8.4 全微分ppt课件

1、第八章,多元函数微分学,第四节 全微分,一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用,一、全微分,多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而其它 自变量不变时所引起的函数变化特征.,为了研究所有自变量同时发生变化时函数的变化特征, 需引入全微分概念.,本节研究二元函数在两个自变量都有微小变化时，函数改变量的变化情况.,引例,设矩形的边长为x和y,当x和y各有增量x与y时,矩形面积的改变量S可以表示成,S=(x+x)(y+y)xy,=yx+xy+xy,当x,y很小时,面积的改变量S可近似地用其线性主部来表示,即,Syx+xy,其中yx+xy是自变量x,y的线性表达式,称其为S的线性主部,xy是比 更高阶

2、的无穷小量.,对一般的多元函数，当自变量发生变化时，可否用自变量改变量的线性主部近似表示函数的相应改变量？,定义8.4.1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义, 若函数的全增量z可以表示为,z=f (x0+x, y0+y)f (x0,y0),=Ax+By+o(),其中A, B仅与点(x0,y0)有关, 而与x, y无关, , o()是比高阶的无穷小量, 则称函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 处可微;,1.全微分的概念,并称 Ax+By 为函数 f(x,y) 在点(x0, y0)处的全微分, 记为 dz, 即,dz=Ax+By.,若z=f(x,y)在区域D上每一点都

3、可微, 则称 f 在区域D上可微.,二元函数的全微分与一元函数有相同的微分法则,即如果u(x,y), v(x,y)都可微, 则,d(uv)=dudv,d(uv)=udv+vdu,2.函数可微的充分条件与必要条件,定理8.4.1 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则该函数在点(x0,y0)处连续.,证 由于z=f(x,y)在(x0,y0)可微, 即有,z=Ax+By+o(),从而,所以,说明 z=f(x,y)在点(x0,y0)连续.,定理8.4.2 (可微的必要条件) 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,则函数在该点的偏导数 , 存在, 且,证 由于f(x,y)在点(x0

4、,y0)处可微, 由定义, 对任意x, y有,z=Ax+By+o(),若令y=0,则,两边除以x, 并令x0取极限, 有,从而 存在, 且等于A.,同理可证,由于自变量的改变量等于自变量的微分,即x=dx，y=dy, 所以函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 处的全微分记作,若函数在区域D内可微, 则对区域D内任意点 (x,y) 的全微分 记作,或,注1：对于二元函数 ,即使它的偏导数都存在，,是 的高阶无穷小, 因此函数的各偏导数存在, 仅是全微分存在的必要条件, 而非充分条件.,也不一定是 的全微分,因为此时并不能保证,的偏导数,都存在, 但可验证,在点(0,0)处不可微.,函数,

5、实际上，,所以 不是 的高阶无穷小, 即z=f(x,y) 在点(0,0)处不可微.,定理8.4.3 (可微的充分条件) 若函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 的某邻域内偏导数存在且连续, 则该函数在点(x0,y0)处可微.,注2：此定理并未说明函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x0,y0)处不连续, 就一定有函数 z=f(x,y) 在点(x0,y0)处不可微.,在点(0,0)处可微，但偏导数却不连续.,函数,解,首先证明其可微性. 因为,而,所以函数f(x,y)在点(0,0)处可微.,注3：由以上三个定理, 可以知道连续、偏导数存在、可微三者 之间存在以下关系：,偏导数存在且连

6、续,可微,连续,偏导数都存在,由上面三者关系,可以知道求全微分的方法： 先求出所有偏导函数； 判断偏导函数的连续性； 写出全微分的表示式.,一般初等函数的偏导函数仍是初等函数,在其定义区域内总连续,故可不必写出.,解,计算 z=exy 在点(2,1)处的全微分.,所求全微分,计算z=arctan (x/y) 的全微分.,所求全微分,解,求三元函数 的全微分.,所求全微分,解,二、全微分在近似计算中的应用,若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,即,当|x|,|y|充分小时,或,解,求(0.98)2.01的近似值.,令z=f(x,y)=xy,(x0,y0)=(1,2),x=0.02,y=0.01,又 f(1,2)=1, 所以由近似公式得,解,某厂生产甲、乙两种产品, 当甲的产量为x公斤, 乙的产量为y公斤时, 总成本（单位：元）为,问题要求全增量C, 这里可用微分求其近似.,取x=900, y=400, x=9,y=-8, 则,假设现在月产量为甲900公斤, 乙400公斤, 试求当甲的产量增加1%, 而乙的产量减少2%时，总成本将如何变化？,全微分在经济管理理论中也有许多应用. 如在生产活动中, Q表示产量,