自由曲线与曲面(哈工大).ppt

1、哈尔滨工业大学计算机学院 唐好选,2020年7月22日,自由曲线和曲面,曲线分类,规则曲线：可用初等解析函数来表示 如圆、椭圆、双曲线、圆球、圆柱、圆锥等 自由曲线：以复杂方式自由变化，无法用初等解析函数来描述的光滑连续性曲线 如汽车车身、船体外壳和飞机机翼等 随机曲线：处处连续，处处不光滑且处处不可导的非规则曲线 如地图边界、海岸线、水波以及超声等,计算几何 1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义 CAGD (Computer Aided Geometrical Design) 1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Uta

2、h大学的一次国际会议上提出 涉及到计算几何、微分几何、数值分析、拓扑论和数控技术等内容 对自由曲线和曲面的表示是CAGD技术要研究的主要内容,研究分支,对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示,CAGD的研究内容,曲线和曲面的基本理论，包含曲线论、曲面论，曲线曲面表示的几何不变性，参数化和参数变换 参数多项式的插值和逼近，参数样条曲线，样条曲线的几何连续性 Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面、孔斯曲面和非均匀有理B样条与高维曲面的生成和性质及其应用,从计算机对形状处理的角度来看,（1）唯一性：要求所采用的数学方法应满足由已经给定的有限信息决定的形状是

3、唯一的,（2）几何不变性：当用有限的信息决定一个曲线时，曲线的形状应是确定的，不应随所取坐标系的不同而改变,形状数学描述的基本要求(1),（3）易于定界：曲线应是有界的，对形状的数学描述应易于定界,（4）统一性： 要能统一表示各种形状及处理各种情况,包含各种特殊情况，例如曲线描述要求用一种统一的形式表示平面曲线和空间曲线 更高的要求是希望找到一种统一的数学形式，既能表示自由曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面，从而建立统一的数据库，便于形状信息的传递,形状数学描述的基本要求（2）,从形状表示与设计的角度来看,（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面,（2）易于实现光滑连接：曲线段，曲面片之间的连接

4、,（3）形状易于预测、控制和修改,（4）几何意义直观：容易为工程技术人员理解和接受,形状数学描述的基本要求（3）,曲线的表示形式 非参数表示 显式表示 隐式表示,曲线曲面的表示形式（1）,非参数方程存在如下问题 形状与坐标轴相关 会出现斜率无穷大的情况 对于非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示 不便于编程和计算机处理 从计算机图形学和计算几何的角度看，采用参数表示曲线和曲面，可以有效解决上述问题,曲线曲面的表示形式（2）,参数表示：空间点P的每一个坐标均可被表示为某个参数t的函数 参数的含义 时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间0,1,曲线曲面的表示形式（3）,参数矢量表示形式

5、P(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t) ,等价于笛卡儿分量表示: P(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k 例子：直线段的参数表示,曲线曲面的表示形式（4）,参数表示的好处:,容易进行物理解释 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义,曲线曲面的表示形式（5）,参数连续性 传统的、严格的连续性 称曲线P = P(t)在t=t0处n阶参数连续，如果它在t0处n阶左右导数存在，并且满足 记号,参数的连续性（1）,几何连续性 直观的、易于交互控制

6、的连续性 0阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处位置连续，即 记为 1阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处1阶几何连续，如果它在该 处 ,并且切矢量方向连续 记为,参数的连续性（2）,2阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处2阶几何连续，如果它在 处 （1） （2）副法矢量方向连续 （3）曲率连续,参数的连续性（3）,自由曲线曲面的发展过程（1）,1963年，美国波音飞机公司，Ferguson(菲格森)首先提出了将曲线、曲面表示为参数的矢函数的方法，引入三次曲线构造了组合曲线和由四个角点的位置矢量及两个方向的切矢量定义的双三次曲面片 所采用的曲线曲面的参数形式定义成为自

7、由曲线和曲面数学描述的标准形式,1964年，美国MIT孔斯(Coons)提出了具有更一般性的曲面描述方法 通过给定围成该曲面的4条边界就可定义一个曲面片 形状控制与连接方面不完善,自由曲线和曲面的发展过程（2）,1964年，舍恩伯格提出了样条函数(Spline Function)，解决了曲线段和曲面片的连接问题，采用参数形式的样条方法描述自由曲线和曲面 采用样条方法解决插值问题，为构造整体达到某种参数连续性的插值曲线和曲面提供了方便 但局部形状控制不方便，形状难以预测,自由曲线和曲面的发展过程（3）,1971年，法国雷诺汽车公司Bezier(贝塞尔)以逼近为基础研究曲线、曲面的构造方法 提出了

8、由控制多边形定义曲线的方法，改变顶点位置即可修改曲线形状，形状的变化完全在设计者的预料之中，著名的Bezier曲线和曲面 方法简单易行，成功解决了曲线曲面的整体形状问题，工程中可广泛采用 但连接和局部形状控制方面还存在问题,自由曲线和曲面的发展过程（4）,1972年德布尔给出了一套关于B样条的标准算法，1974年，美国通用汽车公司，Cordon(戈尔当)和Riesenfeld (瑞森菲尔德)将B样条理论应用于自由曲线（面）的描述，给出了B样条曲线曲面 克服了Bezier方法的不足，解决了局部形状控制问题，并在参数连续性基础上解决了连接问题 B样条曲线和曲面具有局部修改方便，形状控制灵活和简明直

9、观等优点，是当前构造曲线曲面的主要方法,自由曲线和曲面的发展过程（5）,尽管各种各样的描述方法逐步解决了自由曲线和曲面的数学描述问题，但却无法成功应用于圆锥截线和初等解析曲面的描述，虽然个别方法能解决这些问题，但描述方法违背了唯一性原则，给应用造成了困难 1975年，美国沃斯普利勒（Versprille）提出了有理B样条，80年代，又出现了非均匀有理B样条(NURBS)方法，成为自由曲线和曲面描述最广泛的技术 由于非有理Bezier曲线（面）和有理Bezier曲线（面）及NURBS曲线（面）都被统一在NURBS标准形式中，可采用统一的数据库,自由曲线和曲面的发展过程（6）,已知条件的表示方法

10、一系列有序的离散数据点 型值点 控制点 边界条件 连续性要求 根据上述条件绘制曲线的方法：插值、逼近和拟合,曲线曲面插值方法（1）,插值(Interpolation)：假如一个给定的函数f(x)在区间a,b中有互异的n个数据点(xi,f(xi) (i=1,2,n)，基于这n个数据点，寻找某函数曲线(x)，使得(x)顺序通过这些数据点，也就是使得(x)在xi处的函数值与f(xi)相等，这种拟合方法称为插值，称(x)为f(x)的插值函数 点点通过型值点 插值算法 线性插值：用线性函数近似代替f(x) 抛物线插值：用抛物线函数近似代替f(x) 型值点过多时，构造插值函数相当困难，有时也没有必要,曲线

11、曲面插值方法（2）,逼近(Approximation)：构造曲线不必严格通过已知的每一个数据点，近似接近即可 提供的是存在误差的实验数据 最小二乘法：各点偏差的平方和最小或加权方差最小，对可靠的点赋予较大的权值 统计回归分析 提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点 Bezier曲线、B样条曲线等,曲线曲面插值方法（3）,光顺：曲线的拐点不能太多，消除多余的拐点 对于平面曲线，相对光顺的条件是： 具有二阶几何连续G2 不存在多余拐点和奇异点 曲率变化较小 在不改变曲线两端点切线方向的条件下，修改切向量的模可消除多余的拐点、尖点和二重点 对于不同的曲线和曲面，相应的光顺算法也不同,曲线曲面插值方法（3

12、）,拟合(Fitting)：指利用插值或逼近的方法使所生成的曲线达到某些设计要求，或使得所生成的曲线光滑 如在允许的范围内贴近原始的型值点和控制点序列 曲线曲面看上去“光滑”、“光顺”，光滑指切矢量上的连续性或更高要求的曲率的连续性,曲线曲面插值方法（4）,参数多项式曲线（1）,参数多项式曲线表示最简单，理论和应用最成熟 定义n次多项式曲线,参数多项式曲线（2）,矢量表示形式 加权和形式 缺点 没有明显的几何意义 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难,参数多项式曲线（3）,矩阵表示 矩阵分解（表示为几何矩阵和基矩阵的乘积） 几何矩阵由控制顶点表示 确定了一组基函数,参数多项式曲线（4）,

13、例如：直线段的矩阵表示,几何矩阵G,基矩阵MT,样条与样条插值（1）,在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在各段的边界处应满足特定的连续条件 样条曲面可由两组正交的样条曲线表示,样条与样条插值（2）,在样条生成的过程中，首先给出一组坐标位置，它们决定了曲线的大致形状，称这些坐标点为控制点 当选取的多项式使曲线通过每个控制点时，所得曲线称为这组控制点的插值样条曲线 当多项式的选取使曲线不一定通过每个控制点时，所得曲线称为这组控制点的逼近样条曲线,样条与样条插值（3）,凸包：包围一组控制点的凸多边形的边界称作凸包(Convex Hull)，每个控制点要么在凸包的边界上，要么

14、在凸包内部 控制多边形：连接控制点序列的折线，或称为特征多边形,样条与样条插值（4）,样条的描述 给出一组加在样条上的边界条件 给出刻画样条特征的多项式 给出确定如何组合指定的曲线几何约束条件来计算曲线路径位置的一组混合函数（基函数）,样条与样条插值（5）,样条的插值 用来建立物体运动路径或描述形体的表示 由于高次样条计算复杂，低次样条曲线的性能又有限，实际通常采用三次样条表示，是在定义曲线的灵活性和处理速度之间的一个折中，在模拟曲线形状时更具灵活性 常用的插值方法有： 自然三次样条插值 Hermite插值,给出一组控制点，可得到通过每个控制点的分段三次多项式曲线的三次插值样条 设有n+1个控

15、制点，拟合各个控制点的三次多项式表示为： P(u)=au3+bu2+cu+d，0u1，每段均有四个待定参数，在曲线段的交点处设置边界条件可求出系数，如何建立边界？,样条与样条插值（6）,自然三次样条插值,采用公式描述时，需要相邻曲线段在公共边界处有C2连续性 对于具有n+1个控制点的自然三次样条有n+1个控制点需要拟合，共有n个曲线段计4n个多项式系数待定 内控制点两侧的曲线段在控制点处具有相同1阶导数和2阶导数，且均通过控制点，加上起点和末点共4n-2个方程，还需要两个条件 假定P0和Pn处2阶导数为0 加两个虚控制点，可保证n+1个点均为内控制点 是一种有效的方法，但其中任何一个控制点的改

16、动都会影响到整个曲线的形状，局部控制特性不好,三次Hermite曲线(1/7),定义 给定4个矢量 ，称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线,P0,P1,R0,R1,三次Hermite曲线(2),矩阵表示 条件,合并 解,三次Hermite曲线(3),三次Hermite曲线(4),基矩阵与基函数（调和函数）,三次Hermite曲线(5),形状控制 改变端点位置矢量 调节切矢量 的方向 调节切矢量 的长度,三次Hermite曲线(6),三次参数样条曲线 样条? 曲线的定义 给定参数节点 ，型值点 ，求一条 的分段三次参数曲线 ，使 。P(t)称为三次参数样条曲线,三次Hermit

17、e曲线(7),优点：简单，易于理解 缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便,所有参数插值曲线的缺点 只限于作一条点点通过给定数据点的曲线 只适用于插值场合 不适合于外形设计,Bezier曲线（1）,1962年，法国雷诺汽车公司P.E Bezier工程师以“逼近”为基础构造的一种参数曲线 当给定空间n+1个点的位置矢量Pi,n次Bezier曲线上各点坐标的插值公式定义为：,Bezier曲线（2）,Bezier基函数Bernstein多项式的定义,Bezier曲线（3）,Bernstein基函数的性质 正性 权性 对称性 降阶公式 升阶公式,Bezier曲线（4）,导数 积分 最

18、大值 在t = i/n 处取得最大值 线性无关性 是n次多项式空间的一组基,Bezier曲线（5）,Bezier曲线的定义 n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线 控制顶点 控制多边形,Bezier曲线（6）,Bezier曲线的性质 端点位置,Bezier曲线（7）,端点切矢量 导数曲线,Bezier曲线（8）,对称性 不是形状对称 保持Bezier曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变,Bezier曲线（9）,凸包性 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内,Bezier曲线（10）,多值性,Bezier曲线

19、（11）,几何不变性：曲线的某些几何特性不随坐标的变换而改变，不依赖于坐标系的选择 平面曲线的变差缩减性：平面内任意直线与曲线的交点个数不会多于该直线与其特征多边形的交点个数,Bezier曲线（12）,二次Bezier曲线 n=2 抛物线,Bezier曲线（13）,三次Bezier曲线 n=3,Bezier曲线（14）,三次Bezier曲线的矩阵表示,三次Bzier曲线的四个混合函数,Bezier曲线（15）,Bezier曲线（16）,递推公式-De Casteljau算法,Bezier曲线（17）,曲线的拼接,Bezier曲线（18）,零阶几何连续条件 一阶几何连续条件 二阶几何连续条件？,

20、三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧,反求控制顶点 给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点,Bezier曲线（19）,优点： 形状控制直观 设计灵活,Bezier曲线（20）,缺点： 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活,Bezier曲线（21）,B样条曲线（1）,产生： 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon, Riesenfield, Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线 优于Bezier曲线之处： 与控制多边形的外形更接近