运筹学之整数规划.ppt

1、整数订版(Integer Programming )，第一节.整数订版问题的提出，一，整数订版的一般形式，1，实例：例1某工厂计划用挤压筒运送甲乙两种货物，各箱体积、重量、利润和托运所受限制，2，整数订版的一般形式，解：托运甲乙两种可由公式表示：根据整数修正图像的数学模型、一般形式、决策变量的区分要求，整数修正图像可分为纯整数修正图像、全整数修正图像、混合整数修正图像、01整数；纯整数修正图像：所有决策变量必须取非负整数(此时导入的缓和变量和剩馀的佘变量不取整数) 。 全整数订正图像：除了要求所有的决策变量取非负整数以外，系数aij和常数bi也要求取整数(此时导入的缓和变量和剩馀的佘变量也必须

2、是整数)。 混合整数修订：只有一些决策变量可以取非负整数，而另一些则可以取非负实数。 01整数修订：所有决策变量只能取0或1这两个整数。整数校正像素与线性校正像素的关系，从数学模型来看，整数校正像素就像线性校正像素的特殊形状，求解的是根据线性校正像素进行舍入调整，从而求出满足整数要求的解即可。 然而，实际上两者存在很大差异，通过舍入获得的解(整数)不一定是最佳解，并且在一些情况下甚至保不定所获得的相反解是整数可行解。 举例说明。 例：整数修正画面问题如下，首先不考虑整数制约，得到线性修正画面问题(一般称为缓和问题)。 求解方法最佳解x13/2、x2=10/3，当然，这些个是整数修正画的最大值。

3、的。 的双曲馀弦值。 用整数修正约束时，可执行的解在线性修正问题的可执行区域内，确认是整数点。 因此，如图所示，整数修正图像问题的可行解定径套是有限的定径套。 对于、图，可以一个一个地找到集合内的整数点，其最大目标函数的值是最佳解，该方法是完全枚举法。 上述例子：其中的(2，2 ) (3，1 )点是最大值，Z=4。 现在常用的求解整数修正画的方法是分支边界法和切割平面法。特别的01修正画问题采用了隐性列举法和匈牙利法。 20世纪六十年代初期，Land Doig和Dakin等人提出了分支边界法.由于该方法灵活方便用修正算法求解，现在已成为解整数修正画的重要方法之一.分支边界法既可用于解纯整数修正

4、画，也可用于解混合整数修正画.分支边界法的主要构想首先是整数修正画的伴随修正画(整数修正画的缓和问题) 求解原整数修正图像问题的分支分为两个副修正图像，通过求解副修正图像的伴随修正图像与一系列副修正图像的伴随修正图像不断求解边界。最后得到原整数修正图像问题的整数最佳解甲种宿舍8栋以下，乙种宿舍4栋以下。 甲种宿舍每栋利润10万元，乙种宿舍利润20万元。 解设修订画甲种宿舍建筑楼、乙种宿舍建筑楼，正题数学模型为：这是单纯的整数修订画问题，被称为问题。将(1)中的约束条件、的系数进行整数化，变更为(1)，然后去除整数条件，问题的伴随修正画(2)，称为问题，得到(2)，用单纯形法解决问题，得到最优解

5、和最优值：1，另外，因为是可执行结构域问题的可执行结构域，所以问题的最优值超过问题的最优值问题的最佳解若满足问题的整数、条件，则也是问题的最佳解，停止修正计算，2 .修正原问题目标函数值的初始下限，若能够从问题的制约条件观察到一个整数可行解，则能够将该目标函数值作为问题目标函数值的初始下限， 否则，在能够给出初始下限Z=-.下限的目的的求解过程中，想要寻找比现在更好的原问题的目标函数值.在本例中，明显的可行解x=(0，0 ) t，Z=0.问题的最佳目标函数值决不小，所以=0.3 .能够增加制约条件来制造原问题问题的整数最优解不是在5到6之间，而是在5到6之间。因此，在切取可执行区域的情况下，没

6、有要切取的整数可行解。通过分别追加制约条件，可以达到切取的目的。生成问题、问题、问题的伴随修正画，将问题的可执行区域表示为图2(b ) 从同一问题分解出来的两个分支问题称为一对分支，4 .分别求出一对分支，一般来说，如果求出某个分支问题(伴随修正画)，可以得到以下几个可能性(2)整数最佳解，求出整数最佳解，那么该分支的状况就不需要再继续分支，该分支也是叶(3)得到非整数最佳解，求出某个分支问题，得到不满足整数条件的最佳解，如果该最佳解的目标函数值z小于当前下界，则如果该最佳解的目标函数值z大于当前下界，则在该分支上继续分支，需要在该分支内调查目标函数值比当前好的整数最佳解的有木有本例中的问题及

7、问题的模型及解决结果如下：问题、问题、解为：解为：问题的解为整数最佳解，当然也是问题的整数可行解，因此可以修正为整数最佳解，即在此情况下可以修正为：按照对云同步没有问题的顺序进行喀呖声。 由于不满足整数条件，问题分别添加限制：和。 分为两支，建立了相应的伴随修订问题和问题、问题，它们的可行领域分别参照图3。 图3是问题的说明，因为问题没有可行解，这个问题已经是树叶，解决，获得最佳解，5 .上，下边界和(l )校正下边界的时间节点在：每次获得整数可行解时进行(2)校正上边界，且上边界的校正时间节点考虑每当：解决一对分支时校正上边界，且校正上边界的原则是在分支边界法的整个求解过程中，其中：选择迄今

8、为止所有未经分支的问题的目标函数值中最大的作为新的上边界； 上界的值正在减少，问题，问题，解是：因为此时的解是整数解，所以校正下界=130，但是，因为此时未被分支的问题()的目标函数值中最大的是，所以如果校正上界=1360或者是整数，就解“叶” 或者其目标函数值不大于下界的“枯枝”)，而且，原问题的整数最优，在得到解即目标函数值为下界的整数解或者甲种5栋、乙种4栋的情况下， 利润最大.利润130万元.本例的解决过程和结果在图5中可以记述的5找到最佳解的情况3在缩小的结构域中继续分支界限法的情况6将问题1的整数解作为界限留下，之后用于与问题2的后续分支得到的解进行比较，如情况4或5那样， 以下总

9、结用分支边界法求解混合型整数校正像素的校正计算顺序：第一步骤3360元整数线性校正像素问题称为问题，去除有问题的整数条件，第二步骤3360可以求解问题，具有： 如果在(2)中获得的最佳解，并且满足问题的整数条件，则下一个最佳解也是最佳解。停止校正计算；(3)获得不满足问题的整数条件的最佳解，其目标函数值此时需要划分问题，并接着进行到下一步骤，该方法确定初始上下限和.然后作为上限观察问题的整数可行解， 第四步骤3360在问题的最佳解中选择一个不符合整数条件的变量，该值表示小的最大整数。将构造2、限制条件3360、这些个这两个限制条件分别与问题的限制条件定径套相加，得到该最佳解的目标函数(3)求出

10、该分支的最佳解，且不满足整数条件(4)求出不满足整数条件的该分支的最佳解，如果其目标函数值大于当前的下限，则该分支需要继续进行分支。 第六步骤33:校正上边界和下边界。第六步骤3360考虑每次获得匹配整数条件的可行解时校正下边界，选择迄今为止最好的整数可行解，然后返回到步骤3360。 认为修正以对应的目标函数值为下界的上界的值应该是迄今为止全部未被分支的问题的目标函数值中最大的一个，在每次解开一对分支时，修正上界和下界之后，如果在此时全部的分支明确，则得到问题的最佳值并结束解决选择一个分支导出松弛问题，判定是否为整数解，初始分支是否为可行解定径套，初始边界是否无限，分支定径套是否为空，y停止，

11、当前最佳解是否为最佳解，、 将当前最佳解的最佳值替换为最佳解的当前边界，y、y、n、删截、n、n，取代混合整数修正像素问题，仅分支整数变量，不分支非整数变量。 在两个分支都是非整数解的情况下，需要两者在云同步中继续分支，可以进行边界过程，直到整数解出现为止。 当许多变量具有整数约束时，分支宽而深，在最坏的情况下，组合所有可能整数解的一般整数修正图像问题是未解决的问题，只有少数特殊问题有好的算法。 练习：用分支边界法求解整数修正像素问题，请看有、x11、x12、x22、x23、x23、x12、x13、例x2的行，如果分解系数和常数项，则x2、x3、x4为非负整数，等式右端为整数，()内为正，左端

12、为负。 因此，有。 这样就得到了添加约束的切割方程式。 将此处产生的割平面条件加到松弛变量上：此时x1(2/3，1，1 )、Z=1还不是整数解。 继续以x1作为源行生成切削平面，其条件是：将生成的切削平面条件加到缓和变量上，在表上加上：得到迄今为止最佳的表，其最佳解是x=(1，1 )、Z=1，这也是原来问题的最佳解由于有上述解题过程，表中含有分数元素，由于在算法过程中始终保持对偶可行性，因此，该算法也称为分数对偶截割平面算法。 (2)将(3)代入(1)，下一个问题的切断方程式，解：例如：用切断平面法修正数个画面问题、初始表、最佳表、缓和问题最佳解中，写x1、x2的上述两个式子右端的真正的分数相等，所以可以选择任意一个来考虑。 选择第二个表达式，然后将真正的分数向右移：引入松弛变量s1可以得到以下表达式，将此限制加到上表中，然后继续解决。 获得、整数最佳解是整数校正像素的最佳解，其具有x=(0，4 )、Z=4或x=(2，2 )、Z=4的两个最佳解。0-1整数订划、一、问题的提出、一、实例，有的公司拟在市东、西-南三区建设门市部。 提案有7个位置(点) Ai。 在东区，从A1、A2、A3这3点中选择2点。在西区，从A4、A5这2点中选择至少1点。在南区，从A6、A7这2