第2章数学与文化.ppt

1、第2章 数学与文化,数学与文化数学的内容与特点,数学是什么 数学的定义： 数学是数和形的学问 数：代数，数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力； 形：几何，空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉和洞察能力。 数学是一门关于模式和秩序的科学 数学是对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。 数学提供了有特色的思考方式 抽象化：许多不同现象所共有的性质； 符号化：把自然语言扩充、深化，变为紧凑、简明的符号语言； 公理化：从原始资料进行推理，归纳与演绎并用； 最优化：考察所有的可能性，寻求最优解； 建立模型：现实现象数

2、量关系数学问题,数学与文化数学的内容与特点,名家论数学 恩格斯：数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。 爱因斯坦：如果欧几里得（几何）不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学思想家。 牛顿：在数学中，最微小的误差也不能忽略。 华罗庚：宇宙之大，核子之微，火箭之速，日用之繁，无处不用数学。 培根：读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩，凡有所学，皆成性格。 钱学森：现代科学技术，不管哪一门都离不开数学，离不开数学的一门或几门学科。,数学与文化数学的内容与特点,初等数学 几何学：研究空间形式的学科 代数学：研究数量关系的

3、学科 初等数学基本上是常量数学,高等数学 解析几何 线性代数 高等代数 微积分：常微分、偏微分方程 概率与数理统计,数学的内容,数学与文化数学的内容与特点,数学的特点 抽象性：在数学的抽象中之保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；数学的抽象是一个历史过程，是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。例如：力、质点、理想气体、人。 精确性：数学的精确性表现在数学定义的准确性，推理逻辑的严格性，以及数学结论的确定无疑与无可争辩性。,理论与结果的优美性：数学的美在于发现一般规律(周长:直径=)；和谐、雅致(解析

4、几何学)；高度的抽象和统一(阿拉伯数字)；对称、简介、有序(a+b)3)。 应用的极端广泛性：凡是出现“量”的地方就少不了用数学；它是其它任何学科的工具学科；一般通过建立数学模型来研究实际问题。 应用的前瞻性：即超前性。基础研究对未来有“不期而遇”的用途。 诗人用想象去预见未来，政治家用意志去预见未来，慈善家用情感区预见未来，数学家用理智、数学公式去预见未来。,数学与文化数学的内容与特点,数学的新用途概述 通常人们把数学分为纯粹数学和应用数学。哈代的数论，爱因斯坦的相对论都是“无害而清白”学问的范例。原子弹！海湾战争=数学战争！ 计算机的介入改变了数学研究的方法，大大扩展了数学研究的领域，加强

5、了数学与社会多方面的联系；（数学实验、核爆模拟等） 数学直接介入社会，数学模型的作用越来越大；（植物病虫害防治） 离散数学获得重大发展，人们可以在不懂微积分的情况下，对数学作出重大贡献； 分形几何与混沌学的诞生是数学史上的重大事件。,数学与文化数学的内容与特点,数学的新用途概述 1、化学 数学家豪普特曼用古典数学的方法解决了晶体的几何结构问题！解决了化学家长达40多年的困惑，1985年获诺贝尔化学奖。 2、生物学 沈括已观察到出生性别大致相等规律，建立“育胎之理”的数学模型； 奥地利的孟德尔通过植物杂交实验提出了“遗传因子”的概念，发现生物遗传的分离定律和自由组合定律； 英国人皮尔逊创办了生物

6、统计学奏响了数学进军生物学的序曲； 意大利数学家沃尔泰拉创立了生物动力学。 最有影响的分支是生命科学。“数学打开了DNA双螺旋的疑结”。 对生理学和脑科学也产生了很大的影响。,数学与文化数学的内容与特点,数学的新用途概述 3、地学 分形地貌学是一门用现代非线性科学中的分形方法及原理研究地球表面起伏形态及其发生、发展和分布规律的新兴科学。现代气象学中的数值天气预报是在数学家冯诺依曼等人的设计和支持下实验成功的。 4、体育运动 用现代方法研究体育运动是从20世纪70年代开始的。最早是美国数学家J.B.凯勒发表了赛跑的理论。投掷技术、台球的击球方向、跳高的起跳点、比赛程序的编排、博弈论与决策等。 5

7、、数学与经济学的联姻 经济学在社会科学中占有举足轻重的地位。数学介入经济学使其发生了深刻而巨大的变化。19691990年间14/27经济学诺贝尔奖得主是用数学方法应用于经济分析之中。 6、自然界 禅的鸣叫声总是一致的；萤火虫的同步闪光。数学模型！,数学与文化数学发展简史,数学发展的四个时期 第一时期：数学的萌芽时期 第二时期：初等数学时期，即常量 数学时期 第三时期：变量（近代）数学时期 第四时期：现代数学,第一时期数学的萌芽时期 从时间来看，大约是从远古到公元前6世纪； 特点：形成了数的概念，初步掌握运算方法，积累一些数学知识； 中国、埃及、巴比伦和印度贡献最大。,数学与文化数学发展简史,数

8、学发展的四个时期 第二时期初等数学时期，即常量数学时期 从时间上来看，大约是从公元前6世纪到公元17世纪； 特点：将零星的数学知识进行积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系； 标志物：公元前3世纪到2世纪的几何原本和九章算术 按照历史条件的不同，把初等数学史分为三个时期： 希腊时期：最辉煌的著作是欧几里得的几何原本 东方时期：中国第一次利用负数；印度发明现代记数法；中亚西亚造出精确的正弦表 文艺复兴时期：欧洲人第一次运用虚数；韦达造出现代代数符号；纳皮尔发明对数；布里格算出第一个十进制对数表,数学与文化数学发展简史,数学发展的四个时期 第三时期变量（近代）数学时期 从时

9、间上看，从公元17世纪到19世纪末 研究对象：由常量变量，有限无限，确定性非确定性 研究方法：由传统的几何演绎方法算术、代数的分析方法 17世纪是数学发展史上一个具有开创性的世纪，创立很多新领域： 1637年笛卡尔的几何学问世，奠定了解析几何的基础； 17世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹建立了微积分，这是变量数学发展的决定性步骤； 18世纪以微积分为基础发展成为主流的数学分析；,数学与文化数学发展简史,数学发展的四个时期 第三时期变量（近代）数学时期 19世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪 近代数学的主体部分：微积分数学分析；方程论高等代数；解析几何高等几何。这为变量数学现代数学转变准备了充分条件

10、。 “三大突破”加速了变量数学向现代数学的转变： 数学分析中傅里叶级数的产生和建立，使函数概念有了重大突破； 代数学中伽罗瓦群论的产生使得代数运算的概念发生了重大突破； 在几何学中非欧几里得几何的诞生在空间概念方面发生了重大突破。,数学与文化数学发展简史,数学发展的四个时期 第四时期现代数学 从时间上看，从公元19世纪末以后。 特点：由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系，且各分支互相渗透融合。 计算机的出现和日益普及，数学越来越显示出科学和技术的双重品质。 数学渗透到几乎所有的科学领域里，起到越来越大的作用。,数学与文化数学发展简史,悖论与数学的三次危机 悖

11、论：笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。在很多情况下，表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。 通常分为逻辑悖论（集合论悖论）与语义学悖论 两个最著名的悖论：罗素悖论和理发师悖论 一个理发师宣称，他要给所有那些不给自己理发的人理发。人们问：你该不该给自己理发？无论如何，他总会使自己左右为难。 悖论的出现，导致了数学史上的三次数学危机。,数学与文化数学发展简史,希帕索斯悖论与第一次数学危机 毕达哥拉斯是公元前5世纪古希腊著名的数学家和哲学家，他是国外最早证明勾股定理（毕达哥拉斯定理，百牛定理）的人，并创立了毕达哥拉

12、斯学派。认为“万物皆数”，“一切数均可表成整数或整数之比”。他的一位门徒希帕索斯提出：边长为1的正方形其对角线长度是多少？的问题，发现它不能用整数，也不能用分数，只能用一个新数来表示。他的发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生。这在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴，直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 到19世纪下半叶，无理数在数学中合法地位的确立，一方面是人类对数的认识从有理数拓展到实数；另一方面也是真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。它促成了公理几何与逻辑的诞生。,数学与文化数学发展简史,贝克莱悖论与第二次数学危机 第二次数学危机发源于

13、微积分工具的使用。 对X2求导数：先将x取一个不为0的增量，由（x+x）2-x2,得到2xx+x2后在被x除，得到2x+x，最后突然令x=0，求得导数为2x。 数学史上把贝克莱就无穷小量在牛顿的微积分理论中一会儿说是零，一会儿又不是零的问题称之为“贝克莱悖论”。它可以表述为：“无穷小量究竟是否为零”的问题，就当时实际应用中，它必须既是零，又不是零。在形式逻辑上无疑是矛盾的。这一问题在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机。 微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时混乱的局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。它促成了分析基础理论的完善与集合论的创立。,数学与文化数学发展

14、简史,罗素悖论与第三次数学危机 19世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。但在1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题回答却是会陷入两难的境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S

15、。无论如何都是矛盾的。 这一悖论就像平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。它促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。,数学与文化数学与人类文明,数学是人类文明的重要力量 人类文明的三个鲜明的层次：以锄头为代表的农耕文明；以大机器流水线作业为代表的工业文明；以计算机为代表的信息文明。 数学是打开科学大门的钥匙培根（马克思：一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到真正完善的地步。） 数学是科学的语言：（德国数学家哲学家莱布尼兹：数学之所以有如此成就，之所以发展如此迅速，

16、就是因为数学有特制的符号语言。数学语言具有精确性和间接性。） 数学是思维的工具：（它具有运用抽象思维去把握实在的能力；它赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，是使认识从感性阶段发展到理性阶段，并使理性知识进一步深化的重要手段。）,数学与文化数学与人类文明,数学是人类文明的重要力量 数学是理性的艺术：（美国现代数学家哈尔莫斯：数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性的艺术，因为数学家像艺术家一样生活，一样工作，一样思索；数学是创造性的艺术，因为数学家这样对待它们。） 数学与工程技术：(美国应用数学家E.David：很少有人认识到被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术。风

17、洞试验，核试验。) 数学与解放思想：（第一阶段从数学开始成为一门科学直到以牛顿为最高峰的科学技术革命。第二阶段特别是非欧几何的出现是人类思想一次大革命。）,数学与文化数学与人类文明,数学与人类文明范例 1、古希腊的数学：最了不起的贡献是认识到数学在人类文明中的基础作用 2、欧几里得的几何原本：它的出现是数学史上一个伟大的里程碑，被称为数学家的圣经，在数学史乃至人类科学史上有无以伦比的崇高地位。 3、说明欧氏几何重大影响的几个典型的例子： 阿基米德：杠杆定律；牛顿：著名的三定律；马尔萨斯：人口论；美国独立宣言；爱因斯坦：狭义相对论。 4、希腊文化小结：留给我们一个坚强的信念，宇宙规律的核心是数学；孕育了一种理性净胜；给出了一个样板：欧几里得几何；研究了圆锥曲线，为天文学研究奠定了基础。 5、伽利略的规划：找出物理现象的定量描述；找出最基本的物理量；在此基础上建立演绎科学。核心：寻求描述自然现象的数学公式。他是第一个举起理性旗帜的科学家，他的成就成了现代科学的新起点。 6、解析几何：