重庆大学数理统计试题15年(答案版)

1、重庆大学期末考试题目汇总 涉及到的有关分位数： 2 0.950.950.950.9750.9750.975 222222 0.9750.0250.0250.9750.950.975 2 0.95 1.645,161.746,151.753,162.12,152.131,1628.85 1527.49,166.91,156.26,15.02,13.84,27.38 25.99 utttt 一、设 123 ,XXX是来自总体(0,3)XN的样本。记 2 33 2 i 11 11 , 32 ii i XX SXX , 试确定下列统计量的分布： （1） 3 1 1 3 i i X ； （2） 2 3

2、1 1 9 i i X ； （3） 2 3 1 1 3 i i XX ； （4） 3 X S 。 解： （1）由抽样分布定理， 3 1 1 (0,1) 3 i i XXN (2)因 3 1 1 (0,1) 3 i i XN ，故 22 33 2 11 11 (1) 39 ii ii XX （3）由抽样分布定理， 222 33 2 11 3 12 11 (2) 33 23 ii ii S XXXX （4）因 22 2 (0,1),2 3 XNS，X与 2 S独立，故 2 3 X t S 。 二、在某个电视节目的收视率调查中，随机调查了 1000 人，有 633 人收看了该节目，试根 据调查结果，

3、解答下列问题： （1）用矩估计法给出该节目收视率的估计量； （2）求出该节目收视率的最大似然估计量，并求出估计值； （3）判断该节目收视率的最大似然估计是否是无偏估计； （4）判断该节目收视率的最大似然估计是否是有效估计。 解：总体X为调查任一人时是否收看，记为(1, )XBp，其中p为收视率 （1）因EXp,而 E XX，故收视率的矩估计量为 X p （2）总体X的概率分布为 1 ( )1,0,1 x x f xppx 11 1 1 ( )(1)(1)(1) ln ( )ln(1)ln(1) ln ( )(1) 0 1 nn ii iiii nxnx xxnXn nX i L ppppppp

4、 L pnXpnXp dL pnXnX dppp 重庆大学期末考试题目汇总 解得收视率p的最大似然估计量为 X p 现有一参量为 1000 的样本 121000 ,XXX，,且 1000 1 633 i i X 则 633 0.633 1000 X ,故收视率的极大似然估计值为 0.633. （3）因EXp，故 X p 是无偏估计 （4）因 ln ( )(1) 1(1) dL pnXnXn Xp dppppp ， 又EXp 故 收视率的最大似然估计X是p的有效估计。 三、甲制药厂进行有关麻疹疫苗效果的研究，用X表示一个人用这种疫苗注射后的抗体强 度，假定 X 服从正态分布。另一家与之竞争的乙制

5、药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度是 1.9。现甲厂声称其产品有更高的平均抗体强度，为证实这一点，检测了 16 个志愿者注射甲 厂疫苗后的抗体强度， 得样本均值2.225X ， 样本方差为 2 0.2687S 。 请回答下列问题： （1）提出该问题的原假设与备择假设； （2）写出犯第一类错误的概率表达式，并说明犯第一类错误的实际后果； （3）根据样本数据，在显著性水平0.05时，检验你的假设，验证甲厂疫苗是否有更高 的平均抗体强度； （4）求甲厂疫苗抗体强度方差的置信度为 0.95 的置信区间。 解：设 22 ( ,). ,XN 未知 （1） 0010 :1.9;:1.9HH (2)犯第一类错误

6、的概率为： 00 PH H拒绝成立 犯第一类错误误认为甲厂疫苗有更高的平均抗体强度，其实际后果是可能对人的生命 健康安全造成威胁。 （3）由于 2 未知，n16， 0 H的拒绝域为： 0010.95 0.5184 (1)1.9(15) 16 S KXtnXt n 又 0.95 0.51840.5184 1.92.225 1.90.325,(15)1.7530.227 416 Xt 因0.3250.227，故拒绝 0 H,接受 1 H。即在0.05时可以认为甲厂疫苗有更高 重庆大学期末考试题目汇总 的平均抗体强度。 （4）因 2 ( ,).XN 未知， 222 0.9750.025 10.95,

7、16,0.2687,1527.49,156.26nS 0.975 0.025 2 22 1 2 2 22 2 115 0.268715 0.2687 0.147 11527.49 115 0.268715 0.2687 0.644 1156.26 nS n nS n 故方差 2 的置信度为 0.95 的置信区间为0.147,0.644。 四、为了研究慢性支气管炎与吸烟量的关系，调查了 360 人，统计数字如下表所示： 吸烟量 类型 10 支/日20 支/日和 患病人数26147173 健康者30123153 和56270360 试判断慢性支气管炎与吸烟量是否有关系。 （取0.05） 解：此为独

8、立性检验 0 H：慢性支气管炎与吸烟量无关， 1 H：慢性支气管炎与吸烟量有关 拒绝域： 22 01 1K 2 22 112221 12 0.95 1212 () 1.32113.84 n n nn n n n n n 故接受 0 H,认为慢性气管炎与吸烟量无关。 五、为了决定在老鼠中血糖的减少量和注射胰岛素 A 的剂量间的关系，将同样条件下繁殖 的 7 只老鼠注射不同剂量的胰岛素 A，获得以下数据： A 的剂量 i x0.20.250.250.30.40.50.5 血糖减少量 i y30264035545665 通过计算得知0.343,43.714,xy 22 777 111 0.092,1

9、301.429,10.186 xxiyyixyii iii lxxlyylxxyy （1）试根据以上数据，建立血糖减少量对胰岛素 A 的剂量的样本回归直线方程； 重庆大学期末考试题目汇总 （2）求出 2 2 E S n ； （3）写出回归系数显著性检验的原假设与备择假设； （4）若用t检验法，写出回归系数显著性检验的拒绝域； （5）根据以上数据判断胰岛素 A 的剂量与血糖减少量之间是否存在线性关系。 （0.05） 解： （1） 1 10.186 110.717 0.092 xy xx l l 01 43.714 110.717 0.3435.738yx 得血糖减少量对胰岛素 A 的剂量的回归方

10、程为： 5.738 110.717yx。 （2） 2 2 11 1301.429 110.717 10.186173.666 Eyyxxyyxy Sllll 2 173.666 5.893 272 E S n （3） 0111 :0;:0HH (4) 01 1 2 2 xx Ktn l （5） 0.975 5.893 52.57149.951 0.092 xx t l 因 1 110.71749.951，故拒绝 0 H，认为存在线性关系。 六、现有某种型号的电池 3 批，它们分别是 A，B，C 这 3 个工厂生产的，为评比其质量， 各随机抽取 5 只电池为样本，经试验测得其寿命如下表所示： 工

11、厂寿命 A4048384245 B2634302832 C3940435050 若用方差分析方法来分析各厂电池寿命有无显著差异，请问： （1）该问题的指标是什么？因素是什么？因素的水平是什么？ （2）数据应该满足的基本假定有哪些？ （3）提出该问题的原假设与备择假设。 解： （1）指标是寿命，因素是工厂，因素的水平是 A，B，C 三个不同的工厂 （2）同一工厂的电池寿命数据是来自同一个正态总体的样本 不同工厂的电池寿命数据是来自相互独立的正态总体，各总体方差相同 （3） 0 H：不同水平下的平均电池寿命相同 重庆大学期末考试题目汇总 1 H：至少有两个水平下的平均电池寿命不同 七、请简述为什么正交试验设计可以用较少的试验次数找到较优的水平搭配。 答： 正交表保证所做的试验的水