计算机图形学(三维几何变换).ppt

1、第4章 变换和裁剪,本章的目的,用数学的方法推导出物体的几何形状在不同观察方式下所呈现的视图之间的几何关系，即几何变换，如平移、放缩、旋转等,如何求出图形在窗口内的部分进行显示，或者说显示图形时如何把窗口外的部分裁剪掉,2,2009-2010-2:CG:SCUEC,4.1 变换的数学基础 4.2 图形显示中的基本概念 4.3 几何变换 4.4 裁剪,主要内容,3,2009-2010-2:CG:SCUEC,点和距离 矢量 矢量和、矢量的数乘、矢量的模、单位矢量、矢量的点乘、矢量的叉乘 矩阵 矩阵的加法、矩阵的数乘、矩阵的乘法、单位矩阵、矩阵的转置、矩阵的逆,变换的数学基础）,4,2009-201

2、0-2:CG:SCUEC,4.2 图形显示中的基本概念,1、图形数字化（图形数字建模） 为了使计算机处理几何图形，必须对图形进行数字化，因为计算机只能处理数字，计算机图形也是以数字的形式进行加工和处理的。 坐标建立了几何图形和数字之间的关系，为了使显示的图形数字化，要为数字化的图形建立坐标系。,计算机处理图形的过程,计算机处理图形的过程一般分为三个阶段：,6,2009-2010-2:CG:SCUEC,模型坐标系：为了方便建立图形的数字模型，常常根据它的几何形状选择坐标系，因此在图形的处理过程中，每个图形模型都有自己的坐标系，这个坐标系称为模型坐标系或局部坐标系,世界坐标系：一个图形场景往往有多

3、个图形组成，为了描述它们之间的关系，需要把它们置于一个统一的坐标系中，该坐标系称为世界坐标系,计算机处理图形的过程,7,2009-2010-2:CG:SCUEC,2、图形操作： 平移、放缩或旋转等变换,三维空间中的对象要在二维的屏幕上表示出来，需要进行投影变换等等,计算机处理图形的过程,8,2009-2010-2:CG:SCUEC,观察坐标系：在图形显示或处理过程中，用户往往需要从不同角度对图形进行观察，需要产生不同角度的视图，如果在世界坐标系中产生不同角度的视图，投影变换所涉及的计算将相对复杂。此时可根据视图所在的投影平面建立一个新的坐标系，称为观察坐标系，使世界坐标系中的任意投影平面为观察

4、坐标系中的平面。把世界坐标系中的图形变换到观察坐标系中，从而可大大简化投影变换。,计算机处理图形的过程,9,2009-2010-2:CG:SCUEC,视见体：有时为了突出图形的某一部分而只显示部分图形，这时可以定义一个视见体，限定要绘制的图形区域。一般是一个四棱台或四棱柱。,窗口:视见体投影到投影平面上形成的一个矩形 视口：在投影平面上形成XYUV。为了在屏幕或绘图纸上指定显示图形的位置，需要在其上定义一个矩形，该矩形称为视口。,计算机处理图形的过程,10,2009-2010-2:CG:SCUEC,3、图形输出： 计算机对数量化的显示图形在图形显示器上绘制，也就是把投影平面中的投影图形输出在输

5、出设备上，需要在输出设备上建立一个坐标系。 设备坐标系：在输出设备上建立的坐标系是设备坐标系，输出设备如果是屏幕就是屏幕坐标系。有可能是三维的如机械手运动轨迹的三维坐标系。我们常用的是屏幕坐标系。 有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标范围限定在区间x, y, z | 0 x1, 0y1, 0z1内，称为标准化设备坐标系,计算机处理图形的过程,11,2009-2010-2:CG:SCUEC,计算机处理图形的过程,12,2009-2010-2:CG:SCUEC,4.3 几 何 变 换,观察一个物体，由于观察角度或物体位置的改变，我们会看到不同的画面。 1.观察角度的改变-取景变换 2.物

6、体位置的改变-模型变换(几何变换) 两种变换本质是相同的,取景变换是可以用模型变换来实现的,不过有时用一种方法考虑比另一种方法考虑更容易一些。这里只讨论模型变换。 复杂的图形变换都可以归结为对点的变换，后面的变换都是针对空间中任意点的。 因为二维变换是三维变换的特例，下面仅讨论空间中的三维变换。,模型变换说明,14,2009-2010-2:CG:SCUEC,总结以上这些变化后的图形结果，可以得到如下的结论： 1、图形变化了，但原图形的构成规则(拓扑关系)没有改变； 2、图形发生的变化，是因为其顶点位置(几何关系)的改变决定的。 这种通过维持图形的拓扑关系不变，而仅改变图形的几何关系来实现图形改

7、变的方法，称之为图形的几何变换。,先看看图形的几种常见变化：,几何变换的概念,15,2009-2010-2:CG:SCUEC,点p(x,y,z)由点p(x, y, z)在x, y和z轴方向分别移动距离x, y和z得到。 两点坐标间的关系为,其矩阵形式为,基本变换平移,p,P,16,2009-2010-2:CG:SCUEC,放缩,设点A(x, y, z)经缩放变换后得点A(x,y,z),两点坐标间的关系为,基本变换放大和缩小,A,A,17,2009-2010-2:CG:SCUEC,以图形中心为中心的缩放,以图形中心为中心的缩放变换 为了使缩放变换后的图形仍在原位置附近，可另外定义一个相似中心点(

8、xp,yp,zp). 先把整个图形沿x, y和z方向平移xp, yp和zp, 相似中心就移到了坐标原点.,基本变换放大和缩小,18,2009-2010-2:CG:SCUEC,以图形中心为中心的缩放,以图形中心为中心的缩放变换 然后再对每一点按照式(*)作变换. 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩放的图形移回原处.,基本变换放大和缩小,19,2009-2010-2:CG:SCUEC,这样做的综合效果是图形以(xp, yp, zp)为中心作了缩放变换.,以(xp,yp,zp)为中心的缩放变换,基本变换放大和缩小,20,2009-2010-2:CG:SCUEC,设给定点P的坐标

9、为（x, y, z）= (rcos , rsin , z)，它绕z轴旋转角后，可得点P(x, y, z),X,Y,Z,旋转的图示,基本变换旋转,P(x,y,z),P(x,y,z),21,2009-2010-2:CG:SCUEC,同理： 绕y和x轴的旋转变换公式分别为,和,基本变换旋转,22,2009-2010-2:CG:SCUEC,思考,如果旋转轴不是坐标轴，而是任意一条通过坐标原点的轴线，怎么办？,23,2009-2010-2:CG:SCUEC,绕过原点的轴旋转 绕空间任一通过坐标原点的轴,做旋转变换，需给出这根轴的方向(Ax,Ay,Az)。 首先建立一个新的坐标系Ouvw,Ow轴的指向和(

10、Ax,Ay,Az)的指向一致.,红色为新坐标系Ouvw,最后把旋转后的对象从坐标系Ouvw变换到原坐标系oxyz中，这样绕给定的,通过原点的轴的旋转便完成了,基本变换旋转,24,2009-2010-2:CG:SCUEC,再把要作旋转变换的对象从坐标系oxyz变到坐标系Ouvw, 在坐标系Ouvw把物体绕Ow轴旋转要求转动的角度,两个坐标系间的变换关系,Ow轴方向的单位向量为,Ou轴可取在经过O点并和Ow轴垂直的任一直线上,v =(a13a32a12a33, a11a33a13a31, a12a31a11a32) =(a21, a22, a23),基本变换旋转,25,2009-2010-2:CG

11、:SCUEC,Ov轴的单位向量为v=wu，即,坐标系变换公式,从坐标系oxyz至坐标系Ouvw的变换为,（4）,由于向量u,v,w是互相正交的单位向量，可知矩阵A的逆矩阵就是A的转置矩阵AT，即,这样,从坐标系Ouvw至坐标系oxyz的变换公式为,基本变换旋转,26,2009-2010-2:CG:SCUEC,由式(4),式(3)和式(5)可得变换公式为,（6）,基本变换旋转,思考：如果旋转轴通过点(xp, yp, zp)，而不 通过坐标原点，应如何处理？,27,2009-2010-2:CG:SCUEC,先通过平移变换把对象沿x, y, z轴方向平移 -xp, -yp, -zp，旋转轴经过坐标原

12、点，但方向不变； 图形作绕通过坐标原点的轴的旋转变换； 将图形沿x, y, z轴方向平移xp, yp, zp，得到绕任意轴的旋转变换。,解决方案,28,2009-2010-2:CG:SCUEC,设矩形OABC沿x轴（称为方向轴）方向切变，y轴称为依赖轴。切变的程度由参数S=tg决定,s的几何意义是对y=1的点在切变时沿x轴正向平移的距离。设点(x, y, z)经错切变换后成为(x, y, z)，则,(7),如果依赖轴和方向轴改成其它的坐标轴，式（7）中的矩阵要作相应的变动。,基本变换错切变换,29,2009-2010-2:CG:SCUEC,在实际绘图时，常要对对象连续做几次变换，例如作平移后，

13、作旋转，再作放大等。这样对每一点的坐标要依次用式(1)，式(6)和式(3)计算，这样计算量较大。如果只有旋转和放大，则可把式(6)和式(3)合并成一个矩阵,(8),但使用平移变换，由于变换式右端多出一项， 变换矩阵无法实现合并，怎么办？,齐次坐标与变换的矩阵表示,30,2009-2010-2:CG:SCUEC,为使平移变换也能象其他变换那样容易合并，可以采用齐次坐标。,齐次坐标,如：二维点x y 用 X Y H表示,空间点x y z 用 X Y Z H表示,正常化齐次坐标,怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?,H可以任意选取,所以一个普通坐标的齐次坐标表示不是唯一的。,如二维平面上的一点3,4,用

14、齐次坐标表示为3,4,1,6,8,2,1.5,2,0.5,通常将H=1的齐次坐标称为,x=X/H,y=Y/H,z=Z/H,齐次坐标表示法就是用n+1维向量表示n维向量,变换的表示法统一,变换合成的问题,引入齐次坐标,齐次坐标与变换的矩阵表示,31,2009-2010-2:CG:SCUEC,三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵,比例、对称、旋转、错切,平移,投影变换,总体比例变换,三维空间点的变换为,x y z 1 T = x y z 1,变换前点的坐标,变换后点的坐标,三维图形的变换矩阵,l m n 1 x 3,p q rT,s1x1,三维变换齐次坐标矩阵表示的一般形式,32,2009-20

15、10-2:CG:SCUEC,一、全比例变换,变换矩阵主对角线上的元素a、e、j、s的作用是图形产生比例变换。,x y z 1 T = x y z s=x/s y/s z/s 1,具体变换的齐次坐标形式,33,2009-2010-2:CG:SCUEC,三、对称变换,具体变换的齐次坐标形式,34,2009-2010-2:CG:SCUEC,四、平移变换,指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，其形状、大小都不发生变换的变换,例：一单位立方体，现将它沿 x方向移动3单位， y方向移动2单位， z方向移动3.5单位,S*T=,=,具体变换的齐次坐标形式,35,2009-2010-2:CG:SCUEC,五

16、、旋转变换,具体变换的齐次坐标形式,36,2009-2010-2:CG:SCUEC,某些图形软件包提供两种图形变换模式，可方便地控制变换的次序。 图形模式：矩阵合并时，先调用的矩阵放在右边，后调用的矩阵放在左边.也称为固定坐标系模式。这种模式的特点是每一次变换均可看成相对于原始坐标系执行的。 空间模式：又称活动坐标系模式。先调用的矩阵放在左边，后调用的矩阵放在右边,连续执行几次变换时，每一次变换均可看成是在上一次变换形成的新坐标系中进行的。,变换的模式,37,2009-2010-2:CG:SCUEC,图形模式 在图形模式下如按下列流程1)至5)绘图： 1）绘制矩形; 2）绕z轴旋转30; 3）

17、绘制矩形; 4）沿x轴平移距离2; 5）绘制矩形;,变换的模式图形模式1,38,2009-2010-2:CG:SCUEC,在图形模式下如按下列流程1)至5)绘图： 1)绘制矩形; 2)沿x轴平移距离2; 3)绘制矩形; 4)绕z轴旋转30；5)绘制矩形;,以上两个例子中每一次变换均可看成相对于原始坐标系执行的,变换的模式图形模式2,39,2009-2010-2:CG:SCUEC,证明任意的两个连续平移、或两个连续缩放、或两个连续的关于任一坐标轴的旋转是可交换顺序的,连续的多个变换可以表示成一系列矩阵的乘积，但变换次序的不同会导致输出图形的不同，为什么？,矩阵乘法不满足交换律,实例说明,40,2009-2010-2:CG:SCUEC,可看成先对坐标系oxy作旋转，得到相应的坐标系oxy，然后再相对于新坐标系oxy作平移得到最后结果。,30,Rotate（30，0，0，1） Translate（2，0，0） draw_Rectangle（）,1）绕z轴旋转30;2)沿x轴平移距离2; 3)绘制矩形；,变换的模式空间模式,41