量子力学讲授纲要2.方法.ppt

1、第二部分 方法,近似方法(单体问题),严格求解薛定谔方程是困难的，已发展了许多求解的方法: 绝热近似法、 格林函数法、 变分法、微扰法、准经典近似法、 哈特-福克法等,绝热近似法 贝瑞相因子,绝热近似条件：,“零级”,满足相耦合条件,Berry在1984年重新研究了量子体系在绝热近似下的演化过程。令人出乎意料地发现了Berry相因子，导致了对量子力学相位物理概念的新认识。,假定体系的哈密顿量H通过某些参数R而依赖于时t，即,能量本征方程,则有,式中除因子,(动力学因子)外，还有因子,如果参数RR(t)在R-参数空间t=0和t=T时刻之间形成闭合曲线C，即R(0)=R(T)，则HR(0)=HR(

2、T),系统作循环演化。贝瑞发现,即,是不可积相因子，它沿闭合曲线C延拓时，不是,R的单值函数。,注意：Berry 绝热相位是对循回过程定义的,对Berry相位的正确解释必须引用拓扑学的概念,格林函数方法,格林函数包含的信息：,2、在实轴上的单极点位置可以得到分立的能量本征值，相应的留数包含着本征态的信息。,3、在实轴上的支切给出了体系的连续谱；相应的支切两端的不连续性，描写了态密度。,1、描写了体系对点源的响应。,由它可以建立一套行之有效的图解法，这比常用的微扰方法具有更加直观的优点。,从方法上：,我们熟悉的态:,状态 a,状态 a ,b 的线性叠加,希尔伯特空间中的矢量,厄米算符 (F，H)

3、 的本征态 (|f, |n),也是希尔伯特空间中的矢量,相 干 态,谐振子的占据数表象,从对易关系出发，在抽象希尔伯特空间中求解本征值方程,在抽象希尔伯特空间中 求解本征值方程的一般步骤,典型例子： 谐振子,出发点：,产生算符，,消灭算符，,占有数算符：,希尔伯特空间中以,为基矢建立起占据数表象,相干态是非厄米算符 (湮灭算符 ) 的本征态,相 干 态定义和性质,相干态是纯量子态,相干态是不同定态的相干叠加,相干态是最接近经典的量子态,是最小测不准波包,相干态可以作为展开任意量子态的基,反过来，不同定态的相干叠加不一定是相干态,作为展开任意态矢的基,本征值 En , f 为实数,作为非厄米算符

4、本征态的相干态,厄米算符本征态的性质,湮灭算符本征态的性质,归一化,完备性,本征值为复数,归一化,超完备性,能否展开任意态矢？,渐近正交性,当,正交性,二次量子化方法(多体问题),全同多粒子系统的波函数要求在粒子交换时对称（玻色子）或反对称（费米子）,单粒子近似下的波函数,系统波函数是单粒子波函数的乘积。 单粒子波函数是 某一单粒子算符 的本征函数。,特点：表象变量取正整数或零,占有数表象的算符,基本算符是使占有数加（减）1,对态矢的作用，玻色情况：,费米情况下出现相因子,如 i 之前的粒子数为奇数则加负号。,散射,散射是人类观察自然的基本方法,量子力学的两类问题： 定态问题 能谱分立 解定态

5、薛定锷方程， 求能级。 散射问题 能谱连续 解含时薛定锷方程， 求散射几率。,散射问题包含了定态问题,通常定态问题讲得多，散射问题讲得少。 似乎定态问题比散射问题重要，其实不然。,散 射 截 面,散射理论,势散射: 格林函数解法(一级近似又称为玻恩近似)、 分波法（略）,李普曼一施温格方程（散射问题的基本方程） ：,散射理论的核心是S-矩阵理论或形式散射理论:,碰撞的普遍理论的中心问题是确定S矩阵,第二部分 各章内容,第四章 近似方法 41 绝热近似法 42 定态问题的格林函数方法 43 含时系统的格林函数 44 线性响应理论 第五章 二次量子化方法 51 谐振子的占据数表象 *相干态 52 玻色子系的二次量子化 53 费米