导数的概念及其运算VIP

1、第三篇 导数及其应用 第1节 导数的概念及其运算,1.导数的概念 (1)f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y|x=x0, 即f(x0)=,基础知识梳理：,(2)导函数 当x变化时,f(x)称为f(x)的导函数,则f(x)= y =,注意:导数是函数在x=x0处及其附近函数值的改变量y与自变量的改变量x之比的极限,它是一个局部性的概念. 则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.,2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处

2、的切线的斜率,过点P的切线方程为: y-y0=f(x0)(x-x0).,注意：求曲线过某点的切线方程，必须先判断点是否在曲线上。若不在，则先设切点坐标再求。,3.几种常用函数的导数 (1)c=0(c为常数); (2)(xn)=nxn-1(nN); (3)(sinx)=cosx; (4)(cosx)=-sinx; (5)(ex)=ex; (6)(ax)=axlna;,4.导数运算法则 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);,注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)

3、等.,1.在平均变化率的定义中,自变量的增量x满足( ) A.x0B.x0时,是从右端趋近,x0时,是从左端趋近,这就是“附近”的意义. 答案:C,考点训练：,2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段2,2.1内相应的平均速度为() A.0.41 B.3 C.4 D.4.1,答案:D,3.设函数f(x)可导,则 等于( ) A.f(1)B.3f(1) C.f(1) D.f(3) 答案:A,4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为() A.f(x)=(x-1)3+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1 解析:先

4、求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时, f(x)=3(x-1)2+3且f(1)=3(1-1)2+3=3. 答案:A,5.(2010新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A. 答案:A,题型一利用导数定义求导数 解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方法,应熟练掌

5、握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系.,典例研习：,解题感悟利用定义法求导数,要先求出y, 然后分离出与x无关的量,再求解.,题型二利用求导公式求导数 解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: (1)分析函数y=f(x)的结构和特征; (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导; (3)整理得结果.,2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便.,解(1)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx; (2)y=(3xex)-(2

6、x)+(e) =(3x)ex+3x(ex)-(2x) =3xln3ex+3xex-2xln2; =(ln3+1)(3e)x-2xln2;,类型三导数的几何意义及应用 解题准备:求曲线切线方程的步骤是: 求导数f(x); 求斜率k=f(x0); 写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0).但是要注意,当函数f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.,分析求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程.,解题感悟利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即

7、已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.,错源一因忽视解题顺序而致错,易错扫描：,剖析f(x)在点x0处的导数f(x0),实际上是导函数f(x)在x=x0处的函数值,即f(x0)=f(x)|x=x0.故求f(x)在x0处的导数f(x0),应先求f(x)的导函数f(x),再将x=x0代入f(x)求值,顺序不能颠倒.,技法一活用导数定义 【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2006),则f(0)=_.,技能指导：,解析 =1232006. 答案1232006,技法二先化简再求导,优化解题过程 【典例2】求函数y=cotx的导数. 解题切入点对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公式,一些同学不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx来表示的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可求解.,方法与技巧一些常用求导的策略: (1)多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展