第八章 状态变量分析法.ppt

1、第八章 状态变量分析法,contents,连续时间系统状态方程的求解,8-4,状态和状态变量,8-1,连续时间系统状态方程的建立,8-2,离散时间系统的状态方程,8-3,离散时间系统状态方程的求解,8-5,由状态方程判定系统的稳定性,8-6,系统的能控性和可观测性,8-7,8-1 状态和状态变量,状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于计算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分析，而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变电路的分析,8-1-1 状态方程的引出,状态变量分析法定义： 第一，用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以

2、唯一地确定的任意时的状态。 第二，用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。 用来定义电路状态的变量，则称为状态变量。,【例题8-1】图8-1所示的电路中，列些其状态方程和输出方程。,图8-1 一个二阶电路,即可最后求得 。 所以 满足上述条件一；,将状态方程组写成如下形式,输出方程,一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的，且是最少个数的,在 已知后，使用KCL或者KVL等关系,8-1-2 状态变量分析法的名词,状态： 对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量（称为状态变量）。只要知道 时这组变量和 时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间 的

3、行为。 状态变量： 能够表示系统状态的那么变量称为状态变量。 状态矢量： 能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成了状态矢量。如一个二维矢量,状态空间： 状态矢量(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。 状态轨迹： 在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。,8-1-3 状态变量分析法的优点,用状态变量分析系统的优点在于： (1) 便于研究系统内部的一些物理量的变化规律，这些物理量可以用状态矢量的一个分量来表示。 (2) 这种以矢量和矩阵表示的系统的数学模型适用于描述多输入-多输出系统。 (3) 由于系统的状态

4、方程都是一阶微分方程或一阶差分方程，便于采用数值解法，便于计算机求解。,【例题8-2】如果在例题8-1中，取 ， ， 。并且 ， 。分析在 和 的两种情况下状态轨迹。,解：,当 时，可解出,根据结果很容易画出的 ， 波形以及状态轨迹。,图8-2 时， ， 的波形,图8-3 时状态矢量 的轨迹图,当 时，可解出,图8-4 时， 的波形,图8-5 时状态矢量 的轨迹图,8-2 连续时间系统状态方程的建立,8-2-1 连续时间系统状态方程的普遍形式,如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合。即：,其中，C为rn的输出矩阵，D为rm的矩阵,如果用矢量矩阵表示，即状态方

5、程为：,其中，A为nn的系统矩阵，B为nm的控制矩阵。,8-2-2 直接列写系统的状态方程,建立动态电路的状态方程的步骤： 我们一般以独立电容电压及独立电感电流作为状态变量； 需要对含有一个电容同时允许包含电感、电阻及电流源的节点（或者割集）列写KCL方程。 对含有一个电感同时允许包括电容、电阻和电压源的回路列些KVL方程，即可列出系统的状态方程。 因为状态方程的左边是状态变量的导函数 ， 从元件的伏安特性可知， 与电容的电流有关， 与电感的电压有关。,上述所列方程中，若含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的节点电流方程或回路电压方程将它们消去然后整理成一般形式。,【例题8-3】对图8-6列

6、些电路的状态方程。,图8-6 例题8-3的电路,解： 取 为状态变量，参考方向如图所示。,写出节点的KCL方程：,回路的KVL方程：,经过整理，得到矩阵形式的状态方程：,若已知系统的微分方程，则先画出信号流图或模拟框图。 由信号流图或模拟框图列写状态方程的步骤： 选取积分器（或一阶系统）的输出端信号 作为状态变量, 则其输入端信号就可用相应状态变量的一阶导数 表示。 如果一阶子系统的系统函数为 ，设其输出端信号作为状态变量 ，则其输入端信号与 的关系为： 在积分器（或一阶系统）的输入输出端列写状态方程，然后整理成一般形式。,8-2-3 间接列写系统的状态方程,8-3 离散时间系统的状态方程,离

7、散系统的状态方程形式为：,输出方程为：,如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合。,状态方程：,输出方程：,状态方程和输出方程可以看出，这是由输入量、输出量。状态变量以及联系它们之间关系的A、B、C、D矩阵组成。即，状态方程和输出方程可以简写为：,从状态方程可以看出，系统在,时刻的状态变量是,时刻状态变量和输入信号的函数。,【例题8-5】设某系统的输入输出方程为,写出该系统的状态空间表达式。,解: 对差分方程取z变换有,画出其系统框图如图8-8所示,图8-8 例题8-5的系统框图,其状态方程为,写出矩阵形式为,其输出方程为,写出矩阵形式为,【例题8-6】宏观

8、经济模型一。设y(n)、C(n)、I(n)、U(n)分别表示第n季度的国民收入、消费、投资和政府支出，而且这四个变量之间有如下的关系式：,（1）,（2）,（3）,其中，a、b为已知常数。下面将其化成输入输出表达式和状态空间表达式。,解： 首先将(2)和(3)式代入(1)式，得到系统的输入输出表达式,（4）,即,为了得到状态空间表达式，将(3)式变换为,或,（5）,再由(1)和(2)式得到,或者：,（6）,令,即,（7）,则，状态变量为,将(7)式代入(5)、(6)式，得,（8）,整理得，,将(7)式代入(1)式，得,（9）,将(8)(9)式整理成矩阵形式，得到系统的状态空间表示式,其中，,如果

9、令,其中，,8-4 连续时间系统状态方程的求解,求解状态方程有时域和变换域两种解法，这里只介绍变换域求解。 (1)矩阵形式的状态方程为 (8-19) (8-20) 经整理得 (8-21) 其中I是nn的单位矩阵。如果(sI-A)是可逆的，则有 (8-22),令 则 对上式进行拉普拉斯反变换得 (2) 输出方程的一般形式为 对上式两边进行拉普拉斯变换得,将带入上式，经整理得 （3）系统函数 当，由上式可知系统的零状态响应的拉普拉斯变换为,所以系统函数矩阵 为 矩阵H(s)第l行第k列元素Hlk(s)确定了系统第k个输入对第l个输出的贡献,【例题8-8】已知某连续时间系统的状态方程和输出方程为 其

10、初始状态和输入分别为,解： 从状态方程和输出方程中得到系数 利用变换域解法求状态变量时域解。 首先要计算矩阵 其相应的行列式,伴随矩阵,则,则,则取拉普拉斯逆变换得到系统的状态变量,电路的输出方程,则输出变量为,8-5 离散时间系统状态方程的求解,已知离散时间系统的状态方程和输出方程为,经整理得,将上式两边取z变换，得,其中I是nn的单位矩阵。如果(zI-A)是可逆的，,令,则有,对上式进行逆反变换得,(2) 输出方程的一般形式为,将上式两边取z变换，得,将 带入上式，经整理得,由上式可知，系统的零输入响应的z变换为,系统的零状态响应的z变化为,【例题8-9】已知一个离散时间系统的状态方程和输

11、出方程为 初始状态为 ，激励 求 (1)状态方程的解和系统的输出。 (2)求系统函数H(z)和单位样值响应h(n)。,解： （1）先求,对上式两边取逆z变换，得,因为,(2),对上式两边取逆z变换，得,8-6 由状态方程判定系统的稳定性,1、连续系统稳定性判别 则上式的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况。只要知道它的根落在s平面的左半平面，系统就是稳定的。 【例题8-10】已知系统的状态方程为 判断k取何值时，系统是稳定的。,解： 从状态方程可知 系统的特征多项式 根据罗斯-霍尔维兹准则可以知道，为了保证上列三次多项式的根都落于s左半平面，必须满足,解得 , 即k值在此范围内系统稳定。,2

12、、离散系统稳定性判别 如果系统稳定，则要求矩阵A的特征值,即系统的特征根位于单位圆内。 采用特征根判别系统的稳定性时，需要求解系统的特征根。如果遇到高阶方程，求解特征根的计算有一定的复杂性。对于二阶线性定常系统，可以不要求出特征根而直接判别二阶线性定常系统稳定性的充要条件。,【定理】如果一个特征多项式为 当二阶线性定常系统的两个特征根全部位于平面的单位圆中时，系统稳定的充分必要条件为,【例题8-11】给定图8-9系统，已知 ， ，问此系统是否稳定?,解： 列出系统的状态方程,在给定 的范围内，只有满足 才可保证系统式稳定的。此时，特征根落于单位圆内。,写成矩阵形式有,系统的多项式,则根据定理8

13、-1判断系统的稳定性，可知有,【例题8-12】在自由资本主义时期，政府一般对经济部进行干涉，这是以家庭、厂商构成的二部门经济系统模型。但是自从20世纪30年代世界经济危机以来，为了解决“市场失灵”，政府对经济的调节日益加强，因此应该把政府部门引入到经济系统模型中，即包括家庭、厂商和政府构成的三部门经济系统。这里，主要考虑政府用于提供公共服务和发展社会福利的支出，称为政府支出或政府购买。,定义变量如下： Y(n)为第n年国民生产总值 C(n)为第n年个人消费总额 G(n)为第n年政府支出 I(n)为第n年投资总额。 国民生产总值与消费及投资的方程为： (1) 这里假设经济发展平稳，银行利率变化率

14、为0。即,假设第n年的个人消费总额与上一年的生产总值有关，即 (2) 为常数，为基本消费水平，为边际消费倾向。 假设第n年的投资额与人们的消费需求及银行利率有关。,为常数， 为自发投资，是由外部因素引发的投资，与国民收入变动无关。 为加速系数， 表示消费增量大于0时，投资加速增加。,(3),因此(1)、(2)、(3)式构成了三部门的宏观经济系统。 将(2)代入(3)式，得到,(4),将(2)和(4)式代入代入(1)式，得到,(5),假设政府支出各期相同， 为已知常数。,因此(5)式可以化为二阶差分方程,(6),令状态变量, 则,写出状态方程,写出矩阵形式,式中， 则根据定理8-1判断系统的稳定

15、性，即讨论特征方程式的系数。由于经济系统加速数 ，边际消费倾向 当 成立时，三部门经济系统模型是稳定的。,其特征多项式为,8-7 系统的能控性和可观测性,系统的可控制性也称为能控制性，简称为可控性或能控性。 系统的可观测性也称为能观测性，简称为可观性或能观性。 系统的能控性和能观测性是动态系统进行状态估计、系统辨识以及实现最优化控制的基础。可以应用在经济系统中，为经济体制改革提供理论依据。,8-7-1 系统的能控性,对于一个实际系统，总希望输入信号能够对状态实行完全控制，从而使系统具有预期的动态特性。对于经济系统来说，能控性是指一个经济系统的外生变量对经济系统的内生变量能产生多大影响的问题。,1、状态能控性 【定义】当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点。如果可以做到这一点，则称系统式完全可控的。如果只有部分主体变量可以做到这一点，则称系统部完全可控制的。 【判据】系统状态能控的充分必要条件是矩阵 满秩，即 。称为系统的能控性矩阵。,【例题8-13】设某一经济系统的状态方程为 解： 系统能控性矩阵的秩为 rank = 因此，系统能控。,要求判断系统的能控性,其中， 是k个状态向量。 为一已知常向量。,8-7-2 系统的能观测性,能观测性事动态系统的又一重