数列经典名题

1、经经 典典 名名 题题 “熟读唐诗三百首，不会写诗也会吟。 ” 你知道围棋界超一流高手李昌镐背并研究了多少棋谱吗？那么对于你知道围棋界超一流高手李昌镐背并研究了多少棋谱吗？那么对于 历年高考试题你有背并研究了多少？得到那些实用的数学思想和技巧历年高考试题你有背并研究了多少？得到那些实用的数学思想和技巧 呢？呢？ 1 （2000 年全国）年全国） （1）已知函数cn其中 cn2 n3 n，且数列cn +1pcn为等比数列，求常数 p； （2）设an 、 bn是公比不相等的两个等比数列，cna nb n，证明数列cn不是等 比数列。 思路启迪：思路启迪：（1）如何求 p？根据题中所给的条件构建关于

2、 p 的方程即可。 （2）如何证明cn不是等比数列？联想到等比中项，只要证明 即可，这正是优化结论策略的灵活运用呵！ 31 2 2 ccc 解法点拨：解法点拨：(1)cn +1pcn为等比数列，故有 点评：点评： 。 。 。 这种思路很正常！写出来)()( 112 2 1 nnnnnn pccpccpcc 就能得分， 又 cn2 n3 n， 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 太轻松了！考试时你敢写 吗？ 将代入，得 不写就太可惜了！ 211 )32(32 nnnn p = )32(32 1122 nnnn p)32(32 1

3、1 nnnn p 即 这种变形整理的技巧值得 2 3)3(2)2( nn pp 学习！ = 你有过这方面的经历吗？3)3(2)2( 11 nn pp3)3(2)2( 11 nn pp 写出来！ 整理，得 到此水落石出！032)3)(2( 6 1 nn pp 解得 p =2 或 p =3 （2）设anbn的公比分别为 p,q,pq,cn = an + bn. 要想证cn不是等比数列，只需证 31 2 2 ccc 事实上， 解法小结：解法小结：本题主要考查等比数列的概 2 11 2 2 )(qbpac 念和基本 性质、推理和运算能力.如何证cn不是等pqbaqbpa 11 2 1 22 1 2 比

4、数列? _根据等比数列性质，运用“由具体到抽)( 2 1 2 11131 qbpabacc 象”的 思维策略，只需证即可。这正)( 22 11 22 1 22 1 qpbaqbpa 31 2 2 ccc 是解(2) 由于 pq,又 a1，b1不为 0， 题的思维闪光点！pqqp2 22 对一个命题的肯定是困难的；但对一个命对一个命题的肯定是困难的；但对一个命 31 2 2 ccc 题的否定题的否定 数列cn不是等比数列。 并不难。你完全不必要对一个命题作全盘并不难。你完全不必要对一个命题作全盘 否定。否定。 拓展试题：拓展试题： 这种思想你必须深沉地印在脑海中，养成这种思想你必须深沉地印在脑海

5、中，养成 条件反射，条件反射， 1 （2002 年年 全国全国 文科）文科） 左边的左边的 2002 年题的第一问可直接从特殊性年题的第一问可直接从特殊性 入手加以入手加以 设函数 判定；例如：判定；例如：rxxxxf, 12)( 2 (1)判断函数 f (x)的奇偶性； f (2)=3,f (-2)=7,由于 f (-2)f (2),f (-2)f (2) (2)求函数 f (x)的最小值. . 故 f (x)既不是奇函数又不是偶函数。 2 （2002 年年 全国全国 理科）理科） 这样否定多轻松！别担心，就这么简单！学这样否定多轻松！别担心，就这么简单！学 着点！着点！ 设 a 为实数，

6、对比文理科的差异，能悟出些什么？对比文理科的差异，能悟出些什么？rxaxxxf, 1)( 2 (1)讨论函数 f (x)的奇偶性； 看下面为理科试题朴实而又准确的解答过程：看下面为理科试题朴实而又准确的解答过程： (2)求函数 f (x)的最小值. . 标准解法：标准解法：(1)当 a=0 时， )(1)()( 2 xfxxxf 故此时的 f (x)为偶函数。 (1)的解法怎样？称得上简洁明快吧！ 当 a0 时， 你有何体会？12)(, 1)( 2 aafaaf 故此时 f (x)既不是奇函数又不是偶函数。 (2)当 xa 时， (2)要注意对谁进行分类讨论？是要注意对谁进行分类讨论？是 a

7、还还 是是 x ? 4 3 ) 2 1 (1)( 22 axaxxxf 若则上单调递减，从而 点评：点评：, 2 1 a,()(axf在 上的最小值为 分类讨论要求条理清楚，不重不漏；,()(axf在1)( 2 aaf 若则函数在上的最小值为 这里讨论的是字母 a 而不是自变量, 2 1 a)(xf,(a x， 认清自变量，头脑要高度清醒，慢)() 2 1 (, 4 3 ) 2 1 (affaf且 慢来， (2)当 xa 时， 相信慢工出细活，我们要有充分的 得分 则函数 意识，因为分数才是硬道理！ 4 3 ) 2 1 (1)( 22 axaxxxf 当 a，则函数上的最小值为 在平时我们要舍

8、得花大力多练题， 2 1 ),)(axf在 多吃苦， 多思考，多问为什么？在考场，我)() 2 1 (, 4 3 ) 2 1 (affaf且 们一定要 当 a，则函数上单调递减， 用最稳妥的方式得分！ 2 1 ),)(axf在 从而函数的最小值 还记得下列这些题你是怎么错的),)(axf在 吗？ 1。(98 年文科年文科)设 ab,解关于 x1)( 2 aaf 的不等式： 综上，当 a时，函数； 2 1 axf 4 3 )( 的最小值是 222 )1 ()1 (xbaxxbxa 当时，函数； 2. 解不等式 2 1 2 1 a1)( 2 axf的最小值是 xx x1 1 2 当 a，则函数的最

9、小值是 。 2 1 )(xf 4 3 a 2(2001 年年 全国全国) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游 产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地 5 1 旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业 收入每年会比上年增加。 4 1 ()设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为 bn万元， 写出 an与 bn的表达式； ()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：()第 1 年投入为 800 万元； (接左下接左下)第 1 年旅游业收入为 400 万

10、元， 第 2 年投入为 800万元； 第 2 年旅游业收入为 400万元，) 5 1 1 ( ) 4 1 1 ( ； ； 第 n 年投入为 800万元； 第 n 年旅游业收入为 400万 1 ) 5 1 1 ( n1 ) 4 1 1 ( n 元， 所以，n 年内的总投入为 所以，n 年内的旅游业总收入为 1 ) 5 1 1 (800) 5 1 1 (800800 n n a 1 ) 4 1 1 (400) 4 1 1 (400400 n n b ) 5 4 () 5 4 ( 5 4 1 800 12 n ) 4 5 () 4 5 ( 4 5 1 400 12 n 5 4 1 ) 5 4 (1

11、1 800 n 4 5 1 ) 4 5 (1 1 400 n 3 分(接右上接右上) ) 5 4 (1 4000 n 1) 4 5 (1600 n 6 分 ()设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此：0 nn ab 即 点评点评:0) 5 4 (1 4000 1) 4 5 (1600 nn 化简得： 换元法和估算是值得我们学习的!07) 4 5 (2) 5 4 (5 nn 设,代入上式得 的具体解法:化为小数进行估 n x) 5 4 ( 5 2 ) 5 4 ( n 算! 因为大于 0,故可两边取对数得0275 2 xx 5 2 lg) 5 4 lg( n 解此不等式,得 即 12

12、lg2) 12lg3( 10 4 lg) 10 8 (lgnn (舍去)-为什么? 再根据可求得 n51, 5 2 xx3010 . 0 2lg 即 5 2 ) 5 4 ( n 5 2 ) 5 4 ( n 2 . 0)2 . 01 (2 . 08 . 0 nn 由此得 n5 再由近似公式得2 . 02 . 01n4 n 答: 至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入。 下面我们放松一下,一些轻松的题目你能在快速找到入题角度吗? 1在等差数列an中，s20=180，则 a6+a 9+a11+a16= ； 2(91 年年)已知是等比数列,且,那么的值为( ) n a252, 0 645342

13、aaaaaaan 53 aa a、5 b、10 c、15 d、20 3. (92 年年)已知等差数列an的公差 d0,且 a 1、a 3、a 9成等比数列,则的值是 1042 931 aaa aaa 。 4. (92 年年)设等差数列an的前 n 项和 sn，a 312，s120，s130。 求公差 d 的取值范围； 指出 s1、s2s12中哪一个最大，并说明理由。 变题：变题：设 sn为等差数列an的前 n 项和，在已知的 sn中有 s12 0,那么 sn中最小 的是( ) as4 bs5 cs6 ds7 5. (93 年年)在各项均为正数的等比数列的an中,若 a5 a6 9,则 ( )

14、1032313 logloglogaaa a、12 b、10 c、8 d、2+log 35 6.(94 年年)某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个） ，经过 3 小时， 这种细菌由一个可以繁殖成（ ） a、511 个 b、512 个 c、1023 个 d、1024 个 7. (2000 年春招年春招)已知等差数列an满足 a1+a2+a3+a101=0，则有（ ） a、a1a1010 b、a2a1000 c、a3a990 d、a5151 8. (2000 年年)设an是首项为 1 的正项数列,且(n+1)(n=1,2,3,)，0 1 22 1 nnnn aanaa 则它

15、的通项公式是。 9. (2001 年年)设an是以公比为 q 的等比数列,sn是它的前 n 项和.若sn是等差数列,则 q= ; 10. (2002 年招年招) 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ） a13 项 b12 项 c11 项 d10 项 11. (2001 年上海春招年上海春招) 若数列an前 8 项的值各异,且 an+8=an对于任意都成立, nn 则下列数列中可取遍an前 8 项值的数列为( ) a. a2k+1 b. a3k+1 c. a4k+1 d. a6k+1 12. (2002 年年)据 2002 年

16、 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产 总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3。 ”如果“十五”期间(2001 年-2005 年)每 年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内生产总值约为( ) a. 115000 亿元 b. 120000 亿元 c. 127000 亿元 d. 135000 亿元 13. (1999 年上海年上海)在等差数列an中,满足 3a4=7a7,且 a10,sn是数列an的前 n 项和。 若 sn取得最大值,则 n= ； 13. (2001 年上海年上海)设数列an的通项 an=2n7 (n)，则= n 1521

17、 aaa 14. (2001 年上海年上海) 设数列是公比的等比数列，是它的前 n 项和，若 n a0q n s ，则此数列的首项的取值范围是 ；7lim n n s 1 a 15. (97 上海上海)=( )() 1(),( 2 1 3 1 2 1 1 1 )(nfnfnn nnnn nf 那么 a. b. c. d. 12 1 n22 1 n22 1 12 1 nn22 1 12 1 nn 16一套共 7 册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为 13958，则出 齐这套书的年份是( ) a1994 b1996 c1998 d2000 17已知一个等差数列前 n 项和为 sn

18、，若 s130，则此数列中绝对值最小的项是( ) a第 5 项 b第 6 项 c第 7 项 d第 8 项 18在单位圆中作内接正方形，再作此正方形的内切圆，然后作此内切圆的内接正方形。 依此无限地作下去。记 c 为所有圆的面积之和，s 为所有正方形的面积之和，则=( ) s c a b c d 2 22 (2003 年上海年上海)已知数列an(n 为正整数)是首项为 a1，公比为 q 的等比数列。 (1) 求和：； ； 2 23 1 22 0 21 cacaca 3 34 2 33 1 32 0 31 cacacaca (2) 由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并加以证明；

19、(3) 设 q1,sn是等比数列an的前 n 项和，求： 。 n nn n nnnn cscscscscs 1 3 4 2 3 1 2 0 1 ) 1( 思路启迪：思路启迪：(1)联想到求组合数公式可求；(2)仔细观察，分析(1)中的两个所求式的结构特征： 有、时，三项和；有、时，四项和 0 2 c 1 2 c 2 2 c 2 1 )1 (qa 0 3 c 1 3 c 2 3 c 3 3 c ； 3 1 )1 (qa 且、前面的符号正负相间；、前面的符号正负相间； 0 2 c 1 2 c 2 2 c 0 3 c 1 3 c 2 3 c 3 3 c 于是可以归纳概括出的结论为： 若数列an是首项

20、为 a1, 公比为 q 的等比数列,则 为正整数。 n nn n nnnn cacacacaca 1 3 4 2 3 1 2 0 1 ) 1( nqa n, )1 ( 1 再对猜想加以证明。 (3)求出 sn的表达式代入所求中，即可获得解答。 4(2002 年年 全国全国) 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6 并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆， 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 思路启迪：思路启迪：我们应抓住题中的关键条件：“预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6，并且每年新增汽车数量相

21、同。 ”这就启发我们题中构成的数列是一个 等比数列。再运用不等式知识，于是问题可解。 标准解法：标准解法： 设 2001 年末汽车保有量为 b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为为 b2万辆，b3万辆， 每年新增汽车 x 万辆，则： b1 = 30，b2 = b1 0.94 + x ； 点评：点评： 对于 n1，有 还记得前面我们给大家介绍的用函数 知识来 bn+1 = bn 0.94 + x 解此题的过程吗？试比较其异同！ , 注意在这里我们是求 n ?还是求 x？xbn)94 . 0 1 (94 . 0 2 1 搞清楚谁是自变量？)94 . 0 94 . 0 1 (94 . 0 1 11 n

22、n n xbb 这是等比数列求和！应该记忆深刻xb n n 06 . 0 94 . 0 1 94 . 0 1 吧！ x xx 94 . 0 ) 06 . 0 30( 06 . 0 当时， 这里讨论 x 的目的是为求 x！8 . 1, 0 06 . 0 30 x x 即 bn+1 bn b1 = 30； 显然满足 bn 60 (n = 1, 2, 3, ) 当时，8 . 1, 0 06 . 0 30 x x 即 为什么这里要用极限呢？94 . 0 ) 06 . 0 30( 06 . 0 limlim 1 n n n n xx b 这个数列的和应满足什么特点？会 06 . 0 x 联想到 并且数列

23、bn逐项增加，可以任意靠近， 什么？渐近线？极限值？ 06 . 0 x 因此，如果要求汽车保有量不超过 60 万辆，既 bn 60 (n = 1, 2, 3, ) 则60 06 . 0 x 即 x3.6(万辆) 综合的结论可知，每年新增汽车不超过 3.6 万辆。 5(1997 年年 上海上海) 设数列an的首项 a1=1,前 n 项和 sn满足关系式；3 t s n (2 t + 3) sn-1 =3 t ( t 0, n=2,3,4,)； (1) 求证：数列an是等比数列； (2) 设数列an的公比为 f (t ),作数列bn,使数列 b1=1，,求), 4 , 3 , 2() 1 ( 1

24、n b fb n n bn； (3) 求和：b1b2 b2b3 + b3b4 + b2n1b2n b2nb2n+1 。 基本解法：基本解法： (1) 由 s1 = a1 = 1,s2 = a1 + a2 = 1 + a2,得 怕什么！方向是明确的。 3t (1 + a2) (2t + 3) = 3t 方法：由特殊到一般！猜想都常用，何况证方法：由特殊到一般！猜想都常用，何况证 明呢？明呢？ 可得 先找先找 a1和和 a2看看它们的比如何？看看它们的比如何？ t t a 3 32 2 于是 得到了得到了 a1和和 a2的比，可进一步扩大战果吗？的比，可进一步扩大战果吗？ t t a a 3 32 1 2 又 3 t s n (2 t + 3) sn-1 =3 t 能看能看 an与与 an-1的比如何？的比如何？ 3 t s n-1 (2 t + 3) sn-2 =3 t 没有没有 a n与与 an-1，可以求出来吗？，可以求出来吗？ 两式相减，得 技巧技巧？努力试一下，看有无