第三节(泰勒级数展开).ppt_第1页
第三节(泰勒级数展开).ppt_第2页
第三节(泰勒级数展开).ppt_第3页
第三节(泰勒级数展开).ppt_第4页
第三节(泰勒级数展开).ppt_第5页
已阅读5页，还剩10页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、幂级数之和在收敛圆内部为解析函数.,在实数域中，任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒 级数，而解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析 函数展开为复变项的泰勒级数。,定理：,设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点 f(z)可展为幂级数,其中,为圆CR内,包含z且与CR同心的圆。,、解析函数以幂级数展开问题,证明：,如图，为避免涉及在圆周CR上级数的,收敛或者发散问题，作比CR小，但包含z且与 CR同心的圆周,应用柯西公式得,下面我们把 展开为幂级数，且展开式以z0为中心，,右边第二个式子可得,代入（1）可得,（1）,代入,然后逐项积分可得,根据柯西公式,上式就是以

2、z0为,中心的泰勒级数,下面证明以上得到的泰勒级数是唯一的,如果另有一个以z0为中心的不同于上面的泰勒级数,则有,令zz0，得,然后求导一次，令zz0，可得,然后求导一次，令zz0，可得,依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了 解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有 密切的关系。,例1,在z00的邻域上把 展开,解：,函数 的各阶导数,并且有,由此可以写出 在z00的邻域上的泰勒级数,由,可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要z,是有限的，则泰勒级数就是收敛的！,例2,在z00的邻域上把 展开,解：,的前四阶导数是,往后依次重复,二、解析函数展为泰勒级数举例：,在

3、z00处，f1(z)和前四阶导数的值是,由此可以写出sinz在z00的邻域上的泰勒级数,同样也可求得其收敛半径为无限大！,同理可求得cosz在z00的邻域上的泰勒级数为,可求得其收敛半径为无限大！,例3,在z01的邻域上把 展开,解：,多值函数f(z)lnz的支点在,而现在的展开中心,z01不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自 是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。,展开系数计算如下：,由泰勒展开的公式我们 可以写出lnz在z01的 邻域上的泰勒级数如下：,同时可求得其收敛半径为1，则有,在上述展开式中，n0的那个单值分支叫做lnz的主值,例4,在z00的邻域上把 展开,解：,（m不是整数）,先计算展开系数,由此我们可以写出 在z00的邻域上的泰勒级数,可求得收敛半径为1，由此可得,其中,这许多单值分支中，n0，即1m1的这个分支叫做主值,同时也是指数为非整数的二项式定理,复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则 一样，但要注意复数运算和实数运算的异同， 在计算的时候，考虑全面！

人人文库> 全部分类> 生活休闲 > 科普知识

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论