直线的方程和两条直线的位置关系

1、.直线的方程和两条直线的位置关系【考纲要求】1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；5、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。【知识网络】【考点梳理】考点一：直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角 一条直线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角a叫做这条直线的倾斜角（如图）： 要点诠释：

2、（1）当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.（2）直线的倾斜角的取值范围是：（或)2直线的斜率 直线的倾斜角的正切值叫做此直线的斜率，记作。要点诠释：当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在.3直线的倾斜角与斜率间的关系（1）直线的倾斜角和斜率都是直线方向的数量表示.它们反映了直线关于轴正向的倾斜程度.（2）每条直线都存在唯一的倾斜角，但并非每条直线都存在斜率.（3）当时，；当时，；当时，。4过两点直线的斜率 已知两点、的直线当，即与垂直时，直线的斜率不存在；当，即与不垂直时，直线的斜率为： ()。考点二：直线的方程1、点斜式：（斜率存在） 2、斜截式：（斜率存在）3、两点式：（直线不平行于坐

3、标轴）4、截距式：（横纵截距存在且不为零）5、一般式：（A、B不同时为零）要点诠释：前四种方程的应用是有限制条件的，用直线方程的一般形式解题可避免因考虑不周而导致失误。考点三：两直线的位置关系1特殊情况下的两直线平行与垂直 (1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为），另一条直线的倾斜角为时，两直线互相垂直。2斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线和，则=且（2）已知直线：和：，则 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。3斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线和，则 ；（2）已知直

4、线：和：，则4两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：是否有唯一解。5点到直线距离公式：点到直线的距离为：6两平行线间的距离公式 已知两条平行直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为。要点诠释：一般在其中一条直线上随意地取一点M，再求出点M到另一条直线的距离即可。考点四：对称问题1点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设，对称中心为，则P关于A的对称点为。2点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组

5、，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有，求出、。特殊地，点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为。3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点关于x轴的对称点为；（2）点关于y轴的对称点为；（3）点关于原点的对称点为；（4）点关于直线的对称点为；（5）点关于直线的对称点为。【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1直线的倾斜角的范围是A BC D【思路点拨】已知条件中直线中的角并不是这条直线的倾斜角.【答案】B【解析】由直线， 所以直线的斜

6、率为 设直线的倾斜角为，则 又因为，即， 所以【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系。【举一反三】【变式】已知动直线 与直线 : 的交点在第一象限，求的取值范围。【答案】：由题意可知，动直线过定点,直线与x轴，y轴分别交于点，,xyABCOl由图可知时，动直线与直线交点在第一象限, 为所求.类型二：两直线的位置关系例2四边形的顶点为，试判断四边形的形状【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.【解析】边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，即四边形为平行四边形又，即四边

7、形为矩形【总结升华】证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.【举一反三】【变式1】直线l1: ax+(1-a)y=3与直线l2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值。【答案】方法一：当a=1时，l1: x=3, l2: , l1l2 当时，l1: , l2: , 显然两直线不垂直 当a1且时，l1: , l2: ，由k1k2=-1 得 ，解得a=-3 当a=1或a=-3时，l1l2。方法二：a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3当a=1或a=-3时，l1l2。类型三：直线的方程例3过点P(2，1)作直线与x轴

8、、y轴正半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程.【思路点拨】因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k0且1-2k0故k0，b0，点P(2，1)在直线上，故，由均值不等式:1=当且仅当，即a=4，b=2时取等号，且S=ab=4，此时方程为即:x+2y-4=0.解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，设=PAM=BPN，则AOB面积S=S矩形OMPN+SPAM+SBPN=4，当且仅当时，SAOB有最小值4，故此时直线的方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不

9、同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”. 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.【举一反三】【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；【答案】由题设，设所求直线方程为，由已知条件得:解之得:，故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.【变式2】直线过点，且在两轴上的截距之和为零，求的方程。【答案】（1

10、）若直线过原点，设直线：, 因为直线过点，代入上式得，解得所以直线的方程为；.（2）若直线在两轴上截距不为零，设的方程为：，将 代入上式得：，解得，即,由（1）、（2）知：直线的方程为或.类型三：对称问题例4求直线关于直线对称的直线的方程。【思路点拨】1. 曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。2. 由平面几何知识可知，若与关于对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A在直线上，则A点关于的对称点B一定在直线上，即为线段的垂直平分线（，AB的中点在上）；（2）设是所求直线上一点，则P关于的对称点的坐标适合直线的方程；（3）若与相交，则过与交点，只需求

11、出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若，则，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案。【解析】方法一：在直线上取一点，设A点于的对称点，则，解得，由，解得交点。由两点式可求得直线的方程：。方法二：设是所求直线上任一点；设关于的对称点，则有：，解得在直线上，整理得，故所求直线的方程：。【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论。2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点伴随曲线方法解决，其中方法2还可

12、以推广，如改变直线为二次曲线C，仍可用此方法解决。【举一反三】【变式】由点P（2，3）发出的光线射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线的一般方程为_【答案】：解析：设点P关于直线的对称点，则满足条件解得， 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为，即类型五：综合应用例5.（2014秋 渝中区校级期中）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标【解析】（1）由C（4，0），D（，），得线段CD的中点M，线段CD的垂直平分线的斜率为，线段CD垂直平分线方程为：，即x2y=0；（2）设P（2t，t），则）|PA|2+|PB|2=（2t1）2+（t1）2+（2t2）2+（t2）2=10t218t+10当t=时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P【举一反三】【变式】（2014秋 渝中区校级期中）已知三角形的顶点是A（5，0