光纤技术基础(光纤模式理论)

1、2020/7/23,1,光纤技术基础,2020/7/23,2,第四章 光纤模式理论,1.阶跃折射率光纤中的场模式,2.弱导光纤中的线偏振模,3.光波导中模式的普遍性质,4.波导横向非均匀性的微扰法处理,5.纵向非均匀性与模式耦合方程,2020/7/23,3,波动光学光波导理论分析逻辑过程,Maxwell方程,边界条件,波动方程,场的解,边界条件,特征方程,场的解,传输常数,2020/7/23,4,阶跃型折射率剖面结构,Step index,一、阶跃折射率光纤中的场模式,2020/7/23,5,直角坐标（x,y,z）,柱坐标（r,z）,矢量运算,2020/7/23,6,但是不能直接展开成分量形式

2、,非直角坐标下拉普拉斯算子（标量）：,非直角坐标矢量拉普拉斯算子：用以下公式计算,2020/7/23,7,柱坐标下矢量拉普拉斯算子运算：,2020/7/23,8,j=1, 2 芯层，包层 （r,z）为柱坐标系,波动方程,Helmholtz,2020/7/23,9,矢量波动方程 六个场分量,两个分量独立,1.纵向均匀光波导中，由于麦克斯韦方程的限制，只有两个分量是独立的,2.柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，因此求纵场分布较为方便。,纵横关系,2020/7/23,10,纵横关系,纵向均匀、无损、z向传输,Maxwell方程组旋度公式,2020/7/23,11,E,H的四个横向分量，都可以用E,

3、H的两个纵向分量表示,纵向均匀光波导内的电磁场只有两个独立分量 所有横向场分量均可由纵向场分量得出 纵向均匀光波导中不存在TEM 波,2020/7/23,12,所以只要求解纵向场EZ,HZ,2020/7/23,13,对称性的波动方程,光纤的圆对称性,电磁场沿方向为驻波解,可用分离变量法求解,2020/7/23,14,分离变量法,2020/7/23,15,Bessel方程的得出,2020/7/23,16,对称性的波动方程,光纤的圆对称性,电磁场沿方向为驻波解,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,可由分离变量法得出,2020/7/23,17,3个重要参数,U,W,V,2020/7/2

4、3,18,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,Bessel 方程,2020/7/23,19,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,Bessel方程的解,两个线性独立解是m阶的Bessel函数Jm(x)和m阶的Neumann函数Nm(x)，方程的通解为：,两个线性独立解是m阶的虚综量Bessel函数Im(x)和m阶的虚综量Hankel数Km(x)，方程的通解为：,2020/7/23,20,贝塞尔方程的解,Nm(0)=,Im( )=,芯层,包层,Bessel函数,虚宗量Bessel函数,Neumann函数,虚宗量Neuma

5、nn函数,2020/7/23,21,贝塞尔函数性质,J函数,2020/7/23,22,贝塞尔函数性质,N函数,2020/7/23,23,贝塞尔函数性质,I函数,2020/7/23,24,贝塞尔函数性质,K函数,2020/7/23,25,贝塞尔函数递推关系,2020/7/23,26,导模条件,泄漏模和辐射模,横向约束,横向辐射,2020/7/23,27,电磁场的纵向分量,2020/7/23,28,电磁场的横向分量,返回,2020/7/23,29,E |r=a H |r=a,特征方程,光纤中电磁场模式的特征方程,以上两式联立,方向分量连续,2020/7/23,30,不同的模式,m = 0,E0=0

6、, 即Ez=0, TE模,H0=0,即Hz=0, TM模,TE模,TM模,2020/7/23,31,混合模,特征方程,2020/7/23,32,2020/7/23,33,模式分类：HEmn和EHmn,特征方程,2020/7/23,34,模式分类：HEmn和EHmn,特征方程,取“”号时,EHmn,2020/7/23,35,模式分类：HEmn和EHmn,特征方程,取“”号时，,HEmn,2020/7/23,36,HE模*: (H0E0 )*,EH模* ：(E0H0)*,命名规则： 远离截止（W1, U0）时的纵向场分量大小,2020/7/23,37,光纤中的模式,特征方程,传输常数 -V 截止特

7、性 .,m, V,n个不同的,TE0n ，TM0n， HEmn， EHmn,传输特性,2020/7/23,38,光纤中的模式命名,模式的命名 m0； m0;,TE0n模: 由特征方程 得到 的第n个解,TM0n模：由特征方程 得到得到 的第n个解,EHmn模 由相应的特征方程 得到 的第n个解,HEmn模 由相应的特征方程 得到 的第n个解,2020/7/23,39,参量的意义模式截止,光纤中电磁波求解归结到求解电磁场纵向分量,m阶Bessel方程 m阶虚宗量Bessel方程,2020/7/23,40,模式截止,得到场分布 k0n1k0n2 时 U，W 均为实数 当解某特征方程得到的某个值超出

8、上述范围时（ k0n2 ）会使得 U，W 的取值性质发生变化（由正实数变为“0”甚至虚数）进而使得与此特征方程的对应的导模不能存在，此时称该模式截止。,2020/7/23,41,模式截止,包层内衰减场的渐进形式：Km(Wr/a) exp(-Wr/a)，当W0 时，光纤将失去对该模式的限制作用，称该模式近截止。在近截止条件下U=Vc 利用Km(W) 在 W0 时的小综量近似，可以得到近截止情况下各模式的特征方程，进而得到各模式的归一化截止频率Vc,2020/7/23,42,导模条件,辐射模,横向约束,横向辐射,2020/7/23,43,V-neff曲线 (-V特性曲线),导模条件： k0n2 导

9、模有效折射率; n1neffn2 当V的取值使得某个模式的值不能满足导模条件的时候该模式截止，刚好满足导模条件时的V为该模式的归一化截止频率。 V取某个值时会有一定数量的模式的值可以满足导模条件，即为该情况下光纤内的导模的模式数量。 仅有一个模式的值可以满足导模条件时为单模传输,neff=/k0:有效折射率,2020/7/23,44,矢量模特性曲线 V-neff曲线,1.每一条曲线代表一个模式 2.当光纤的结构参数和工作频率给定时，光纤的归一化频率一定，此时，各传导模式具有特定的传输常数。 3.V越大，光纤中支持的导模数量越多。 4. V-neff曲线与neff= n2的交点对应V=Vc（归一

10、化截止频率） 5.单模传输条件 对应TM01,TE01模式的归一化截止频率 6.HE11模式的归一化截止频率为“0”称HE11模为基模，不截止。,2020/7/23,45,矢量模的截止特性截止频率计算,特征方程,归一化截止频率,Km(W)的小宗量近似：,V=U2+W2=k0a n,2020/7/23,46,TE模,TM模,特征方程,W 0 U Vc,截止时的特征方程,截止频率,TE0n,TM0n的截止频率,最小值TE01,TM01,2020/7/23,47,EHmn的截止频率,特征方程,W 0 U Vc,截止时的特征方程,截止频率,最小值EH11,2020/7/23,48,HE1n的截止频率,

11、特征方程,W 0 U Vc,截止时的特征方程,截止频率,最小值HE11,!,2020/7/23,49,HEmn的截止频率(m1),特征方程,W 0 U Vc,截止时的特征方程,2020/7/23,50,单模条件,HE11模具有最低截止频率，理论上不会截止，是光纤中的基模。,TE01 和TM01模具有次低截止频率Vc=2.40483，当光纤工作频率满足V 2.40483时，光纤中只存在HE11模，称为光纤的单模工作条件.,当n2n1时，HE21模的归一化截止频率趋近于TE01 和TM01模的截止频率Vc=2.40483，三个模式发生简并。,2020/7/23,51,矢量模的横向场分布,横向场分量

12、,横向场分布,功率密度分布,电力线方程,2020/7/23,52,横向场分布,电力线与磁力线,（实线：电力线，虚线：磁力线） cos (m ) , sin(m),2020/7/23,53,矢量模的横向光功率密度,低阶模横向光功率密度/光强分布,2020/7/23,54,场图：电力线与磁力线,实线：电力线 虚线：磁力线,2020/7/23,55,作业题,设计一种阶跃折射率分布的圆光纤，芯子直径10微米，为使该光纤对1550nm的输入光其TM02模刚好截止应该使得该光纤的相对折射率差为多少？ 此时TM、TE模各有几个导模？ TM 模的特征方程，和近截止时特征方程见课本公式(3.25),(3.30)

13、 贝塞尔函数 J0(x)=0 的根为x=2.405, 5.520, 8.654; J1(x)=0 的根为x= 0, 3.832, 7.016;,2020/7/23,56,第四章 光纤模式理论,1.阶跃折射率光纤中的场模式,2.弱导光纤中的线偏振模,3.光波导中模式的普遍性质,4.波导横向非均匀性的微扰法处理,5.纵向非均匀性与模式耦合方程,2020/7/23,57,二、弱导光纤中的线偏振模,纵向场分量,横向场分量,横向分量大，纵向分量小：,矢量法的困难,横向分量形式复杂 除HE11模外，各传导模式的横向场分量在光纤横截面上 具有非常复杂的偏振特性，分析起来困难。,横向分量,导模特性,相对折射率

14、差,2020/7/23,58,弱导光纤中的线偏振模,为简化运算以及便于分析偏振特性，我们试图在光纤中寻找一种运算简单并具有明显偏振特性的“模式”（且该“模式”在传输过程中能够稳定存在）。 事实证明在弱导近似的情况下存在这种满足以上特点的“模式”，称之为线偏振模。 这种“模式”其实是弱导近似情况下简并的某些模式的某种组合。 我们实际应用的光纤就是弱导光纤，其中有许多模式处在简并状态，这些简并状态的模式组合在一起具有特殊性质。,2020/7/23,59,思路：,1，先假定存在“线偏振模”, 并直接给出假想的Ey的表达式； 2，然后利用纵、横分量的关系和弱导近似由Ey得到电磁场的其他分量； 由得到的

15、纵向分量可以看出实际上它是矢量模的组合。,2020/7/23,60,我们以 为研究对象。,Gloge等人提出标量近似法，它是建立在线偏振模的基础上的。 如果将模式场按照直角坐标系分解，那么，各分量就具有固定的线偏振方向。可以证明，场可以分为两组,线偏振模,2020/7/23,61,线偏振模横场,假设存在具有偏振特性的线偏振模：,我们以 为研究对象。,2020/7/23,62,我们以 为研究对象。,对于“线偏振模”由Ey推导其他分量,2020/7/23,63,弱导近似,弱导近似： 0， n1 n2,光纤芯子和包层的折射率非常接近，对光波导的分析会大为简化，这种光纤称为弱导光纤。,2020/7/2

16、3,64,弱导近似,1）弱导近似： 芯子与包层折射率相差不大,2)模式场的二阶变化率趋于零,2020/7/23,65,弱导近似下的各分量关系,在由横向Ey分量推导其他分量的时候使用了弱导近似（忽略2阶以上变化率）,2020/7/23,66,有关书上3.42 式的得出*,2020/7/23,67,弱导近似下得到的其他分量,所以由此得到的Ez,Hz。是弱导近似情况下的近似解。 换句话说以此得到的近似的Ez,Hz如果严格按纵横分量的关系是不能推导回到线偏振模Ey的。它们只有弱导近似条件下才可以互相导出。,2020/7/23,68,纵向分量与特征方程,从Ey可以得到电磁场所有分量以及特征方程（近似情况

17、下）,2020/7/23,69,Ey, Hx,线偏振模纵向分量,根据纵横关系可以得到纵向场,2020/7/23,70,纵向分量与特征方程,切向分量连续 z分量,特征方程,二式等价 LPmn模,书上p38: 3.49, 3.50 有误,2020/7/23,71,两式等价,2020/7/23,72,“线偏振模”的构成,由Ez的表达式我们可以看出“线偏振模”由两个矢量模构成。,2020/7/23,73,矢量模特征方程的弱导近似,弱导近似,2020/7/23,74,EHmn，TE0n，TM0n,HEmn,非弱导形式,非弱导形式,矢量模在弱导近似下的特征方程,2020/7/23,75,标量模的命名： L

18、Pmn 模,特征方程的第n个解 注意和矢量模命名方法的区别，(矢量模先求纵向分量Ez Hz),2020/7/23,76,矢量模与标量模的对应关系,LPmn模： EHm-1 n , HEm+1n,2020/7/23,77,LPmn模,m m-1 EHm-1,n,m m+1 HEm+1,n,HEmn模,TE0n, TM0n,m =1,LP1n,HE2n,m = 0,HE1n,LP0n,m 1,矢量模与标量模的对应关系,EHmn(m0) ,TE0n，TM0n (m=0)模,2020/7/23,78,标量模 = 矢量模的迭加,表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率,LP1n 对应3种矢

19、量模,2020/7/23,79,场的迭加,2020/7/23,80,场的迭加,LP模 : Ey, Ex ; sin(m),cos(m) 矢量模 ：sin(m) , cos(m),2020/7/23,81,横向场分布,矢量模,（实线：电力线，虚线：磁力线） cos (m ) , sin(m),2020/7/23,82,弱导光纤中模式的简并性,在 n1 n2 的弱导近似条件下，矢量模可以分为一系列模式组，每一组内的矢量模具有完全相同的特征方程，因而从其传输特性来看，这些模式是简并的，它们的传输相速度相同，可以证明，每一个线偏振模均由一组简并的矢量模叠加而成。,2020/7/23,83,线偏振模是由

20、简并的矢量模构成,既然称线偏振模为“模式”，那么在传输过程中要基本能够稳定存在才有实用价值； 线偏振模是由某些矢量模构成，弱导近似下构成线偏振模的这些矢量模式简并所以有统一的特征方程因此有同样的传输常数，所以它们的组合就可以在传输过程中稳定存在； 线偏振模并非光纤的真正的模，而是由某些简并的矢量模构成，实际上这些简并模的传输速度有微小的差别，当沿z方向传输的时候它们之间的相位会发生变化，所以叠加后的场沿光纤传输方向会出现周期性变化但通常情况下并不影响我们分析弱导光纤*。 弱导近似下矢量模式简并是弱导圆介质波导线偏振模存在的基础；,2020/7/23,84,标量模,圆光纤中电磁波的纵向分量满足标

21、量波动方程（亥姆霍兹方程），而在弱导近似的情况下，电磁场各个分量都和Ez存在着特定的制约关系，使得其他分量也满足标量波动方程，这相当于将电磁场看成了“标量”，因而线偏振模又称为标量模。,2020/7/23,85,如何理解弱导光纤中的线偏振模,为简化运算以及便于分析偏振特性，我们试图在光纤中寻找一种运算简单并具有明显偏振特性的“模式”（且该“模式”在传输过程中能够稳定存在）。 事实证明在弱导近似的情况下存在这种满足以上特点的“模式”，称之为线偏振模。 这种“模式”其实是弱导近似情况下简并的某些模式的某种组合。,2020/7/23,86,弱导光纤中横向、纵向场的特点,光纤中传输的电磁场非常接近于横

22、电磁波（TEM波）或均匀平面波。因此，电磁波在弱导光纤中传输时其横向场基本上沿同一方向极化，并保持不变。 在弱导近似的条件下，光纤中支持线偏振模LP（Linearly Polarized Mode),2020/7/23,87,弱导近似下纵向分量和横向分量的关系,2020/7/23,88,线偏振模的截止特性,W 0,模式截止,2020/7/23,89,线偏振模的截止特性,W 0,截止特性,LP0n模,LPmn模,2020/7/23,90,单模条件,LP01模的归一化截止频率为10， 10 = 0，不截止！,LP11模的归一化截止频率为01， 01 = 2.4048,V 2.4048,只有LP01

23、模传输基模,单模条件,矢量模结论,2020/7/23,91,b：归一化传输常数,接近截止时，W 0，b 0 远离截止时，U 0，b 1,光纤结构+工作波长 V bV,归一化传输常数,2020/7/23,92,bV曲线,bV曲线,2020/7/23,93,b-V曲线与-V曲线,简并,-V曲线,bV曲线,2020/7/23,94,光纤中的功率流,纵向功率流密度Sz,芯层,包层,2020/7/23,95,光纤芯层中传输的光功率与光纤中传输的总功率之比,功率限制因子：反映光纤的导光能力或对光的约束能力,功率限制因子,定义,2020/7/23,96,V特性曲线,2020/7/23,97,辐射模和泄漏模,

24、截止条件下，离散的、复数，非正常波形。,传导模,离散，每一个导模对应一个，满足横向谐振条件。,辐射模,连续，包层中出现辐射形式的解，产生横向辐射 不满足全反射条件，不满足任何横向谐振条件。,泄漏模,2020/7/23,98,第四章 光纤模式理论,阶跃折射率光纤中的场模式 弱导光纤中的线偏振模 光波导中模式的普遍性质 波导横向非均匀性的微扰法处理 纵向非均匀性与模式耦合方程,复习,2020/7/23,99,波动光学 光波导理论逻辑过程,Maxwell方程,边界条件,边界条件,场的解,复习,2020/7/23,100,复习,光纤模式理论,矢量法,标量法,1. 严格解法,近似解法 前提：弱导近似n1

25、 = n2,特点：横向分量大，纵向分量小,近似接近TEM波，均匀平面波,2020/7/23,101,矢量法,标量法,复习,2. 解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性,易于分析，结果简单,Helmholtz方程,2020/7/23,102,矢量法,标量法,复习,4.,Ez, Hz,Et=eyEy Ht =exHx,2020/7/23,103,矢量法,标量法,复习,5.,2020/7/23,104,矢量法特征方程,复习,6.,方向分量连续 E |r=a H |r=a,特征方程,2020/7/23,105,标量法特征方程,切向分量连续 z分量,特征方程,二式等价,复习,2020/7/23,106,矢

26、量法模式分类,复习,TE0n模：E0=0, m=0,TM0n模: H0=0, m=0,HEmn模：,2020/7/23,107,标量法模式构造,复习,标量模 = 矢量模的迭加,2020/7/23,108,矢量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,Km(W)的小宗量近似：,复习,2020/7/23,109,矢量模的截止特性,模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值,单模条件：,复习,2020/7/23,110,-V特性曲线,复习,基模： HE11,2020/7/23,111,W 0,截止特性,标量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率,V 2

27、.4048,单模条件,复习,2020/7/23,112,bV曲线,bV曲线,只有LP01模传输基模,复习,b：归一化传输常数,2020/7/23,113,第四章 光纤模式理论,1.阶跃折射率光纤中的场模式,2.弱导光纤中的线偏振模,3.光波导中模式的普遍性质,4.波导横向非均匀性的微扰法处理,5.纵向非均匀性与模式耦合方程,2020/7/23,114,模式的完备性和光场展开,任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加,完备性,光波导中的模式能完全反映其中的电磁场 而且模式之间互相独立，正交！,光场展开,2020/7/23,115,n不同模式,P=+,-

28、正反向传输的模式,辐射模在其连续谱上的积分,各模式的激发系数,模式的完备性和光场展开,2020/7/23,116,正交性,任意纵向均匀无损光波导,积分遍及整个波导横截面,结论：不同模式之间彼此正交。 导模与辐射模之间、辐射模之间均正交,2020/7/23,117,正交性,(m, q）&（n, p）,m,n 模式序号 q,p 模式传播方向（+，-）,2020/7/23,118,正交性,任意纵向均匀无损光波导,结论：正反向传输的同一模式之间也彼此正交。,2020/7/23,119,模式的正交性表明：,在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的,各模式之间不发生能量的交换和耦合。,沿正反方向传输的

29、同一个模式也如此！,2020/7/23,120,LP模的正交性,2020/7/23,121,任意模式正交性的证明,纵向均匀的任意两个模式：（m, q）&（n, p）,Maxwell方程,*,2020/7/23,122,波导横截面S积分 二维散度定理,S的边界,l的外法线方向,S足够大边界上的电磁场可忽略,m n或 pq,0,m = n且p = q,(n,p)功率的4倍,任意模式正交性的证明,2020/7/23,123,二维散度定理：,2020/7/23,124,LP模正交性的证明,标量波动方程,*,波导横截面S积分 二维散度定理,m n或 pq,0,m = n且p = q,(n,p)功率的2倍,任意两个线偏振模,2020/7/23,125,2,弱导光波导中，任意线偏振模场n，满足标量波动方程,波导横截面S积分 二维散度定理,0,模式传输常数的平方可以 由相应的模式场分布得到,2020/7/23,126,2的稳定性,二维散度定理,0,20