电磁场理论第八周课件.ppt

1、Review,The method of separation of variables: we look for solutions that are products of functions, each of which depends on only one of the coordinates (separable solutions). The partial differential equation is changed into an ordinary differential equation; Boundary conditions are also separated;

2、 By solving the so called eigen-value problem, the eigen-value, eigen-function and the eigen-solution are obtained;,Review,Based on the linearity of the PDE, a solution of the series form can be got. The eigen-solutions are complete and orthogonal with each other, so the undetermined coefficients in

3、 the series can be evaluated. Tips : typical boundary conditions and the corresponding solutions should be memorized. (periodic, independent of one coordinate, homogeneous boundary condition, bounded and unbounded areas),Review,Boundary value problems: Dirichlet problem, Neumann problem, Robbin prob

4、lem. (Dirichlet, Neumann and Robin boundary conditions ) The theorem of uniqueness: if the solution to the above mentioned boundary value problems exists, then it is unique. The importance of the theorem. The method of images: planar surface between dielectric and conductor.,Review,The method of ima

5、ges Cylindrical surface between a conductor and a dielectric : position of the image, line charge density of the image; Spherical surface between a conductor and a dielectric: position and charge of the image; Planar surface between two dielectrics: electric medium, magnetic medium.,Review,The metho

6、d of separation of variables for the cylindrical coordinate system. Focus should be on the two dimensional planar static field. Boundary conditions represented by the potential functions:,电磁场理论第八周讲稿,4.3 直角坐标系内的分离变量法 4.4 圆柱坐标系内的分离变量法 4.5 球坐标系内的分离变量法 *4.6 函数,作业：4.7,4.10,4.11 4.15 4.16 4.18； 4.25 4.27

7、4.28；,4.3 直角坐标系内的分离变量法,1、调和函数及场的叠加原理 2、直角坐标系内的分离变量法 例题,1、调和函数及场的叠加原理,静态场的基本向题都可以归结为求势的泊松方程或拉普拉斯方程满足一定边界条件的解。 待求势函数必须既要满足拉普拉斯方程，同时也要满足给定场域的边界条件。 泊松方程与拉普拉斯方程解的关系跟非齐次常微分方程与齐次常微分方程的解类似，即泊松方程的解是拉普拉斯方程的通解再加上泊松方程的任一特解。,1、调和函数及场的叠加原理,拉普拉斯方程可有很多个解。这些解称为调和函数。它们的线性组合也是拉普拉斯方程的解。 求解拉普拉斯方程的过程中，要充分利用方程解的叠加原理，从而简化计

8、算难度。,2、直角坐标系内的分离变量法,分离变量法是一种求解拉普拉斯方程的重要解析方法。 采用分离变量法，要求选择适当的正交曲线坐标系，使问题给定的边界面和一个或几个坐标面或与其平行的面相重合，这样可使变量分离，从而将偏微分方程简化为常微分方程。,2、直角坐标系内的分离变量法,在直角坐标系内，电势的拉普拉斯方程为：,采用分离变量法，设势函数具有如下的形式：,2、直角坐标系内的分离变量法,将上式代入 拉普拉斯方程，并整理有：,上式已将变量分离，因此式中每一项都只是一个变量的函数。要使上式对所有的 都成立，每一项都必须等于一个常数，故有,2、直角坐标系内的分离变量法,、,、,称为分离常数，具体由边

9、界条件来确定，他们满足：,2、直角坐标系内的分离变量法,这样，拉普拉斯方程经过分离变量后变成了三个很容易求解的常微分方程。这三个方程解的形式与分离常数 有关。当 等于0：对应的函数为线性函数； 大于0：对应的函数为三角函数； 小于0：对应的函数为指数函数或双曲正弦 （余弦）函数；,2、直角坐标系内的分离变量法,通常是根据所给边界条件先确定出其中两个函数的形式及其相应的两个分离常数，再由分离常数之间的关系式得出剩余的一个分离常数，于是可得待求势函数的通解。 若某些坐标平面上，边界条件是周期的，则其解应选三角函数，相应的分离常数为大于零； 若某些坐标平面上，边界条件是非周期的，则解应选双曲函数（有

10、界区域的解）或递减的指数函数（无界区域的解），相应的分离常数小于零；,2、直角坐标系内的分离变量法,若势函数与某一变量无关，则其解为常数，相应的分离常数为零。 若某些坐标平面上，边界条件是齐次的，则其解应选三角函数，相应的分离常数为大于零；（四种情况？）,2、直角坐标系内的分离变量法,在很多情况下，为满足给定的边界条件，分离常数往往需要取一系列的值（本征值），每一个值对应一组特解（本征函数）。所以这时拉普拉斯方程的通解将是一个级数解。 直角坐标系内的分离变量法适用于矩形域、半无限长矩形域等的二维场或三维场问题。,例题1,试求下图所示的半无限长带形区域内的电势分布。,半无限长带形区域内的电势分布

11、是一个与z无关的二维场问题， 故拉普拉斯方程为,采用分离变量,由于,时,应该是三角函数的组合。？,即,于是：,所以：,由于：,故：,由于：,故：,故：,综合上述情况：,待定。,由于：,所以有：,易得：,如果,为一个常数，则，只有,时，上述系数才不为0，此时，有：,区域内的电势为：,例题1的扩展,例题1的扩展,例题1的扩展,例题2,设在y=0的平面上的电势是如图所示的方波，且与z无关。试求空间任一点的电势。,首先用傅立叶级数表示出边界上的电势。在 处，,其中：,因此，边界条件用傅立叶级数表示的形式为,由于势函数不依赖于z，故其拉普拉斯方程为,时,并且：,时，,设：,则根据边界条件，,应是三角函数

12、的组合：,于是，有：,在 的区域，当 时， 则 ； 当 时， ，则 ，并有,因此，在 的区域，有：,同理，在 的区域，有：,例题3,试求如图所示的长方体内的电势分布。设边界条件为：除 和 外，其它各表面的电势均为零。,应用分离变量法解此题，令 。为 满足 时 的边界条件， 必须选择 形式的解，其中 是正整数， ，于是 的一般解为,同理，根据y方向的边界条件，可以得到Y的表达式为：,由：,得：,于是：,其中：,为了满足 的边界条件， 必须选择,于是：,待求的势函数为：,其中，,待定，可以由,来确定。即，,其中，,利用傅立叶级数的性质，可以得到：,故：,令 取不同的函数，即可针对不同情况进行讨论。

13、具体略。,例题3,4.4 圆柱坐标系内的分离变量法,1、圆柱坐标系内的分离变量法 2、二维平行平面场的边值问题 例题 3、三维场的边值问题,1、圆柱坐标系内的分离变量法,拉普拉斯方程的柱坐标表示形式为：,也就是：,不妨设势函数有如下的形式，,代入上述方程，并化简得：,1、圆柱坐标系内的分离变量,对于二维平行平面场，电势函数与z无关，因此，拉普拉斯方程可以简化为如下的形式,对于一般情况下三维的情况，则必须考虑z的关系。,下面分别针对这两种情况进行讨论。,2、二维平行平面场的边值问题,可见已将变量分离，因为上式中前两项仅是r的函数，最后二项 仅是 的函数，因此，要使上式对所有的r、 都成立，每一部

14、分 必须等于一个常数。为使表达式不出现根号，令分离常数为 ， 则有,对于二维场，根据前面的描述，应该有：,2、二维平行平面场的边值问题,即：,（欧拉型方程）,其解分别为：,于是：,n=0?,2、二维平行平面场的边值问题,对于一般的二维场，由于势函数的单值性要求，即待求的解 对 呈现周期性， ， 故 必为一系列正整 数，因而可有无限个特解。它们的线形组合也满足拉普拉斯 方程。因此，二维拉普拉斯方程的通解为,其中 、 、 、 均为由边界条件确定的常数。,注意：当n=0时，通解中还应该包含,例题1,在介电常数为 的无限大介质中存在电场强度 ，垂直于电场方向放置一根半径为 的无限长直介质圆柱体，其介电

15、常数为 ，试求介质圆柱体内外的电场强度。,观察并分析得知，上述势函数应该具有以下的形式：,另外，外电场的电势可表示为,设圆柱外部和内部的电势分别为 、 ，,当,时,可以得到：,对比系数，可知，n=1,且,于是：,当r=a时 与 ，同理可得 中的 n=1，且因r=0时势函数为有限值，故有,代入r=a时的边界条件,因此，介质圆柱体外、内的电场强度分别为,于是，电场强度为：,事实上，E2还可以表示为：,当介质柱外为空气时，即,讨论：,若：,相当于在介质内有长圆柱形空腔,例题2,空气中有一磁导率为 、内外半径分别为 、 的无限长导磁圆管，置于均匀外磁场 中，且其轴线与 垂直。试求管内外的磁场强度，并讨

16、论导磁管的磁屏蔽作用。,磁标势为：,外磁场的磁标势 当 则 比较得,由 得 中 则 再由 和 有限,得 中 且为 由 和 得,和 联解上面四式，并注意 得,故得,和 因 则 可见导磁圆筒的轴心部分 与外场同方向的均匀场。,磁屏蔽系数为 因此，相对磁导率 越大，圆筒壁越厚，磁屏蔽作越好。,3、三维场的边值问题,式中第二项仅是 的函数，此使上式对任何 、 、z值都成立， 第二项必须等于一个常数，并同样使之为 ，则有,3、三维场的边值问题,因此：,后一个方程已将变量分离，令分离常数为,对第一个方程，其解为：,3、三维场的边值问题,上式即为二维场的情景,令,于是，,并且：,（实际上，还应包括Z为线性函

17、数的情况）,3、三维场的边值问题,令,代入上式，并化简，得：,也即：,上式称为n阶贝塞尔方程，其解为,其中 称为贝塞尔函数或第一类贝塞尔函数， 称为诺依曼函数或第二类贝塞尔函数。,3、三维场的边值问题,3、三维场的边值问题,3、三维场的边值问题,综合上述内容，可知势函数可以表示为：,仿照上述过程，容易得到：,对方程,、 、 、 、 、 均为待定常数。,令,则：,3、三维场的边值问题,即：,也满足贝塞尔方程。,于是：,因此，待求势函数为,其中 和 称为第一类和第二类变态贝塞尔函数， 或第一类和第二类虚宗量贝塞尔函,3、三维场的边值问题,3、三维场的边值问题,3、三维场的边值问题,对于圆柱坐标系内

18、的边值问题，角向总是三角函数。对于与z无关的二维场，径向是欧拉方程的解，若含柱轴(r = 0)在内的问题，则无 r 的负幂次项。对径向为齐次边界条件(kz为虚数)时，径向是贝塞尔函数，因为当r 0时诺伊曼函数趋于负无穷大，所以若含柱轴(r = 0)在内的问题，则无诺伊曼函数 ；,3、三维场的边值问题,如果纵向为有界区，其解是双曲函数，若纵向为无界区，其解为衰减的指数函数。对于径向为非齐次边值条件(kz为实数)时，径向是变态的贝塞尔函数，由于当r = 0时第二类变态贝塞尔函数Kn趋于无穷大，因此若含柱轴(r = 0)在内的问题，则无第二类变态贝塞尔函数 Kn(kzr)；纵向是三角函数。注意，当边

19、值条件叠加时，其对应的解亦叠加。,例题,求导体圆筒内的电势分布 因问题与 无关，故电势 的拉普拉斯方程为 令 得,则 得 和 令 有 这是零阶贝塞尔方程，因含柱轴，故有,当 则 得 由 有 利用公式,贝塞尔函数的正交性 则 由 有,同理得 则,故 若,若 求导体圆筒内的电势 令 代入得,则有 得 和 令 因含柱轴故,因 得 故 由 有 得,故 求导体圆筒内电势 上述两种情况的叠加。只有 时,只有 时 故,4.5 球坐标系内的分离变量法,1、球坐标系内的分离变量法 2、二维轴对称场的边值问题 例题 3、三维场的边值问题,1、球坐标系内的分离变量法,在球坐标系内，拉普拉斯方程可表示为,采用分离变量

20、法，令,代入上式并整理得：,1、球坐标系内的分离变量法,上式中最后一项仅是 的函数，前两项仅是 、 的函数， 要使上式对所有的 、 、 都成立，必有,其解为：,由于势函数必须是单值的，即 ，故m必为 正整数（势函数周期函数）或零（势函数为常数）。,1、球坐标系内的分离变量法,同时，应该有：,可见，上式中第一项仅为 的函数，而后两项仅为 的函数， 故已将变量分离。设分离常数为 ，则,于是有：,1、球坐标系内的分离变量法,以及：,对上述方程，令,则：,带入化简：,即：,1、球坐标系内的分离变量法,也就是：,下面分别考虑m等于零（势函数成轴对称，与 无关；） 和不等于零两种情况考虑（一般情况）。,2

21、、二维轴对称场的边值问题,对方程,若m0，则：,上式称为勒让德方程。它具有幂级数解。如令,2、二维轴对称场的边值问题,则幂级数为一个n次多项式，称为勒让德多项式。它可以表示为,这时勒让德方程在区间 上有唯一有界解 ， 为常数。但若 ，勒让德方程在此区间上没有 有界解。综合考虑，则显然 应选择前一种情况。在场区包含 z轴的情况下尤其如此。,2、二维轴对称场的边值问题,2、二维轴对称场的边值问题,此时：,化为：,为一欧拉型方程，其解为：,2、二维轴对称场的边值问题,因此，轴对称（二维场）的待求函数为,例题1,在无限大的介电常数为 的均匀介质内存在电场强度 ，有一半径为a的介质球置于其中，其介电常数为 ，试求介质球内外的电势和电场强度。,如图建立坐标系，则势函数应有如下的形式：,均匀外电场的电势可表示为,比较上式两端，得n=1,于是，球外的势函数为：,考虑r=a处的边界条件以及内部势函数值应有限，可以得到球内 的势函数为：,再加上：r=a处：,于是：,因此，介质球外、内的电势与电场强度分别为,例题2,半径为 的导体球置于外电场 中，球外为空气。试求球外的电势和电场强度及球面上的电荷面密度（设导体球电势为零）。,例题2,因问题与方位角无关, 故球外电势仍为 外场的电势,