地图的数学基础(najin).ppt

1、第二章 地图的数学基础,第一节 地球椭球体与大地控制 第二节 地图比例尺 第三节 地图投影概述 第四节 常用地图投影 第五节 地图投影的判断和选择,第一节 地球椭球体与大地控制,一、地球椭球体,地球的自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表面,大地水准面,为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表面，人们设想当海洋静止时，平均海水面穿过大陆和岛屿，形成一个闭合的曲面，该面上的各点与重力方向（铅垂线）成正交，这就是大地水准面,地球椭球体,假想一个扁率极小的椭圆，绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体称之为地球椭球体,地球椭球体三要素： 长半径 a 短半径 b 扁 率 f,地球自然表面、大地水准面、 地

2、球椭球体三者关系,由于推算的年代、使用的方法以及测定地区的不同，地球椭球体的数据并不一致，近一个世纪来，世界上推出了几十种地球椭球体数据。,常用椭球体数据,二、大地控制,大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的位置,位置,平面位置（经度和纬度）,高度（高程）,（1）地理坐标系,地理坐标系是指用经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地测量学中，对于地理坐标系统中的经纬度有三种描述：即天文经纬度（铅垂线）、大地经纬度（垂线）和地心经纬度。,(2)我国的大地坐标系统,在一个国家或地区，不同时期也可能采用不同的坐标系。我国目前沿用了两种坐标系，即1954年北京坐标系和1980年国家大地坐标系。,陕

3、西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点大地原点。,ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f =1/298.257,(3)高程系,高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。 我国高程系：“1956年黄海高程系”“1985年国家高程基准 ”,位于青岛的我国水准原点,(4)大地控制网,大地控制网,平面控制网,高程控制网,三、全球定位系统,1973年美国国防部便开始组织海陆空三军，共同研究建立新一代卫星导航系统，即“授时与测距导航系统/全球定位系统,简称为全球定位系统（GPS）。,GPS卫星在空间上的这种配置，使用户在地球

4、上任何地点、任何时间至少可以同时接收到4颗卫星的定位数据，这是保证GPS定位精度的基本条件。,空间卫星星座，由均匀分布在6个等间距轨道上的24颗卫星组成。轨道之间的夹角为60，轨道平均高度为20183km，卫星运行周期为11小时58分。,地面控制部分由一个主控站,5 个全球监测站和3 个地面控制站组成。,用户接收部分的基本设备是GPS信号接收机，其作用是接收、跟踪、变换和测量GPS卫星所发射GPS信号，以达到导航和定位的目的。,GPS用户终端,第二节 地图比例尺,一、地图比例尺的概念,编制地图时，需要把地球或制图区域按照一定的比率缩小表示，这种缩小的比率就是地图的比例尺。因此，比例尺代表的是地

5、球或制图区域缩小的程度。,比例尺=图上距离/实地距离，可表达为（d为图上距离，D为实地距离）,当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大时，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化，在这种地图上所注明的比例尺的含意，其实质是在进行地图投影时，对地球半径缩小的比率，通常称之为地图主比例尺。地图经过投影后，只有在没有变形的点或线上，才可以用主比例尺进行量算。,二、地图比例尺的形式,三、地图比例尺的作用,比例尺决定着地图图形大小 比例尺反映地图的量测精度 比例尺决定着地图内容的详细程度,第三节 地图投影概述,一、地图投影的概念,为什么要进行地图投影,地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面

6、，因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。然而，从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。,地图投影的定义,地图投影就是研究将地球椭球体面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。其数学公式表达为：,X=f1( , ),Y=f2( , ),二、地图投影的基本方法,数学解析法,几何透视法,数学解析法是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。,几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面（借

7、助的几何面）上的一种投影方法。,三、地图投影的变形,地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不同投影的经纬线网形状 ：,（1）地图投影变形的概念,地球仪上的经纬线的长度的特点：,第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的 纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等,地球仪上的经纬线网格面积的特点：,第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等 第二，在同一经度带内，纬度愈高， 网格面积愈小,地球仪上的经纬线角度的特点：,在上面图（b、c）上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地

8、图上有角度变形,地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在那种变形。但制图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。,（2）变形椭圆,指地球椭球体面上的一个微小圆，投影到地图平面上后变成的椭圆，特殊情况下为圆。可证明球面上的一个微小圆，投影到平面上之后是个椭圆。,在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小圆的比较，说明变形的性质和大小。椭圆半径与小圆半径之比，可说明长度变形。很显然，长度变形随方向的变化而变化，其中有一个极大值，即椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆短轴方向。这两个方向是相互垂

9、直的，称为主方向;椭圆面积与小圆面积之比，可说明面积变形;椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比较，可说明角度变形。,（3）长度比和长度变形,长度比 是投影面上一微小线段ds和椭球面上相应微小线段ds之比。用公式表达为：,=ds/ds,长度比用于表示投影过程中，某一方向上长度变化的情况。1，说明投影后长度拉长，1，说明投影后长度缩短了；=1，则说明特定方向上投影后长度没有变形。,注意长度比与比例尺区别：,地图上标注的比例尺是主比例尺，它表明地图投影之后地球缩小的比率； 长度比是一个变量，在地图上不同点，或同一点不同方向上，长度比不同； 在研究地图投影时，只研究特定方向上的长度比，即

10、最大长度比(a)和最小长度比(b),或经线长度比（m)和纬线长度比(n); 如果投影后，经纬线仍正交，则m=a,n=b; 若投影后，经纬线不正交，设夹角为，则有关系m2+n2=a2+b2,mnsin =ab;,由长度比可引出长度变形的概念。所谓长度变形V就是（ds-ds）与ds之比，即长度比与1之差，用公式表示为：,V,=,_,ds,=,ds,_,ds,-,1,=,-,1,ds-ds,（4）面积比和面积变形,面积比就是投影面上一微小面积dF，与椭球体面上相应的微小面积dF之比。 所谓面积变形就是（dF-dF）与dF之比，即面积比与1之差，以VP表示面积变形。,Vp,=,_,dF,=,dF,_,

11、dF,-,1,=,-,1,p,dF-dF,（5）角度变形,投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相应的两方向线的夹角之差 a-a，称为角度变形。 可以推出最大角度变形公式为：,Sin,=,2,w,四、地图投影的分类,等角投影,按变形性质分类,等距投影,等积投影,任意投影,投 影 构 成 方 法,几何投影,条件投影,方位投影,圆柱投影,圆锥投影,伪方位投影,伪圆柱投影,伪圆锥投影,多圆锥投影,方位投影,圆柱投影,圆锥投影,几何投影,条件投影,第四节 常用地图投影,一、世界地图常用投影,（1）墨卡托投影（Mercator Projection）,墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。该投影设想与地轴方向

12、一致的圆柱与地球相切或相割，将球面上的经纬线网按等角的条件投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开并展成平面。经线和纬线是两组相互垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大（如图）。图上无角度变形，但面积变形较大。,（2）空间斜轴墨卡托投影 （Space Oblique Mercator Projection）,这是美国针对陆地卫星对地面扫描图像的需要而设计的一种近似等角的投影。这种投影与传统的地图投影不同，是在地面点地理坐标（，）或大地坐标（x，y，z）的基础上，又加入了时间维，即上述坐标是时间t的函数,在四维空间动态条件下建立的投影。空间斜轴墨卡托投影简称SOM投影。,（

13、3）桑逊投影（Sanson Projection）,桑逊投影是一种经线为正炫曲线的正轴等积伪圆柱投影 ,该投影的纬线为间隔相等的平行直线，经线为对称于中央经线的正弦曲线,是等面积投影，赤道和中央经线是两条没有变形的线，离开这两条线越远，长度、角度变形越大。因此，该投影中心部分变形较小，除用于编制世界地图外，更适合编制赤道附近南北延伸地区的地图，如非洲、南美洲地图等。,（4）摩尔维特投影（Mollweide Projection）,摩尔维特投影是一种经线为椭圆曲线的正轴等积伪圆柱投影。该投影的的中央经线为直线，离中央经线经差90的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的一半，其余的经线为椭圆曲线。赤

14、道长度是中央经线的两倍。纬线是间隔不等的平行直线，其间隔从赤道向两极逐渐减小。同一纬线上的经线间隔相等。,（5）古德投影（Goode Projection）,古德投影的设计思想是对摩尔维特等积伪圆柱投影进行“分瓣投影”，即在整个制图区域的几个主要部分，分别设置一条中央经线，然后分别进行投影。投影的结果，全图被分成几瓣，各瓣通过赤道连接在一起，地图上仍无面积变形，核心区域的长度、角度变形和相应的伪圆柱投影相比明显减小，但投影的图形却出现了明显的裂缝，这种尽量减少投影变形，而不惜图面的连续性是古德投影的重要特征。,二、半球地图常用投影,（1）横轴等积方位投影 （Lambert，s Azimutha

15、l Equivalent Projection）,又名兰勃特方位投影,该投影特点:(1)赤道和中央经线为相互正交的直线，纬线为凸向对称于赤道的曲线，经线为凹向对称于中央经线的曲线。(2)该投影图上面积无变形，角度变形明显。(3)投影时的切点为无变形点，角度等变形线以切点为圆心，呈同心圆分布。离开无变形点愈远，长度、角度变形愈大，到半球的边缘，角度变形可达3837。,（2）横轴等角方位投影 （Transverse Azimuthal Orthomorphic Projection）,又名球面投影、平射投影，是一种视点在球面，切点在赤道的完全透视的方位投影（如图） 。在变形方面，该投影没有角度变形

16、，但面积变形明显。赤道上的投影切点为无变形点，面积等变形线以切点为圆心，呈同心圆分布。,（3）正轴等距方位投影 （Postels Projection）,又名波斯特尔投影，该投影的特点：（1）纬线为同心圆，经线为交于圆心的放射状直线，其夹角等于相应的经差。（2）经线方向上没有长度变形，纬线间距与实地相等。（3）切点在极点，为无变形点。（4）有角度变形和面积变形，等变形线均以极点为中心，呈同心圆分布，离无变形点愈远，变形愈大。,三、分洲、分国地图常用地图投影,（1）斜轴等积方位投影 （Oblique Equal-area Projection ）,投影面与椭球面相切于极地与赤道之间的任一点（投影

17、中心）。中央经线为直线，其余经线为凹向对称于中央经线的曲线；纬线为凹向极地的曲线。中央经线上，纬线间距从投影中心向南、向北逐渐缩短。,（2）正轴等角/等积圆锥投影,正轴等角圆锥投影又称兰勃特正形投影，应用很广。我国新编百万分之一地图采用的就是该投影。除此以外，该投影还广泛应用于我国编制出版的全国1：400万、1：600万挂图，以及全国性普通地图和专题地图等。 正轴等积圆锥投影又称亚尔勃斯投影（Albers Projection），我国常用等积圆锥投影编制全国性自然地图中的各种分布图、类型以及全国性社会经济地图中的行政区划图、人口密度图、土地利用图等。,（3）彭纳投影（Bonne Project

18、ion）,彭纳投影是法国水利工程师彭纳（Rigobert Bonne）1752年设计的一种等积伪圆锥投影。 彭纳投影常用于中纬度地区小比例尺地图，如我国出版的世界地图集中的亚洲政区图，英国泰晤士世界地图集中的澳大利亚与西南太平洋地图，都采用的是彭纳投影。,四、地形图常用地图投影,各国地形图所采用的投影很不统一。在我国8种国家基本比例尺地形图中，除1：100万地形图采用等角圆锥投影外，其余都采用高斯-克吕格投影。,（1）高斯-克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）,高斯-克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。它是假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条

19、件将中央经线东、西各3或1.5经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面即成。,高斯投影的特点:,高斯-克吕格投影的中央经线和赤道为垂直相交的直线，经线为凹向对称于中央经线的曲线，纬线为凸向对称于赤道的曲线，经纬线成直角相交。 无角度变形；中央经线长度比等于1，没有长度变形；其余经线长度比均大于1，长度变形为正；距中央经线越远，变形越大；最大变形在边缘经线与赤道的交点上，但最大长度、面积变形分别仅为+0.14和+0.27（6带），变形极小。,为控制投影变形，高斯-克吕格投影采用6带、3带分带投影的方法 ，我国1：2.5万-1：50万地形图均采用6带投影，1：1万及更大比例尺地

20、形图采用3带投影。 6分带法规定：从格林威治零度经线开始，由西向东每隔6为一个投影带，全球共分60个投影带，分别用阿拉伯数字1-60予以标记。我国位于东经72-136之间，共包括11个投影带（13-23带）。 3分带法规定：从东经130起算，每3为一带，全球共分120带，（下图）表示了6分带与3分带的中央经线与带号的关系。,该投影的平面直角坐标规定为：每个投影带以中央经线为坐标纵轴即轴，以赤道为坐标横轴即轴组成平面直角坐标系。为避免值出现负值，将轴西移500km组成新的直角坐标系，即在原坐标横值上均加上500km，因我国位处北半球，值均为正值。60个投影带构成了60个相同的平面直角坐标系，为区分之，在地形图南北的内外图廓间的横坐标注记前，均加注投影带带号