光学教程第2章答案.ppt

1、第二章 光的衍射,掌握光学仪器的分辨本领和衍射现象的基本应用。,理解惠菲原理以及菲涅耳积分表达式的意义；,掌握半波带法定性分析菲涅耳圆孔衍射；,熟练掌握夫琅禾费衍射，能根据光强公式分析衍射花样的特点;,掌握光栅方程的意义，能分析光栅的性能参数，了解光栅的应用；,教学目的和要求,掌握 x 射线的衍射,2-1 光的衍射现象,光在传播过程中绕过障碍物的边缘偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象叫光的衍射。,圆孔衍射,不但光线拐弯，而且在屏上出现 明暗相间的条纹。,这是光具有波动 性的重要表现。,单缝衍射,光线同样拐弯，而且在屏上出现明暗相间的条纹。,注意阴影中央的亮点（泊松点

2、）,刀片边缘的衍射,圆屏的衍射,注意刀片狭缝的衍射花样,1、菲涅耳（Fresnel）衍射,（近场衍射）,2、夫琅禾费（Fraunhofer）衍射,（远场衍射）,r0 和 R 中至少有一个是有限值。,r0 和 R 皆为无限大（也可用透镜实现）。,衍射分类,菲涅耳衍射,夫琅和费衍射,孔的投影,夫琅禾费衍射,圆孔的衍射图样随 r0 的变化（R=）：,r0 很小,r0 增加,r0 ,（光直线传播）,r0 ,圆孔的衍射花样,圆屏的衍射花样,几何光学,Huygens，Christiaan 惠更斯，克里斯蒂昂 (16291695),2-2 惠更斯-菲涅耳原理,任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发

3、出球面波；在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。,成功之处,直线传播规律,反射折射规律,双折射现象,较好的解释光的,定性的解释光的干涉、衍射现象,不足之处,不能解释干涉衍射光的振幅变化,不能解释衍射光强的重新分布,一、惠更斯原理,前进波,后退波,Huygens 原理不能解释空间中光波的强度分布，同时由于子波是球面波，因此按照Huygens 原理会出现后退波，与事实不符。,Augustin Jean Fresnel 菲涅耳 ( 1788 1827 ),二、惠更斯菲涅耳原理,提出子波在空间中遵从线性迭加，并且是带权重的迭加，权重是子波波源到观察点的倾斜因子。,衍射与

4、干涉的关系：衍射是无限个子波的迭加干涉。,菲涅耳改进思想：,波前 S 上每个面元 ds 都可看成新的振动中心，它们发出次波，空间某一点 P 的光振动是所有这些次波在该点的相干叠加。,惠更斯菲涅耳原理：,ds 发出的各次波符合下列假设：,1、S 为等位面，设初相为零，即令0=0,2、ds 发出的次波为球面波，P 点振动振幅与 r 成反比,3、P 点的振动振幅与 ds 成正比，与倾角有关,K( )：倾斜因子, = 0， K=Kmax, K( ), 90o，K = 0,考虑波前上Q点处的强度因子A(Q)：,4、次波在P 点的振动由光程=nr 决定（=2/）,ds 发出次波的波动方程为,由以上 4条假

5、设知：,对 S 积分,惠菲原理的数学表达式,1、积分表达式是次波假设与杨氏干涉原理（相干叠加）的有机结合物理意义；,2、一般情况下，上述积分相当复杂。只有当S对通过P点波面的法线具有旋转对称性时，才能积出结果。此时，可用代数加法或矢量加法来代替积分；,3、借助积分式可定量描述光波通过障碍物时发生衍射现象的主要特征。,讨论：,惠菲原理的数学表达式,对于衍射光强的分布规律，菲涅耳衍射采用半波带法处理，得出半定量结论。夫琅和费衍射采用积分法处理，得出定量结论。,菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的仿真实验结果,2-3 菲涅耳半波带,一、定义：,以点光源发出的球面波通过小园孔为例。如下图示。显然，波面S对法线O

6、P具有旋转对称性。在S上取环状带。,相邻波面到观察点距离均相差/2的环形带波面称为半波带。,二、半波带性质,1、任意相邻两个半波带的对应点同时到达观察点P时，光程差为/2，振动方向相反，位相差为,2、各环形带的面积近似相等。,设：CC对P点刚好露出k个半波带且第k个半波带的半径为k,远场点 r0，略去的平方项,在r0的条件下，各半波带 面积近似相等,三、振幅的计算,结果：,球面波各个半波带所发次波在P点的合振幅等于 第一个和最末个振幅之和或之差。,振幅矢量叠加图示：,2-4 菲涅耳衍射,一、菲涅耳圆孔衍射,R,S,O,P,k,B0,r0,rk,B,A, 实验装置, 计算P点的光强,首先考虑通过

7、圆孔的K个完整菲涅耳半波带数：,K个完整菲涅耳半波带数,忽略,项,在BAP中：,在BAO中：,比较两式：,对 P 点的整半波带个数,R（平行光入射）,K 与P在轴上的位置有关。,讨论：,(1) 对 P 点若 S 恰好分成 K 个半波带时：,K 为偶数,最大,K 为奇数,最小,(2) 对 P 点若 S 中还含有不完整的半波带时：,光强介于最大和最小之间,实验证实：,确定观察点P，改变，P点的光强发生变化,确定圆孔半径 ，P点在对称轴上移动，光强发生变化,(3) 若 不用光阑（k）：,无遮拦的整个波面对P点的光强等于第一个波带在该点的光强的一半。对 P 点而言，无遮拦的整个波面光能传播，几乎可认为

8、沿直线 OP 进行。且沿轴线离开小园孔时，光强逐渐减弱，但不发生起伏。,(4)若 对点，圆孔仅够分成一个半波带,(5)若用平行光束入射，R，,综上所述：光在通过小园孔后到达任一点时的光强，不单纯地由光源到该点的距离来决定，还取决于小园孔的位置和大小。仅当园孔足够大时，才与光的直线传播概念一致。,例2-1 波长为6328的平行光垂直照射直径为2. 76mm的园孔，与孔相距1m处放一屏幕。试问：（1）屏上正对园孔中心的p点是亮点还是暗点？（2）要使p点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少距离？,二、圆屏衍射,P点的振幅：,圆屏遮蔽了个K半波带,从K+1个半波带,从最后的半波带

9、（a0）,在 P 点叠加，合振幅为：,不管圆屏的位置和大小怎样，圆屏几何影子的中心永远有光（泊松点）。,圆屏的面积，ak+1，到达 P 点的光愈强。,圆屏的作用能使点光源成实象,B00,P,O,圆屏,点光源的象,点光源,三、菲涅耳波带片,1、定义：,只允许奇数（或偶数）半波带通过的光屏。,当只有奇数（或偶数）半波带通光时，到达对称轴上任一点的各次波间的光程差为的整数倍，位相相同，相互加强，是亮点。合振幅为各次波振幅之和。,2、制备：,先在绘图纸上画出半径正比于序数k的平方根的一组同心园环，并把相间的半波带涂黑，再用相机拍摄在底片上，制成园形半波带。,此外，用此原理还可制成长条形波带片、方形波带

10、片等。,3、特点及应用,具有强烈的聚焦作用：,具有会聚透镜一样的功能：,4、波带片和薄透镜的异同,相同点：都能会聚光能量,不同点：,（1）透镜只有一个会聚焦点， 波带片有许多实会聚和虚会聚焦点。,（2）透镜具有物像等光程性，波带片的相邻露出波带间相差一个波长的光程差。,（3）波带片具有面积大、轻便、可折叠等透镜不具备的优点。,与透镜相比，波带片制作简便、省事；可将点光源成一十字象（长条形波带片）；面积大、轻便、可折叠。,例2-2 一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径r1的不透明圆盘,第二半波带是半径r1 至r2的透明圆环,第三半波带是r2至r3的不透明圆环,第四半波带是r3至r4的透明圆

11、环,第五半波带是r4至无穷大的不透明区域,已知 ,用波长500nm的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现在轴上哪些位置上.,四、直线传播与衍射的联系,当波面完全不被遮挡时，波面完整，其上所有次波叠加的结果形成直线传播；,当波面部分被障碍物遮挡时，波面不完整，叠加中少了这部分次波的成份，其叠加结果便成了明暗相间的衍射花样。,无论是直线传播还是衍射现象，光的传播总是按惠菲原理所述方式进行。光的衍射是光传播的最基本的形式，是光的波动性的最基本的表现。,衍射是绝对的，直线传播是相对的； 直线传播是衍射的极限形式。,结论,衍射

12、是波动的基本特征之一，反映了波动在传播过程中的一种边缘效应。任何波动在通过任何物体的边缘时，都会产生衍射现象。然而，只有当障碍物的几何线度与波长大小可以比拟时，其衍射现象才能明显地表现出来。当障碍物的线度远大于波长时，这种边沿效应将变得不明显，从而表现出直射（直线传播）特征。因此，波动的衍射与直射并不矛盾，只是传播条件不同而已。,衍射理论是现代变换光学的理论基础。从严格意义上讲，衍射是波动在传播过程中其波面受到限制的必然结果，而不仅仅是一种边缘效应。在波动的传播过程中，只要其波面受到了某种限制，如振幅或相位的突变等，就必然伴随着衍射现象的发生。,2-6 夫朗和费单缝衍射,一、实验装置及结果,夫

13、 朗 和 费 单 缝 衍 射 基 本 光 路,二、光强的分析计算, 缝b越小，条纹越宽（即衍射越厉害）,单缝衍射花样的主要特征：, 中央有一特别明亮的亮纹，两侧有一些强度较小的亮纹，中央亮纹宽度是其他亮纹宽度的两倍；其他亮纹的宽度相同；亮度逐级下降, 波长越大，条纹越宽。,如何解释这些实验规律？,花样为一组平行于狭缝的明暗相间的直线状条纹；,用惠费原理计算光强分布：,平行光入射,1、BB上次波的振动方程,将BB分成一组平行于缝长的窄带，设,整个狭缝在=0 方向上的总振幅,BB 处振动的初位相,某一窄带宽度,dx 振幅：,dx振动：,各窄带发出次波的振动方程,入射光波面/狭缝,2、BD上次波的振

14、动方程,作,任选M点，设,则 BN 面上各次波到 P 点的光程相同,B 和M 到P 的光程差为,N 点振动：,3、 P 点的振动方程,若 NP 的光程为，则,P 点振幅简化,不考虑倾斜因子,不考虑振幅与光程的反比关系,4、狭缝上所有次波在P 的叠加,积分过程见（附录21）,当、b、A0确定时，Ap 仅与 有关。,决定P 点合振幅的位相，与光强分布无关,令,三、强度公式的讨论,1、最大最小位置：,令,（1）,（2）,分别解（1）和（2）式，可得出所有极值点, 中央最大位置：,中央主最大位置，与P0点对应,为方程（1）的一个解,由,由,极大, 最小位置：,极小位置，与衍射方向k对应。, 次最大位置

15、：,用图解法解超越方程(2)，作,直线和正切曲线的交点即为方程(2)的解，如下图：,解得 :,相应 :,前几个次最大的位置,次最大位置与衍射方向k0对应,2、强度分布曲线,将, I次最大 I主最大,依次带入光强公式，得到从中央往外各次极大的光强 依次为：,0.0472I0 、0.0165I0 、 0.0083I0 , L2十分靠近狭缝 f 为狭缝到屏的距离 且很小（满足近轴条件）,由第一级极小满足的条件,角宽度,半角宽, 中央明纹宽度,线宽度,衍射反比定律,四、单缝衍射花样的特点, 两侧明纹宽度（相邻两暗纹之间的距离）,由暗纹条件,特征一：各级暗纹和明纹等间距，中央明纹宽度为其它明 纹宽度的两

16、倍,各级暗纹位置,相邻两暗纹角宽度,两侧明纹宽度,明纹暗纹的图示,中央亮纹的半角宽,1,y中,特征二：缝b越小，条纹越宽（即衍射越厉害）,特征三：波长越大，条纹越宽, 白光入射时,中央明纹为白色，边缘为彩色,各次级明纹为彩色并逐次重叠展开, 缝宽变化对条纹的影响,只存在中央明纹，屏幕是一片亮,只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像,几何光学是波动光学在b 时的极限情形, 衍射花样与缝在垂直于透镜 L的光轴方向上的位置无关。, 衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。, 单缝的夫琅和费衍射花样，不随缝的上下移动而变化。,前面的实验规律得到了解释：,特征一： 中央有一特别明亮的亮纹，两侧有一些强

17、度较小的亮纹，中央亮纹宽度是其他亮纹宽度的两倍； 其他亮纹的宽度相同；亮度逐级下降,特征三：波长越大，条纹越宽。,特征二： 缝b越小，条纹越宽（即衍射越厉害）,例2-3波长为632.8nm的He-Ne激光垂直地投射到缝宽b=0.0209mm 的狭缝上。现有一焦距为50cm的凸透镜置于狭缝后面，试求： (1) 由中央亮条纹的中心到第一级暗纹的角距离为多少？ (2) 在透镜的焦平面上所观察到的中央亮条纹的线宽度是多少？,例2-4 用波长400nm和700nm的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中的 第k1级明纹中心位置恰与的 第k2级暗纹中心位置重合。求第一次重合时的k1和k2。,一、实验装置和结果,

18、2-7 夫朗和费圆孔衍射, 由中央亮斑和明暗相间的同心圆环组成, 中央亮斑特别明亮,如何解释这些实验规律？,R、确定时，m由决定,A0 为=0 方向上的合振幅,二、光强分布,1、接收屏上任一点P 的光强为（计算见附录22）：,J1（2m）为一阶贝塞尔（bessel）函数，是随m作振荡变化的函数，其数值可查数学手册,I0=1 时的光强分布曲线,P点的相对光强分布,2、光强分布曲线,光强二维分布图,3、极大极小位置:,0,0.610,1.116,1.619,0.0175,0.0042,0.0016,0.819,1.333,1.814,1,I/I0,夫朗和费圆孔衍射光强分布曲线：,三、光强分布讨论,

19、1、衍射花样,由m 或决定,特征一：r相等处的光强相同，中央为圆形亮斑，周围有 一些亮暗相间的同心圆环条纹。,仅于r 有关,特征二：中央亮斑集中了入射光强的84%，特别明亮，称 为爱里斑。,而与无关,圆孔的夫琅禾费衍射照片,眼睛的瞳孔，望远镜,显微镜,照相机 等常用的光学仪器的物镜，在成象过程中都是衍射孔。,透镜成象清楚不清楚，要考虑物镜衍射的因素。,第一暗环的半径 r1 对应的角宽度1,2、爱里斑,爱里斑半角宽：,爱里斑线半经：,由第一级极小条件,两个物点的象就是这两个衍射班的非相干叠加,如果两个衍射斑之间的距离过近，这两个物点的两个象斑就不能分辨，象也就不清晰了。,爱里斑的大小由衍射的规律

20、决定：,由于衍射的存在，一个物点的象不再是一个点，而是一个衍射 斑(主要是爱里班)。,设爱里斑的半角宽为1,光栅大量等宽、等间距的平行狭缝 （或反射面）构成的光学元件。,2-8 衍射光栅,一.光栅,d = a + b-光栅常数 (两缝之间的距离),d：10-510-6m,用电子束刻制刻痕数可达 几万条/mm,主要研究透射式平面衍射光栅。,二、实验装置,S-垂直纸面的缝光源 A-平面衍射光栅 A-透光部分宽 B-不透光部分宽 N-总缝数,三、表观现象及定性解释,1、现象,A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度 较大的亮线称为主最大，较小的称为次最大。,B、主最大位置与N无

21、关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；,C、相邻主最大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次最大；,2、定性解释,A、单缝的夫琅和费衍射花样，不随缝的上下移动而变化，若在缝 平面上再开一些相互平行且等宽的狭缝面构成平面衍射光栅，则它 们将给出与原单缝完全相同的花样并相互重叠，各最大值将在原位置 上得到加强，故强度增大。,B、由于多缝的存在且缝间距相同（即：任意相邻缝对应点在屏上同一点 叠加时，具有相同的位相差），缝间光束将发生相干叠加，形成等振 幅多光束干涉。故将出现（N-2）个次最大和（N-1）个最小值。,E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。 这种条纹通常称

22、为光谱线。,C、由于光栅由多个单缝构成，故花样中保留了单缝衍射的因素。,D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹 （外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。,三、光强分布,1、光强公式：,方法-将单缝衍射的求解方法遍及所有N 个 狭缝，再求和。（见附录2-3）,P点振幅：,P点光强：,多缝干涉,2、分析：,多缝干涉是N 束等光强的光束 的干涉(相干叠加),光栅衍射多缝干涉单缝衍射,由于光栅有周期性,只须考虑其中相邻两个缝到P点的光程差d sin。,(1)主极大(亮纹或谱线),-光栅方程,即光强是单个细缝光强的 N2倍.,相邻透光缝同一衍射角的光线的光程差：,=dsin,干涉相

23、长：,相邻两个缝到 P点的相位差为,（2）极小（暗纹）,合振幅为零,即各缝振幅矢量构成闭合多边形,(3)次极大：,在两相邻极小之间还有一个次极大， 但强度很小。,k =1,2,3, , N-1,N+1, ,相邻主极大之间有(N-1)个极小。,N=4 光束干涉图:,主极大,极小,多缝干涉的结果:,a.在两个相邻主极大之间，分布着N-1条暗条纹和N-2条次级明条纹。暗区大大增宽。,b.主极大的亮度是单缝的 N2 倍,多缝干涉的条纹间距大且窄而亮！, 衍射对干涉图样的影响：,每个缝的衍射图样是否错开？,只要透镜光心的相对位置不动,则两套条纹 的位置是完全一样的。,同时打开两缝,两束衍射光将发生干涉

24、。,I,多缝干涉光强曲线,单缝衍射光强曲线,衍射的影响：,b.出现了明纹缺级现象。, 干涉亮纹中心位置, 衍射暗纹位置,缺的干涉亮纹级次为,a.亮纹强度受到衍射的调制而变化；,主极大缺4,8级。,例. N =4， =4 的情形,光栅衍射的相对光强分布,P点的总光强为,I0单缝中央主极大光强,光栅衍射是多缝干涉受到单缝衍射调制的结果,主极大位置取定于干涉因子，强度则受限于衍射因子,例,sin2N/ sin2,(sin2N/ sin2),例2-5已知平面透射光栅狭缝的宽度 ，若以波长632.8nm的HeNe激光垂直入射在这光栅上，发现第四级缺级，会聚透镜的焦距为15m试求： (1)屏幕上第一级亮条

25、纹与第二级亮条纹的距离； (2)屏幕上所呈现的全部亮条纹数,例2-6. 已知光栅5000条/cm，缝宽。求：,(1) 光垂直入射光栅，最多有几级明纹？,(2)光以300入射角射至光栅，最多有几级明纹？,(3)若透镜焦距为20cm,第一级与第三级明纹的间距？,入射光为白光时， 不同， 不同，按波长分开形成光谱.,四、光栅光谱,主极大的半角宽:,主极大的中心到邻近极小的 角距离为它的半角宽。,k 主极大：,邻近极小：,白光光源,非连续光谱,光栅光谱：根据光栅方程，在给定亮纹级次情况下，衍射角与波长成正比。因此，复色光照射时，同一级次不同波长的衍射主极大值位置不同，从而形成的一组不同波长彼此分开的锐

26、细的彩色谱线。,光栅光谱仪：基于光栅衍射分光原理的光谱仪摄谱仪、单色仪、分光计。,光栅光谱,光栅光谱,单缝衍射,正弦光栅,硅片上离子束刻蚀的光栅（周期：440nm）,大口径全息光栅及其沟槽的部分显微照片。,用原子力显微镜获得的正弦相位光栅的浮雕轮廓。,位相型光栅,正交光栅的夫琅禾费衍射图样,正交光栅（周期：500nm）,五、闪耀光栅,透射光栅的缺点：,任何透明光栅都有一定的吸收。 不同波长的零级主峰重合，即所谓“零级无色散”，同时正好处在单元衍射因子的最大值上，对光能是极大的浪费。 光谱分析只需要其中一个序列光谱，但是透射光栅的衍射光强分散到正负各级光谱中，也是对光能的浪费。使我们观察的那级光

27、谱只能分配到少量的能量。,透射式光栅的缺点：0级主极大值条纹占有绝大部分光能量，仅有很少部分光能量分布于高级次条纹上。特别是当光栅狭缝数目很大时，高级次条纹的强度变得很小。,闪耀光栅：由一组锯齿状刻槽构成的反射式光栅。,闪耀光栅的特点：可将单槽衍射的0级与槽间干涉的0级在空间错开，从而把光能量转移并集中到所需要的某一级光谱上。,闪耀角：刻槽面法线与光栅面法线之间的夹角，以qb表示。,闪耀光栅夫琅禾费衍射的光强分布：,一个刻槽中，两端边缘光线间光程差：,位相差：,单元衍射,相邻两槽对应点光线光程差：,位相差：,多单元干涉,据惠更斯-菲涅尔原理：夫琅禾费衍射的光强度分布：,产生极大,平面反射光栅的

28、光栅方程,平面反射光栅的光栅方程,多单元干涉零级极大,出现在对光栅平面满足反射定律的方向,单元衍射零级极大,出现对槽面满足反射定律方向,单色光的某级谱线位置由光栅常数和相对光栅平面的入射角决定,光栅衍射的强度分布受单槽衍射因子调制,单槽衍射主极大方向的衍射光最强闪耀方向,对于闪耀方向,多槽干涉主极大的谱线级次,闪耀光栅的结构,照明方式,（1）沿N的方向入射,（2）沿n的方向入射,由于刻槽表面相对于光栅面法线方向夹角为qb，单槽衍射的0级极大值不再沿刻槽面法线方向，而是沿与光栅面夹角q0=2qb的反射方向。相邻刻槽表面反射的光束间的光程差变为：D=dsin(2qb)。因此，闪耀条件变为,平行光垂

29、直光栅平面入射,克服了透明光栅的单缝衍射零级和缝间干涉零级重合。,把单槽衍射零级方向变成了槽间干涉的非零级，产生高衍射效率的色散。,闪耀光栅衍射场,闪耀光栅仅有一序列光谱：,由于闪耀光栅的单槽宽度a和光栅周期d相近，使得一级闪耀波长的其他级别的主峰方向，正好落在单槽衍射的零点上，从而全部消失，仅保留了一级主峰，因此闪耀光栅仅有一列光谱。,单槽衍射的0级方向正好沿入射光方向返回。光栅衍射的0级主极大值中心位于-qb方向（与入射光线相对于光栅平面法线呈镜面对称）。相邻刻槽反射的光束在其反射方向的光程差为D=2dsinqb。对于波长为lb的单色成分，在该方向上出现相长干涉的条件是：,平行光束垂直刻槽

30、表面入射,闪耀波长： b；闪耀级次：j。,闪耀光栅的特点：单槽宽度a与刻槽间距d相差很小，故其它衍射级次（包括中央0级）都因几乎落在单槽衍射的极小值位置而形成缺级，从而将80%90%的光能量都集中到b成分的第j级谱线上。当a取值很小时，单槽衍射的中央主极大分布较宽，从而可使得位于闪耀波长附近波段的光谱强度都得到提高。,结论：满足由闪耀条件时，波长b的第j级谱线将被转移到单槽衍射的0级极大值方向，从而大大提高谱线的亮度。通过闪耀角qb的不同设计，可以使光栅适用于某一特定波段的某级光谱上。, 叠加图样：同为亮暗相间的条纹，但条纹图样的强度分布存在着均匀（干涉）和相对集中（衍射）的不同。, 物理本质：同属光波的相干叠加问题，研究