第九章 方差分析及回归分析.ppt

1、2020/7/22,1,第九章 方差分析及回归分析,1 单因素试验的方差分析,（一）单因素试验 在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素很多。,方差分析是根据试验的结果进行分析，鉴别 各个有关因素对试验结果影响的有效方法。,在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。影响试验指标的条件称为因素。因素可分为两类，一类是人们可以控制的（可控因素）；一类是人们不可控制的。以下我们所说的因素都是指可控因素。因素所处的状态，称为该因素的水平。如果在一项试验中只有一个因素在改变时称为单因素试验。如果多于一个因素在改变称为多因素试验。,2020/7/22,2,例1 设有三台机器，用于生产规格相同的铝合金薄板。

2、取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。得结果如下表所示。,这里，试验的指标是薄板的厚度。机器为因素，不同的 三台机器就是这个因素的三个不同的水平。我们假定除 机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其他 条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是为了考 察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。,铝合金板的厚度,2020/7/22,3,例2 下面列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。,这里，试验的指标是电路的响应时间。电路类型为 因素，这一因素有四个水平。这是一个单因素的试 验。试验的目的是为了考察各种类型电路的响应时间 有无显著性差异。,2020/7/2

3、2,4,例3 三名工人分别在四种不同的机器上生产同一种零件，每人在每台机器上工作3天，其日产量如下表所示：,2020/7/22,5,这里试验指标是零件的日产量，工人和机器是因素，它们分别有3个、4个水平。这是一个双因素试验。试验的目的在于考察不同的工人在不同的机器上生产零件的日产量有无显著差异。,本节先讨论单因素试验的方差分析。,2020/7/22,6,（二）方差检验的基本前提：1、对变量因素的某一个水平，第 个水平进行试验，得到的观察结果 看作是从正态总体 中取出的一个容量为 的样本，且 均未知 。,2020/7/22,7,设因素A有r个水平A1，A2，Ar，在每个水平Ai(i=1，2，r)

4、下，进行ni (ni2)次独立试验，整理试验结果如下表所示。,其中Xij表示在水平Ai下进行第j次试验的结果(j=1，2，ni，i=1，2，r)。,2020/7/22,8,（1.1）,2020/7/22,9,（三）统计假设,（1.2）,2020/7/22,10,2020/7/22,11,2020/7/22,12,（四）检验方法,2020/7/22,13,因为,所以,2020/7/22,14,若记,2020/7/22,15,2020/7/22,16,单因素试验方差分析表,2020/7/22,17,2020/7/22,18,2020/7/22,19,例4 设在例1中符合模型（1.1）条件，检验假设

5、（ =0.05)：,2020/7/22,20,例1的 方差分析表,2020/7/22,21,（五）未知参数的估计,2020/7/22,22,2020/7/22,23,2020/7/22,24,（一）双因素等重复试验的方差分析,2 双因素试验的方差分析,2020/7/22,25,2020/7/22,26,2020/7/22,27,此时，,2020/7/22,28,对于这一模型要检验以下三个假设,2020/7/22,29,2020/7/22,30,双因素试验的方差分析表,2020/7/22,31,记,2020/7/22,32,2020/7/22,33,例5 在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度

6、（因素B）与时间（因素A）各取两个水平，产品强度的测定结果（相对值）如下表所示。在同一条件下每个实验重复两次。设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同。各样本独立。问热处理温度、时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响（取 =0.05）？,2020/7/22,34,2020/7/22,35,得方差分析表如下：,2020/7/22,36,2020/7/22,37,（二）双因素无重复试验的方差分析,如果两个因素不存在交互作用，或者交互作用对试验的指标影响很小，则可以不考虑交互作用。,2020/7/22,38,此时，需要检验的假设有：,2020/7/22,39,可得方差分析表如下：,

7、2020/7/22,40,表中平方和的计算如下：,2020/7/22,41,2020/7/22,42,例6 为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表：,2020/7/22,43,假定其体重增长量服从正态分布，且各种配合的方差相等。试分析不同饲料与不同品种对猪生长有无显著影响。,2020/7/22,44,2020/7/22,45,列出方差分析表,2020/7/22,46,2020/7/22,47,前面讨论的方差分析是考察因素对试验指标影响的显著性，而在有些问题中还需要了解指标随因素改变的变化规律，也就是寻找指标与因素之间

8、的定量表达式。,在现实世界中，我们常常会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们之间存在着相互联系，相互制约的关系。,3 一元线性回归,2020/7/22,48,回归分析就是寻找这类具有不完全确定关系的变量间的数学关系式并进行统计推断的方法。,另一类是统计关系或称相关关系。即变量之间虽然存在着种种关系，但从一个(或一组)变量的每一确定值，却不能求出另一变量的值。,这些关系大致可以分为两类：一类是确定性关系，即高等数学中所学过的函数关系。例如电压V，电阻R与电流强度I之间有关系式：V=IR，圆的面积S与圆的半径R之间有关系S = 等等。,例如人们的身高X与体重Y之间关系，某种商品的销售量Y与商品的价

9、格X之间的关系，某种农作物的产量与施肥量、气候、农药之间的关系等等。其特点是它们之间的关系是不能用一个确定的函数关系表达出来。,2020/7/22,49,设随机变量y与x之间存在着相关关系，这里，x是可控变量，如身高、价格、温度等，可以将x看成一个普通变量而不是一个随机变量。,由于y与x之间不存在完全确定的函数关系，因此必须把随机波动产生的影响考虑在内。也就是说y可以看作两部分叠加而成，一部分是随 x的变化而变化，记为f(x)，另一部分是由随机因素引起的，记为,其中f (x)随x而确定，是x的普通函数，故又称回归函数。,1、回归模型,2020/7/22,50,2020/7/22,51,2. 定

10、义,为了研究y与x之间的关系，进行n次独立试验，实测数据对为： 。 其中, 是可控变量x的一个指定值， 是当 时随机变量 y的对应实测值。,讨论时，一般是将实测数据在坐标系中画出散点图,2020/7/22,52,2020/7/22,53,2020/7/22,54,例1 以家庭为单位，为研究某商品的价格(元)对商品的需求量(kg)的影响，现测得一组数据如下：,试求y关于x的线性回归方程。,解:,作散点图，从这10对数据的散点图可以看出，所有的散点大致分布在一条直线附近。故可用线性回归方程求解。,设y对x的回归方程为：,2020/7/22,55,2020/7/22,56,2020/7/22,57,

11、于是，所求的回归方程为,2020/7/22,58,2020/7/22,59,（四）回归系数的假设检验,2020/7/22,60,2020/7/22,61,例2 在显著性水平 下，检验例1得到的线性回归方程的显著性。,解 沿用例1的结果,因此,2020/7/22,62,值得注意的是，当我们检验后，接受H0：b=0时，即认为y对x的线性关系不显著时，并不意味着y与x就不相关。事实上，线性回归效果不显著可能有如下几种情形：,(1) 影响y取值的，除了x外，还有其它不可忽略的因素；,(2) y与x的关系不是线性的，但存在着其他相关关系；,(3) y与x确实不存在相关关系。 因此，需要作进一步的分析、研究。,2020/7/22,63,2020/7/22,64,2020/7/22,65,2020/7/22,66,2020/7/22,67,2020/7/22,68,2020/7/22,69,2020/7/22,70,2020/7/22,71,2020/7/22,72,2020/7/22,73,（八）可化为一元线性回归的例子,2020/7/22,74,2020/7/22,75,2020/7/22,76,4 多元线性回归,2020/7/22,77,2020/7/22,78,2020/7/22,79,2020/7/22,8