415 014 11540 141 1 A 3、 = 53 21 A ，则 =)(A 103+ ， = A 8 . 4、已知 3 . 1)3(, 2 . 1)2(, 0

2、 . 1) 1 (=fff ，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得 3 1 _)(dxxf ，用三点式求得 ) 1 ( f 4、2.367 0.25 5、 1)3(, 2)2(, 1) 1 (=fff ， 则过这三点的二次插值多项式中 2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 5、-1， )2)(1( 2 1 )3)(1(2)3)(2( 2 1 )( 2 =xxxxxxxL 二、单项选择题： ABCBC5 ,4 ,3 ,2 ,1 1、Jacobi 迭代法解方程组 bx =A 的必要条件是（ ）. AA 的各阶顺序主子式不为零 B. 1)(A C. niaii, 2 , 1, 0L= D. 1A

3、2、设 753)( 99 +=xxxf ，均差 2 ,2 , 2 , 1 992 Lf =( ) . A.3 B. -3 C. 5 D.0 2 3、设 = 700 150 322 A ，则 )(A 为( ). A. 2 B. 5 C. 7 D. 3 4、三点的高斯求积公式的代数精度为( ). A. 2 B.5 C. 3 D. 4 5、幂法的收敛速度与特征值的分布（ ） 。 A. 有关 B. 不一定 C. 无关 D. 一定 三、计算题： 1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 =+ =+ =+ 2252 1824 1124 321 321 321 xxx xxx xxx ， 取 T )0 , 0 ,

4、0( )0( =x ， 迭代四次(要 求按五位有效数字计算). 1、迭代格式 = = = + + + )222( 5 1 )218( 4 1 )211( 4 1 )1( 2 )1( 1 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 3 )( 2 )1( 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx k )( 1 k x )( 2 k x )( 3 k x 0 0 0 0 1 2.7500 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 2、 求 A、 B 使求

5、积公式 + 1 1 ) 2 1 () 2 1 ()1 () 1()(ffBffAdxxf 的代数精度尽 量高,并求其代数精度；利用此公式求 = 2 1 1 dx x I (保留四位小数)。 2、 2 , 1)(xxxf= 是精确成立，即 3 =+ =+ 3 2 2 1 2 222 BA BA 得 9 8 , 9 1 =BA 求积公式为) 2 1 () 2 1 ( 9 8 )1 () 1( 9 1 )( 1 1 ffffdxxf+= 当 3 )(xxf= 时，公式显然精确成立；当 4 )(xxf= 时，左= 5 2 ，右= 3 1 。所以代 数精度为 3。 69286. 0 140 97 321

6、 1 32/1 1 9 8 31 1 31 1 9 1 3 11 1 1 32 2 1 = + + + + + + + + = = dt t dx x xt 3. 已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 )(xf 的三次插值多项式 )( 3 xP ，并求 )2(f 的近似值（保留四位小数）. i x 1 3 4 5 )( i xf 2 6 5 4 3. )53)(43)(13( )5)(4)(1( 6 )51)(41)(31 ( )5)(4)(3( 2)( 3 + = xxxxxx xL )45)(35)(15( )4)(3)(1( 4 )54)(34)(14( )5)(3)(1( 5 + +

7、 xxxxxx 差商表为 i x i y 一阶均差二阶均差三阶均差 1 2 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4 -1 0 41 )4)(3)(1( 4 1 )3)(1() 1(22)()( 33 +=xxxxxxxNxP 5 . 5)2()2( 3 = Pf 4、取步长 2 . 0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题 = += 1)0( 32 y yxy ) 10( x 4 4、解： += += + + )32()32(1 . 0 )32(2 . 0 )0( 111 )0( 1 nnnnnn nnnn yxyxyy yxyy 即 04 . 0 78 . 1 52 . 0 1 += +

8、nnn yxy n 0 1 2 3 4 5 n x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n y 1 1.82 5.8796 10.7137 19.4224 35.0279 5、已知求 )(xf 的二次拟合曲线 )( 2 xp ，并求 )0( f 的近似值。 i x -2 -1 0 1 2 )( i xf 4 2 1 3 5 5、解： i i x i y 2 i x 3 i x 4 i x iiy x ii yx2 0 -2 4 4 -8 16 -8 16 1 -1 2 1 -1 1 -2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 10

9、 20 0 15 10 0 34 3 41 正规方程组为 =+ = =+ 413410 310 15105 20 1 20 aa a aa 14 11 , 10 3 , 7 10 210 =aaa 2 2 14 11 10 3 7 10 )(xxxp+= xxp 7 11 10 3 )( 2 += 10 3 )0()0( 2 =pf 6、证明方程 24)( 3 +=xxxf =0 在区间（0,1）内只有一个根，并用迭代法（要求收敛） 求根的近似值，五位小数稳定。 复习题（二）复习题（二） 一、填空题： 5 1、近似值 * 0.231x = 关于真值 229. 0=x 有( )位有效数字； 2、

10、 3 * x 的相对误差为 * x的相对误差的( )倍； 3、设 )(xf 可微,求方程 )(xfx = 的牛顿迭代格式是( )； 4、对 1)( 3 +=xxxf ,差商 =3 , 2 , 1 , 0f ( ), =4 , 3 , 2 , 1 , 0f ( )； 5、计算方法主要研究( )误差和( )误差； 6、 用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时， 二分n次后的误差限为( )； 7、 求解一阶常微分方程初值问题 y = f (x,y)， y(x0)=y0的改进的欧拉公式为( )； 8、已知 f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中

11、x2系数为( )； 9、 两点式高斯型求积公式 1 0 d)(xxf ( )，代数精度为( )； 10、解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为( )。 一、1、2； 2、 3 1 倍； 3、 )(1 )( 1 n nn nn xf xfx xx = +； 4、 04 , 3 , 2 , 1 , 0, 13 , 2 , 1 , 0=ff ； 5、截断，舍入； 6、 1 2 + n ab ； 7、 ),(),( 2 111+ += nnnnnn yxfyxf h yy ； 8、 0.15； 9、 + + 1 0 ) 32 13 () 32 13 ( 2 1 d)(ffxxf ；

12、10、A 的各阶顺序主子式均不为零。 二、单项选择题：1、B 2、A 3、B 4、A、 5、C 6、A 7、D 1、求解线性方程组 Ax=b 的 LLT分解法中，A 须满足的条件是( )。 A. 对称阵 B. 正定矩阵 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零 2、舍入误差是( )产生的误差。 A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值 3、3.141580 是的有( )位有效数字的近似值。A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 4、幂法是用来求矩阵( )特征值及特征向量的迭代法。 6 A. 按模最大 B. 按模最小 C. 所有的

13、 D. 任意一个 5、用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是( )误差。 A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入 6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。 A.控制舍入误差 B. 减小方法误差 C.防止计算时溢出 D. 简化计算 7、解线性方程组 Ax=b 的迭代格式 x(k+1)=Mx(k)+f 收敛的充要条件是( )。 A. 1M B. 1)(A C. 1)(M D. 1)(M 三、计算题： 1、为了使 20的近似值的相对误差限小于 0.1%，要取几位有效数字？ 1、解：设 20有 n 位有效数字，由 L4 . 420 = ，知 4 1 =a 令 %1 . 010

14、 8 1 10 2 1 )20( )1()1( 1 * = nn r a , 取 4=n , %1 . 010125. 0)20( 3* r 故 472 . 4 20 2、已知 xsin 区间0.4，0.8的函数表，如用二次插值求 63891. 0sin 的近似值，如何选择节 点才能使误差最小？并求该近似值。 i x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 i y 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 2. 解： 应选三个节点，使误差 | )(| !3 | )(| 3 3 2 x M xR 尽量小，即应使 | )(| 3 x 尽量小，最靠近插值点的三个

15、节点满足上述要求。即取节点 7 . 0 , 6 . 0 , 5 . 0 最好，实际计算结果 596274 . 0 63891 . 0 sin ， 且 7 4 1055032. 0 )7 . 063891. 0)(6 . 0963891. 0)(5 . 063891. 0( !3 1 596274. 063891. 0sin 3. 构造求解方程 0210=+xex 的根的迭代格式 L, 2 , 1 , 0),( 1 = + nxx nn ， 讨论其收 敛性，并将根求出来， 4 1 10| + +=+= x xf)(+，对 x ，故 0)(=xf 在(0,1)内有唯一实根.将方程 0)(=xf 变

16、形为 )e2( 10 1 x x= 则当 ) 1 , 0(x 时 )e2( 10 1 )( x x= ， 1 10 e 10 e | )(|= x x 故迭代格式 )e2( 10 1 1 n x n x= + 收敛。取 5 . 0 0 =x ，计算结果列表如下： n 0 1 2 3 n x 0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 n x 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 6 67 1095000000. 0| xx .所以 0085250

17、90. 0 * x . 4利用矩阵的 LU 分解法解方程组 =+ =+ =+ 2053 18252 1432 321 321 321 xxx xxx xxx 。 解： = 24 41 321 153 12 1 LUA 令 by =L 得 T )72,10,14(=y ， yx =U 得 T )3 , 2 , 1 (=x . 8 5对方程组 =+ = =+ 84102 5410 151023 321 321 321 xxx xxx xxx （1） 试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式， 说明理由； （2） 取 初 值 T )0 , 0 , 0( )0( =x ， 利 用 （ 1 ） 中 建

18、立 的 迭 代 公 式 求 解 ， 要 求 3)() 1( 10| + kk xx 。 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 =+ =+ = 151023 84102 5410 321 321 321 xxx xxx xxx 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 += += += + + + )1523( 10 1 )842( 10 1 )54( 10 1 )1( 2 )1( 1 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 3 )( 2 )1( 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取 T )0 , 0 , 0( )0( =x ,经 7 步迭代可得： T )0

19、10000. 1,326950999. 0,459991999. 0( )7(* = xx . 6用复合梯形求积公式计算x xd e 1 0 ，则至少应将0,1分为多少等份才能保证所得积分的 近似值有 5 位有效数字? 解：当 0xx ) 记 2 e),( x yxf = ,取 5 . 0=h , 0 . 2, 5 . 1, 0 . 1, 5 . 0, 0 43210 =xxxxx . 则由欧拉公式 = += + 0 ),( 0 1 y yxhfyy nnnn , 3 , 2 , 1 , 0=n 可得 88940. 0)0 . 1 (, 5 . 0)5 . 0( 21 =yyyy , 1260

20、4. 1)0 . 2(,07334. 1)5 . 1 ( 43 =yyyy 6、 给定方程01e ) 1()(= x xxf 1) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些 根，精确到 5 位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。 6、解：1）将方程 01e ) 1(= x x （1） 改写为 x x =e1 （2） 作函数 1)( 1 = xxf ， x xf = e)( 2的图形（略）知（2）有唯一根 )2 , 1 ( * x 。 12 2) 将方程（2）改写为 x x +=e1 构造迭代格式 = += + 5 . 1 e1 0 1 x x k x k ), 2 , 1 , 0(L

21、=k 计算结果列表如下： k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3) x x +=e1)( ， x x =e)( 当 2 , 1 x 时， 2 , 1 )1 (),2()(x ，且 1e| )(| 1 x 所以迭代格式 ), 2 , 1 , 0()( 1 L= + kxx kk 对任意 2 , 1 0 x 均收敛。 复习题（四）复习题（四） 一、填空题： 一、1、)2()( 1 =xxxl，) 1(716)( 2 +=xxxxN； 2、 4 ,

22、3 ,3； 3、高斯型， 12 +n ； 4、减少舍入误差； 5、12； 6、 5 . 2 1、 设 46)2(,16) 1 (, 0)0(=fff ,则 =)( 1 xl ， )(xf 的二次牛顿插值多项为 。 2、 7 22 ,141. 3 ,142. 3分别作为 的近似值有 , , 位有效数字。 3、 求积公式 = b a k n k k xfAxxf)(d)( 0 的代数精度以( )求积公式为最高， 具有( )次代 数精度。 ； 4、解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是( )； 5、已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用抛物线求积公式求5 1 d)(xxf

23、 ( )。 6、设 f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 ) 1 ( f ( )。 一、 单项选择题：1D， 2C， 3B， 4A， 5C， 6A， 7C， 8B 1、用 1+ 3 x 近似表示 3 1x+ 所产生的误差是( )误差。 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断 2、-324.7500 是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3、反幂法是用来求矩阵( )特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。 A. 按模最大 B. 按模最小 C. 全部 D. 任意一个 13 4、( )是解方程组 Ax=b 的迭代格式 x(k+1

24、)=Mx(k)+f 收敛的一个充分条件； A. M 1 B. )(A 1 C. A 1 D. )(M 1 5、用 s*=2 1 gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g 为重力加速度 )， st是在时间 t 内的实际距离，则 st- s*是（ ）误差。 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断 6、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为( )；A. 0.5 B. 0.5 C. 2 D. -2 7、三点的高斯型求积公式的代数精度为( )。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 8、求解线性方程组 Ax=b 的 LLT分解法中，A 须

25、满足的条件是( )。 A. 对称阵 B. 各阶顺序主子式均大于零 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零 三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打 ，否则打） 1、，2、，3、 4、，5、，6、，7、，8、，9、，10、 1、 已知观察值 )210()(miyx ii ，L= ,用最小二乘法求 n 次拟合多项式 )(xPn 时， )(xPn 的次数 n 可以任意取。 ( ) 2、 用 1- 2 2 x 近似表示 cosx 产生舍入误差。 ( ) 3、 )( )( 2101 20 xxxx xxxx 表示在节点 x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( ) 4、任给实数a及向量x，则 |xxaa

26、= 。 ( ) 5、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( ) 6、-23.1250 有六位有效数字，误差限 4 10 2 1 。 ( ) 7、矩阵 A= 521 352 113 具有严格对角占优。 ( ) 8、数据拟合的步骤是： 1）作散点图；2）解正规方程组；3）确定函数类型 ( ) 9、 LLT分解可用于求系数矩阵为实对称的线性方程组。 ( ) 10、幂法的收敛速度与特征值的分布无关。 ( ) 四、计算题： （每小题 7 分，共 42 分） 14 1、 用牛顿(切线)法求 3的近似值。取 x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。 1、解： 3是03

27、)( 2 = xxf 的正根， xxf2)(= ，牛顿迭代公式为 n n nn x x xx 2 3 2 1 = +， 即 ), 2 , 1 , 0( 2 3 2 1 L=+= + n x x x n n n 取 x0=1.7, 列表如下： n 1 2 3 n x 1.73235 1.73205 1.73205 2、 已知 A= 010 110 004 ，求1 A ， A ，2 | A 。 解： 4|, 4| 1 = AA ， = = 110 120 0016 010 110 004 010 110 004 AAT ， 0) 13)(16( 110 120 0016 | 2 =+= = EAA

28、T 得 16, 2 53 = ， 所以 4| 2= A 。 4、 已知 f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式 )( 2 xL 及 f (1.5)的近似值，取 五位小数。 解： ) 12)(12( ) 1)(1( 4 )21)(11 ( )2)(1( 3 )21)(11( )2)(1( 2)( 2 + + + + + = xxxxxx xL ) 1)(1( 3 4 )2)(1( 2 3 )2)(1( 3 2 +=xxxxxx 04167. 0 24 1 )5 . 1 ()5 . 1 ( 2 = Lf 4、n=3,用复合梯形公式求x xd e 1 0 的近似值（

29、取四位小数）,并求误差估计。 解：7342. 1e)ee(2e 32 01 de 132310 3 1 0 + = Tx x xx xfxfe)(,e)(= = ， 10 x 时， e| )(| xf 15 05. 0025. 0 108 e 312 e |e | 2 3 = =LTR x 至少有两位有效数字。 5、用幂法求矩阵 A= 210 121 004 按模最大特征值及相应特征向量，列表 计算三次，取 x0=(1，1，1)T，保留两位小数。 解：幂法公式为 = = = kkk kk kk m m A / )max( 1 yx y xy ， 取 x0=(1,1,1)T，列表如下： k yT

30、 mk xT 1 (4， 0， 1) 4.00 (1, 0, 0.25) 2 (4， -1.25， 0.5) 4.00 (1,-0.31,0.13) 3 (4, -1.75, 0.57) 4.00 (1,-0.44,0.14) 00. 4 1 , T )14. 0 ,44. 0, 1 ( 1 v 6、用 Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 411 131 103 3 2 1 x x x = 8 1 5 ， 取 x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel 迭代格式为： += = += + + + )8( 4 1 ) 1( 3 1 )5( 3

31、 1 )1( 2 )1( 1 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 3 )1( 1 kkk kkk kk xxx xxx xx 系数矩阵 411 131 103 严格对角占优，故 Gauss-Seidel 迭代收敛. 取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下: k )( 1 k x )( 2 k x )( 3 k x 1 1.667 0.889 -2.195 2 2.398 0.867 -2.383 3 2.461 0.359 -2.526 16 7、用预估校正法求解 = += 1)0(y yxy (0 x1)，h=0.2，取两位小数。 解：预估校正公式为 += = += +

32、 ),( ),( )( 2 1 12 1 211 kyhxhfk yxhfk kkyy nn nn nn L, 2 , 1 , 0=n 其中 yxyxf+=),( ， 1 0 =y ，h=0.2， 4 , 3 , 2 , 1 , 0=n ，代入上式得： n 1 2 3 4 5 n x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n y 1.24 1.58 2.04 2.64 3.42 综合题习题一 1、 设 2 1 2 Sgt= ，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的 绝对误差增加，而相对误差却减少。 （下证） 2 *2 22 11 ( )0.1 22 ( )0.10.

33、2 ( ) 11 22 ,( ) ,( ). r r e SSSgtgtgt e Sgt e S t gtgt te Se S = = 2、设 2 ( ) , f xC a b 且 ( )( )0f af b= ，求证 2 1 max( )() max( ) . 8 a x ba x b f xbafx 解：由 112 ,0),( ,0)( )( ) 0( ) 00.abL xl xl x= +=（两点线性插值 插值余项为 11 1 ( )( )( )( )()() , 2 R xf xL xfxa xba b= , .xa b有 17 1 22 11 ( )( )( )()()max( )(

34、)() 22 1()()1 max( )() max( ). 228 a x b a x ba x b f xR xfxa xbfxxa bx xabx fxbafx = + = 2 1 max( )() max( ) 8 a x ba x b f xbafx 3、在44x 上给出 ( ) x f xe= 的等距节点函数表，若用二次插值求 x e的近似值，要使 截断误差不超过 6 10，问使用函数表的步长h应取多少？（下解） ( )4 0000 ( ),( ), 4,4,1. xkx f xefxeexxh xxhxxth t= +=+考察点及 (3) 2000 4 43 4 3 ( ) (

35、)()()() 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! 2 .( 4,4). 6 3 3 f R xxxhxxxxh t tte th ththe h e h =+ + += 则 4 36 12 (1)(1) 33 3 100.006. 9 3 t tt e hh + Q在点处取到极大值） 令 得 4、求 2 ( )f xx= 在a,b上的分段线性插值函数 ( ) h Ix ，并估计误差。 （下解） 22 22 11 1 111 22 11 11 1 ( ) () kkkk hkk kkkkkk kkkk kkkk kk xxxxxx Ixxxx xxxxxx xxxx xxxx x xx

36、 + + + + + + =+= =+ 2 11 2 2 11 ( )( )( )() 11 ()() 44 hhkkkk kkkk R xf xIxxxxxx x xxxxxxh + + =+ = 18 5、已知单调连续函数 ( )yf x= 的如下数据用插值法计算x约为多少时 ( )1.f x = （小数点后 至少保留 4 位） i x 0.11 0.00 1.501.80 ( ) i f x 1.23 0.10 1.171.58 解：作辅助函数 ( )( ) 1,g xf x= 则问题转化为x为多少时， ( )0.g x = 此时可作新的关于 ( ) i g x 的函数表。 由 ( )f

37、 x 单调连续知 ( )g x 也单调连续，因此可对 ( )g x 的数值进行反插。 的牛顿型插值多项式为 1( ) 0.11 0.097345(2.23)0.451565(2.23)(1.10) 0.255894(2.23)(1.10)(0.17) xgyyyy yyy = + + 故 1(0) 1.321497.xg = 6、设函数 ( )f x 在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高 于 3 的多项式3( ) P x ，使其满足3(0) 0P= ，3(1) 1P= ，3(1) 3P= ,3(2) 1P= 。并写出误差 估计式。 解：由所给条件可用埃尔米特插值法

38、确定多项式 3( ) P x ， 32 3 57 ( )7 22 p xxxx= + 由题意可设 2 3 ( )( )( )( ) (1) (2)R xf xp xk x x xx= 为确定待定函数 ( )k x ，作辅助函 数： 2 3 ( )( )( )( ) (1) (2)g tf tp tk t t tt= 则 ( )g t 在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有 5 个零点 ,0,1,2(1txt= 为二重零 点） ，反复应用罗尔中值定理，知至少有一个零点 (0,3) 使 4( ) 0g= ，从而得 (4) 1 ( )( ) 4! k xf= 。 19 故误差估计式为 (4)2 1

39、 ( )( ) (1) (2)(0,3) 4! R xfx xx= 7、编程实现题：利用 Remez 算法，计算函数 xxfsin)(= ，在区间0，1 上的二次最佳 一致逼近多项式 )( 2 xp （要求精度为 0.0005）.略。 8、 给定 43 ( )1f xxx=+ ， 试利用最小零偏差定理， 即切比雪夫多项式的最小零偏差性质， 在0,1上求 ( )f x 的三次最佳一致逼近多项式。 2342 234 ( )21,( )43 ,( )881)T xxT xxx T xxx=+ 解：令 43 111 21( )()()3()1. 222 ttt txf xf + = =+ 设 * 3(

40、 ) Px 为 ( )f x 在0,1上的三次最佳一致逼近多项式，由于 1 () 2 t f + 的首项系数为 4 1 2 ， 故 * 34 4 1 *4342 3 *4342 3 32 111 16 ()()( ) 222 1111 ()()()1(881) 22216 8 1 ( )(31)8(21)8(21)1 16 8 51129 3.0,1 44128 tt fPT t ttt Ptt P xxxxx xxxx + = + =+ + =+ =+ 9、 设 100101 12 1,spanxspan xx= ，分 别 在 12 、 上 求 一 元 素 ， 使 其 为 2 0,1xC 的

41、最佳平方逼近，并比较其结果。 20 解： * 01 11 2 0001 00 1 2 1110 0 11 22 01 00 * * 01 0* 1 * 101 22 1 22 1 (,)11,(,), 2 11 (,),(,), 32 11 ( ,)1,( ,), 34 11 1 1 23 ( )6 1116 1 234 aa x dxxdx x dx fxdxfxxdx aa a xx aaa f =+ = = = += = = + =+= = * 1 (1)设 因 1 * 0 ( ,)0.00556 kk k af = *100*101 201 11 1002100101 000110 0

42、0 111 101 2102103 1101 000 * 01 * 01 (2)( ) 11 (,)(),(,)(,), 201202 111 (,)(),( ,),( ,). 203103104 111 201202103 111 202203104 xb xb x xdxxxdx xdxfxdxfxdx bb bb =+ = = += += 设 * 0 * 1 *100101 2 1 1 22 *4 2 22 0 0 375.24253 375.14825 ( )375.24253375.14825. 11 ( ,)375.24253375.148250.16406 103104 kk k

43、 b b xxx fbfx dx = = = 由结果知（1）比（2）好。 10、用最小二乘法求一个形如 2 yabx=+ 的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方 误差。 i x 19 25 31 38 44 i y 19.0 32.3 49.0 73.3 87.8 解： 21 44 222 01000 00 44 2 011001 00 44 4 1111 00 44 00 00 4 2 11 0 ( )1,( ).(,)( )15, (,)(,)( )( )5327, (,)( )( )7277699, (, )( )271.4, (, )( ) i ii iii ii iii ii i

44、ii ii iii i xxxx xxx xxx yx yy yx yx = = = = = = = = = = 因有 4 0 2 22 01 22 2 369321.5, 55327271.40.9726045 53277277699369321.50.0500351 0.97260450.0500351. (, )(, )0.016954. 0.130207526. i i y aba abb yx yayby = = += += =+ = = 11、用格拉姆施密特方法构造正交多项式求 ( )sinf xx= 在0，1上的二次最佳平方 逼近多项式。 （参考讲义与参考书） 解： 构造正交多项

45、式 0( )1x= 1 000 1 1 00 0 (,)1 (,)2 1 xd x x d x = ， 11 1 ( ) 2 xxx= 1 2 0 11 2 1 2 11 0 1 () (,)1 2 1 (,)2 () 2 xxd x x xd x = ， 1 2 0 11 2 1 00 0 1 () (,)1 2 (,)1 2 1 xd x d x = ， 22 22120 111 ( )()( )( )() 2126 xxxxxxx =+ 于是 1 00 0 (,)11dx= ， 1 2 11 0 11 (,)() 21 2 xd x= ， 22 1 1 0 1 ( ,)()sin0 2

46、fxxdx= ， 1 0 0 2 (,)sinfxd x = ， 1 22 22 0 11 (,)() 6180 xxdx=+= ， 2 1 2 2 3 0 112 ( ,)()sin 63 fxxxdx =+= ， 所以， ( )sinf xx= 在0，1上的二次最佳平方逼近多项式为 012 012 001122 2 (,)(,)(,) ()()()() (,)(,)(,) 4.12254.12250.05047 fff xxxx xx =+ + 12、求 ( ) x f xe= 在1，1上的三次最佳平方逼近多项式。 （参考讲义与参考书，利用 Legendre 正交多项式） 解：先计算 (,

47、)(0,1,2,3) k f Pk = 。 3504. 2 1 d),( 1 1 0 = e exePf x ； 7358.02d),( 1 1 1 1 = exxePf x ； 1431. 0 7 d 2 1 2 3 ),( 2 1 1 2 = = e exexPf x ； .02013.05 1 37d 2 3 2 5 ),( 3 1 1 3 = = e e xexxPf x ； 又有 1752. 12/ ),( 0 * 0 =Pfa ， 1036.12/),(3 1 * 1 =Pfa 3578.02/),(5 2 * 2 =Pfa ， 07046.02/),(7 3 * 3 =Pfa ，

48、 得 *23 3 23 11 ( )1.17521.10360.3578(31)0.07046(53 ) 22 0.99630.99790.53670.1761 Sxxxxx xxx =+ =+ 均 方误差 23 * 3 2 2 3 1 2* 2 1 0 () 2 d0 .0 0 8 4 21 x n x k k eSx exa k = = = + 13、编出用正交多项式(格拉姆施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。 （参考讲义与参考 书）略。 14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数进度。1） 101 ( )()(0)( ); h h f

49、x dxA fhA fA f h + 2） 2 101 2 ( )()(0)( ); h h f x dxA fhA fA f h + 3） 1 12 1 ( 1)2 ()3 () ( ); 3 ff xf x f x dx + 4） 2 0 (0)( ) ( )(0)( ). 2 h h ff h f x dxahffh + + 解： （1）三个参数，代入 1 101 2 110 23 11 1 333444 1 3 2 4 ()1,()0 3 2 1() 3 3 ()()()() 3333 4 ()()(0)(). 333 hh hh h h Ah AAAh fxx xh AAAh hAA

50、h Ah hhhh x dxhhx dxhh hhh fx dxfhffh = += = += = =+ + Q 具 有 三 次 代 数 精 度 （2）三个参数，代入 1 101 2 110 223 11 1 2 3333 2 2 454445 2 2 2 8 3 4 4 ( )1, ,0 3 16 8() 3 3 848 ()0( )0 333 6484816 ()0( ) 53333 84 ( )() 3 h h h h h h Ah AAAh f xx xhAhAAh hAh Ah Ah hh x dxhhh hh x dxhhhhhh h f x dxfh = += =+= += =

51、=+= =+= + Q 8 (0)( ). 33 hh ff h+具有三次代数精度 24 1 12 1 2 1211 22 1222 1 (3)( )1,( ) ( 1)2 ()3 (). 3 ,( ), 2310.689900.28990 2310.126600.52660 f xf x dxff xf x f xx x xxxx xxxx =+ = += += = 当时 有两个参数 令精确成立 或 1 333 12 1 1 1 1 1 1 1 23 3 ( ) ( 1)2 (0.68990)3 ( 0.12660)/3 ( ) ( 1)2 ( 0.28990)3 (0.52660)/3 2

52、. x dxxx f x dxfff f x dxfff + + + 而 故 与 均具有 次代数精度 2 00 2 222 0 2 3332 0 2 443 0 1 (4) ( )1,1110,0(11). 22 ( ), 1 0202 . 212 ( ), 003 212 ( ),( )004. 212 . hh h h h h fxxdxxdxhah fxx h x dxhahha hh fxxx dxhh hh fxxfx dxhh =+=+ = =+= =+ =+ 时 有 故 令时 求 积 公 式 精 确 成 立 当时 时 故 只 有 三 次 代 数 精 度 15、用下列方法计算积分

53、3 1 dy y ，并比较结果。龙贝格方法；三点高斯公式；将积分区间分 为四等分，用复化两点高斯公式。 （下解） ( )( )( )( ) 0123 31 11 (1) 01.333333 11.1666671.111111 21.1166671.1000001.099259 31.1032111.0987251.0986401.09863 (2) 2 111 0.55555560.88888891.0980 20.774596720.774596720 kkkk kTTTT dydt yt Gauss = + += + 用龙贝格算法 三点公式 1.522.531111 11.522.51111 41 (3)4, 57911 0.4054050.287671 0.2231400.1823201.098054 . dydydydydtdtd