第九章 时间序列分析.ppt

1、1,第九章,时间序列分析,2,第一节时间序列基础预测知识,一 线性最小二乘法（Linear Least Squares Prediction, LLS) 假设X和Y是两个散点分布的随机变量，它们具有某种联合分布。它们的期望、方差、协方差分别是： X x E Y = y,3,X x X x E Y- y Y- y = R S S Q,4,其中，X的期望E(X)= x , Y的期望E(Y)= y , X的方差E(X- x)2=R Y的方差E(Y- y) 2 =Q COV(XY)=E(X- x)(Y- y)=S,5,现假设我们可以观测到X的一组值，如何预测Y呢？即如何利用X推知Y，假设只知道它们的期

2、望、方差和协方差。我们可以利用这些已知条件求出Y的线性最小二乘估计值。,6,假设这一线性形式为： Yhat=a+b(X- x) 我们的任务是在使平均平方误差（均方误）最小的情况下求出a和b的值。 MSE=EY-Yhat2 =EY-a-b(x- x) 2 =E(Y- y)-(a- y)-b(X- x) 2,7,=E(Y- y)2+E(a- y) 2 +b 2 E(X- x) 2 -2E(Y- y)(a- y)+2bE(X- x)(a- y) -2bE(Y- y)(X- x) =Q+ (a- y) 2 + b 2 R-2bS 分别对a和b求导，令其为零 2（ a- y ）=0,所以a= y, 2b

3、R-2S=0, b=S/R=SR-1 所以，Yhat= y + SR-1(X- x) 也可以写成： Yhat= y + cov(X,Y)/var(x)*(X- x) (X- x)的系数表明我们所估计Y值受观测值X影响程度的大小，它和X的方差成反比，X、Y的协方差成正比。,8,二，线性最小二乘估计的特点 1，Y的估计值和Y的期望相同。 证明： E（Yhat）=Ey + SR-1(X- x) = y,9,2,线性转换 如C是任一常数，则CY的LLS估计是CYhat. 证明： 令Z=CY Yhat=a+b(X- x) 根据定义： Zhat= z +cov(X,Z)/var(X) *(X- x),10

4、,z =E(CY)=C y Cov(X,Z)=E(X- x)(Z- z) = E(X- x)(CY- C y ) =C E(X- x)(Y- y ) =C cov(X,Y),11,将结果代入定义： Zhat= z +cov(X,Z)/var(X) *(X- x) = C y + C cov(X,Y)/ var(X) *(X- x) =Cy + cov(X,Y)/ var(X) *(X- x) =CYhat,12,3，线性组合 Y1、Y2的LLS估计分别是Y1hat Y2hat.则Y1+Y2的LLS估计为Y1hat +Y2hat. 证明： 已知： Y1hat= y1 +S1R-1(X- x) Y

5、2hat= y2 +S2R-1(X- x),13,根据定义： Zhat= z+cov(XZ)/var(X)(X- x) z =E(Y1+ Y2)= y1 + y2 , cov(XZ)=E(X- x)(Z- z) =E (X- x)(Y1+ Y2 - y1 - y2 ) = E (X- x)(Y1 - y1 )+ E (X- x)(Y2 - y2 ) =cov(X, Y1)+cov(X, Y2),14,Zhat= z+cov(XZ)/var(X)(X- x) = y1 + y2 + cov(X, Y1)+cov(X, Y2)/var(X) (X- x) = Y1hat+ Y2hat,15,4,

6、MSE(Yhat)=E(Y-Yhat)2 =EY-y -SR-1(X- x) 2 =E(Y-y ) 2 -2 SR-1E(X- x) (Y-y ) +S 2 R-2 E(X- x) 2 =Q-S 2R -1,16,第二节时间序列基本概念,一，平稳性定义 任何一个时间序列都可以被看作是由随机过程产生的结果。如果一个随机过程所产生的时间序列均值和方差在任何时间过程上都是常数，并且任何两个时期之间的协方差仅依赖于这两个时期的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称该时间序列是平稳的（Stationary)。,17,我们可以把上述的描述表达成下式: 如果时间序列Yt具有下列性质： 1，E(

7、Yt)=, 2, var(Yt)= 2, 3, cov(Yt Y t+k )=E(Yt- )(Yt+k- )=rk,18,二，自协方差函数和自相关函数 如果Yt的均值为0，那么 rk =E(Yt Y t+k ) 被称为自协方差函数 定义： k rk / r0, 为自相关函数 r0= E(Yt Y t) =var(Y t)= 2,19,三，滞后算子(Lag operator) 为了使计算简单，引入滞后算子的概念。定义L Y t= Y t-1, L2Yt=Y t-2,. LsYt=Y t-s , 例如Y t 1.5 Y t-1 0.6 Y t-2 = （11.5L+0.6L2) Yt,20,第三节

8、自回归模型(AR),一，AR模型的定义 如果时间序列Y t可以表示为它先前的值和一个误差项的线性函数，称此模型为自回归模型(Autoregressive Models,记做AR（p) )。 一般的表达式是： Y t 1 Y t-1 + 2 Y t-2 +. p Y t-p + t,21, t为白噪声序列，它满足以下条件： 1, E( t)=0, 2, E( t s) = 2 t= s 0 t s 3, E( t Y t-i )=0 可以进一步假设误差项服从于正态分布，期望是0，方差是固定的常数 2 。 条件3表明t时刻的误差 t与Y t的过去值无关。 同时为简单起见，假设E(Y t)=0,该假

9、设一直存在，除非特别说明。,22,利用滞后算子，可以把AR(p)表示成： Y t 1 L Y t+ 2 L2 Y t +. p L p Y t + t, (1- 1 L - 2 L2 - - p L p ) Y t = t , 令（L ） (1- 1 L - 2 L2 - - p L p ) （L ）Y t = t , 或 Y t = （L ）1 t AR（1)模型： Y t 0.5 Y t-1 + t ， 可以写成(1-0.5L) Y t = t , 或 Y t = (1-0.5L) 1 t Y t 0.6 Y t-1 + 0.4Y t-2 t ， 可以写成： (1-0.6 L -0.4 L

10、2) Y t = t ，,23,二，AR（1）平稳的必要条件 Y t Y t-1 + t 对上式两边平方再取期望 E(Y t 2)= 2 E(Y t -12)+E( t 2)+2 E(Y t-1 t) = 2 E(Y t -12)+ 2 如果Y t序列是平稳的，则在任何时候的方差是相同的 ，所以 E(Y t 2)=E(Y t -12) y 2,24, y 2 = 2 /（1- 2 ）, 因为 y 2是非负的，所以 2 /1- 2 0， 从而就有| |1, 因此| |1是AR（1）模型平稳的必要条件。,25,三，AR模型的自相关函数 1，AR（1）的自相关函数 Y t Y t-1 + t 其自协

11、方差函数为： r1 cov(Y t Y t-1 )=E(Y t Y t-1 ) =E(Y t-1 + t) Y t-1 = E(Y t -12)= r0 , r2=cov(Y t Y t-2 )=E(Y t Y t-2) = E(Y t-1 + t) Y t-2 = E(Y t -1 Y t-2 )= r1 = 2 r0, r3=cov(Y t Y t-3 )=E(Y t Y t-3) = E(Y t-1 + t) Y t-3 = E(Y t -1 Y t-3 )= r2 = 3r0,26,rk= kr0, 所以，根据自协方差函数，可以计算出自相关函数为： k rk / r0 k ， 如果Y

12、t是平稳的， | |1，当k趋于无穷大时， k 趋于0，这种现象被称为拖尾,27,平稳的一阶自回归的自相关图,28,3， AR（2）的自相关函数 Y t 1 Y t-1 + 2 Y t-2 t ， 自协方差为： r1 cov(Y t Y t-1 )=E(Y t Y t-1 ) E( 1 Y t-1 + 2 Y t-2 t ) Y t-1 = 1 r0 + 2 r1, r2 cov(Y t Y t-2)=E(Y t Y t-2 ) E( 1 Y t-1 + 2 Y t-2 t ) Y t-2 = 1 r1 + 2 r0,29,r3 cov(Y t Y t-3)=E(Y t Y t-3 ) E(

13、1 Y t-1 + 2 Y t-2 t ) Y t-3 = 1 r2 + 2 r1, r4cov(Y t Y t-4 )=E(Y t Y t-4 ) E( 1 Y t-1 + 2 Y t-2 t ) Y t-4 = 1 r3 + 2 r2,30,rk cov(Y t Y t-k )=E(Y t Y t-k ) E( 1 Y t-1 + 2 Y t-2 t ) Y t-k = 1 rk-1 + 2 rk-2, 所以自相关函数 k 1 k-1 + 2 k-2, (k0) 当k=1,2时 1 1 + 2 1, 2 1 1 + 2, 1 1 /（ 1- 2 ）, 2 1 2 /（ 1- 2 ）+ 2

14、,31,例题,求AR（2): Y t 0.6 Y t-1 - 0.2Y t-2 t ，自相关系数（k=0,1,2) 可以按照上面推导的公式，直接计算。 1 1 / 1- 2 0.6/1-(-0.2) =0.6/1.2=0.5 2 1 2 / 1- 2 + 2 =0.36/1.2-0.2=0.1 也可以按照定义来计算,32,r1 cov(Y t Y t-1 )=E(Y t Y t-1 ) E(0.6 Y t-1 - 0.2Y t-2 t ) Y t-1 = 0.6 r0 0.2 r1 r2cov(Y t Y t-2 )=E(Y t Y t-2) E(0.6 Y t-1 - 0.2Y t-2 t

15、) Y t-2 =0.6 r1 0.2 r0 1 1 + 2 1, 2 1 1 + 2, 所以自相关函数 k 1 k-1 + 2 k-2, (k0),33,也可以得到相同的结果。 3 0.6 2 -0.2 1 0.6*0.1-0.2*0.50.06-0.1-0.04 4 0.6 3 -0.2 2， 0.6*（-0.04）-0.2*0.1-0.024-0.02 -0.044,34,AR(p)自协方差函数和自相关函数 Y t 1 Y t-1 + 2 Y t-2 +. p Y t-p + t r1= 1 r 0 + 2 r 1 +. p r p-1 r2= 1 r 1 + 2 r 0 +. p r

16、p-2 . rk= 1 r k-1 + 2 r k-2 +. p r k-p,35,1 1 + 2 1+ p -1 2 1 1 + 2+ p 2 k 1 k-1 + k-2+ p k-p 上述方程组被称为Yule-Walker 方程。p阶的Yule-Walker 方程可以用矩阵形式表达 1 1 1 -1 1 2 1 1 2 2 . = k -1 2 1 p,36,四，AR（p）模型的参数估计 Y t 1 Y t-1 + 2 Y t-2 +. p Y t-p + t 根据样本观测值,可以利用最小二乘法估计模型,得到所有参数 1 2 . p的估计值。,37,也可以利用Yule-Walker 方程，

17、以样本自相关函数代替总体自相关函数，也可以估计出所有的参数。 rk =E(Yt Y t+k ) 为总体自协方差函数 rk hat=1/n( Yt -Ybar)(Y t+k - Ybar) r0= E(Yt Y t) =var(Y t) r0hat = 1/n( Yt -Ybar)2 k rk / r0, 为总体自相关函数 khat= rk hat/ r0hat,38,我们以AR（1）和AR（2）为例 Y t 1 Y t-1 + t 1 hat= 1 hat= r1hat/ r0hat 2 = r0hat - 1 r1hat = r0hat(1- 1 hat2),39,Y t 1 Y t-1 +

18、 2 Y t-2 + t 1hat= 1 hat+ 2 hat 1 hat 2hat= 1 hat 1 hat + 2 hat 可以求出： 1 hat=（ 1 hat- 1 hat 2hat）/（ 1- 1 hat2 ） 2 hat=（2hat- 1 hat2 ）/（ 1- 1 hat2 ） 2 = r0hat（1- 1 hat 1 hat - 2 hat 2hat ）,40,第四节 移动平均模型,一，移动平均模型（Moving Average models, MA(q) )定义 如果时间序列Y t是现在和过去误差的线性组合，即 Y t t 1 t 1 2 t 2 q t-q 则上式为Y t的

19、移动平均模型，记做MA(q),41,如果用滞后算子表示： Y t （1 1 L- 2 L2-. q Lq) t , = (L) t , t = (L)-1 Y t,42,二，MA模型的自协方差函数和自相关函数 r0 E(Y t 2) =E( t 1 t 1 2 t 2 q t-q ) 2, = 2 (1+ 1 2 + 2 2 + q 2) rk E( t 1 t 1 2 t 2 q t-q ) ( t-k 1 t k-1 2 t k-2 q tk-q ) = 2 ( k+ 1 k+1 + q-k q) 1 k q 0 kq,43, k = ( k+ 1 k+1 + q-k q)/(1+ 1 2

20、 + 2 2 + q 2) 1 k q 0 kq 从上式可以看出，MA序列自相关函数序列的前q项是非零的，q+1项以后是零，我们称其为截尾。,44,我们现以MA(1）和MA(2)模型为例 1， Y t t t 1 r0 E(Y t 2)E( t t 1 ) 2 = 2 (1+ 2 ) r1 E(Y t Y t-1)= E( t t 1 ) ( t-1 t 2 ) =- 2 r2 E(Y t Y t-2)= E( t t 1 ) ( t-2 t 3 ) =0,45, 0 =1 1 = - /(1+ 2 ) k=0 (k=2 3.) 所以对于MA(1)模型而言，k1之后自相关系数就是零了。,46,

21、2 MA(2)模型 Y t t 1 t 1 2 t 2 r0 E(Y t 2)E( t t 1 2 t 2) 2 2 (1+ 1 2 + 2 2 ） r1 E(Y t Y t-1)= E( t 1 t 1 2 t 2 ) ( t-1 1 t 2 2 t 3) (- 1 1 2 ) 2,47,r2 E(Y t Y t-2)= E( t 1 t 1 2 t 2 ) ( t-2 1 t 3 2 t 4) 2 2 r3E(Y t Y t-3)= E( t 1 t 1 2 t 2 ) ( t-3 1 t 4 2 t 5)0,48, 0 =1 1 =（- 1 1 2 ）/(1+ 1 2 + 2 2 ) 2

22、 = 2 /(1+ 1 2 + 2 2 ) k=0 (k=3 4.) MA(2)从k2之后自相关系数就为零了。 所以根据前面的推导，MA（q）模型从kq之后自相关系数就是零了。,49,三 MA模型的可逆性 对于MA模型而言，我们关注 的是它是否是可逆的。 所谓可逆指的是MA（1)转换成自回归模型,50,Y t t t 1 或 t Y t + t 1 相应地 t 1 Y t1 + t 2 t Y t + t 1 Y t + （Y t1 + t 2） Y t + Y t1 2 t 2 重复迭代下去，,51, t Y t +j Y tj j+1 t-j-1 当 | |1时，上式为： t Y t +j

23、 Y tj Y t t j Y tj （1) (1)式被称为MA（1)的逆转形式，也可以直接用模型推导出同样的结果。,52,而这种逆转也是有实际意义的。表明Y t可以用Y t的滞后项的函数来表示。 序列Y t的历史值虽然对现在的值有影响，但是随着时间的推移，影响越来越小。 如果| |1地话，表明时间越滞后，对今天的影响越大，这是不合常理的。,53,三 MA模型估计问题 2，线性迭代法,54,rk = 2 (1+ 1 2 + 2 2 + q 2) k=0 2 ( k+ 1 k+1 + q-k q) 1 k q 上式是有q+1个参数的非线性方程组。可以有不同的求解方法。 1，直接求解法,55,当q

24、=1时，即一阶的移动平均模型。 我们可以得到： r0hat= 2 (1+ 1 2 ) r1hat = - 1 2 1 = -r1hat / 2 将 1代入 r0hat= 2 (1+ 1 2 )= 2 1+ （-r1hat / 2 ） 2,56,化简得到： 4 - r0hat 2 + r1hat2=0 2 hat= r0hat + r0hat2-4 r1hat2 /2 = r0hat1 + 1-4 1 hat2 /2 1 hat= -r1hat / 2 = -r1hat /r0hat1 + 1-4 1 hat2 /2 =-2 1 hat / 1 + 1-4 1 hat2 ,57,上述参数估计有两

25、个解，可以根据可逆性的条件来判断选取。 2 hat= r0hat1 + 1-4 1 hat2 /2 1 hat= -2 1 hat / 1 + 1-4 1 hat2 ,58,r0hat= 2 (1+ 1 2 + 2 2 ) 1 r1hat = 2 （ - 1 + 1 2 ） 2 r2hat = - 2 2 3 由后两个方程可以得出： 2 hat= -r2hat / 2 1 hat =- r1hat/( 2 + r2hat) 然后将结果再代入第一个方程，得到： r0hat= 2 1+（ -r2hat / 2） 2 +- r1hat/( 2 + r2hat) 2 可以得到 2的三次方程，可得 2三

26、个根，相应也有 1 hat 、 2 hat三个解。 对于q2时，求解较为复杂，因此，q较大时用线性迭代法。,59,第五节 自回归移动平均模型,一，定义，如果Y t是先前序列值和当前及过去误差的线性组合，即 Y t 1 Y t-1 + 2 Y t-2 + p Y t-p + t 1 t 1 2 t 2 q t-q 称上式为Y t的自回归移动平均模型（Autoregressive Moving Average Models,记做ARMA(p,q), p q分别表示自回归和移动平均的阶数,60,用滞后算子来表示： （1 1 L- 2 L2- p Lp) Y t = (1- 1 L- 2 L2- q

27、Lq) t (L) Y t = (L) t,61,二ARMA模型的自协方差函数和自相关函数 1, ARMA（1，1） Y t Y t-1 + t t 1 把上式改写成： Y t Y t-1 t t 1,62,E(Y t t )= 2 E(Y t t-1 )=E(Y t-1 + t t 1) t-1 = 2 - 2, =( - ) 2,63,r0 E(Y t 2) =E(Y t-1 + t t 1)2 = 2 E(Y t-1 ) 2 +E( t ) 2 + 2 E( t 1) 2 +2 E(Y t-1 t) - 2 E(Y t-1 t 1 ) -2 E( t t -1) = 2 r0 + 2 +

28、 2 2 - 2 2 r0 2 (1+ 2 - 2 )/(1- 2 ),64,r1 =E(Y t Y t-1) =E(Y t-1 + t t 1) Y t-1 = r0 - 2 = 2 (1+ 2 - 2 )/(1- 2 ) - 2, = 2 (1- )( -) /(1- 2 ) 上式是通分化简后得到的最后结果,65,r2 =E(Y t Y t-2) =E(Y t-1 + t t 1) Y t-2 = r1 2 (1- )( -) /(1- 2 ),66,r3 = E(Y t Y t-3) =E(Y t-1 + t t 1) Y t-3 = r2 2 (1- )( -) /(1- 2 ) rk

29、= rk-1, k1(k=2,3.),67,所以自相关函数为: 1 = r1 / r0 = (1- )( -) / (1+ 2 - 2 ) 对于k1, k= k k-1 ,68, 2 = 1 (1- )( -) / (1+ 2 - 2 ) 3 = 2 2 (1- )( -) / (1+ 2 - 2 ) k= k k-1 k-1 (1- )( -) / (1+ 2 - 2 ) 由此可以看出ARMA（1，1）是拖尾的,69,例题,Y t 0.6 Y t-1 t 0.4 t 1+0.04 t 2 ， E(Y t t )= 2 E(Y t t-1 )=E(0.6Y t-1 + t 0.4 t 1 +0

30、.04 t 2 ) t-1 = 0.6 2 0.4 2, =0.2 2,70,E(Y t t-2 )=E(0.6Y t-1 + t 0.4 t 1 +0.04 t 2 ) t-2 0.6*0.2 2 +0.04 2 0.16 2 E(Y t t-1 ) E(Y t1 t-2 )0.2 2 ，将这一结果代入上式即可,71,利用上面的结果，计算自协方差和自相关函数 首先将初始模型左右同乘以Y t ，再取期望 （1） r0 0.6 r1 E(Y t t )-0.4 E(Y t t-1 ) +0.04 E(Y t t -2) = 2 (1-0.4*0.2+0.04*0.16) = 2 (1-0.08+

31、0.0064)=0.9264 2,72,同乘以Y t-1 ，再取期望 (2) r1 0.6 r0 E(Y t1 t )-0.4 E(Y t1 t-1 ) +0.04 E(Y t1 t -2) 2 （-0.4+0.04*0.2） -0.392 2,73,同乘以Y t-2 ，再取期望 3, r2 0.6 r1 E(Y t2 t )-0.4 E(Y t2 t-1 ) +0.04 E(Y t2 t -2) = 0.04 2,74,解上面的方程组 首先（2）*0.6+（1） r0 2 0.6912/0.64=1.08 2 代入（2）式 r1 0.6 r0 0.392 2 （0.6*1.08-0.392）

32、 2 0.256 2,75,代入（3）式 r2 0.6 r1 0.04 2 2 （0.6*0.256+0.04） 0.1936 2 1 = r1 / r0 =0.256/1.08=0.237037 2 = r2 / r0 =0.1936/1.08=0.179259,76,rk 0.6 rk-1 =0 k2 所以k 0.6 k-1 0 30.6 2 0.6*0.1792590.10756 40.6 3 0.6* 0.107560.06453 ,77,二ARMA（1，1)模型的平稳性和可逆性的判断。 | |1是AR（1）模型平稳的必要条件 | |1是MA(1)可逆的条件。,78,三，ARMA（1，

33、1）模型的预测 假设，ARMA模型是平稳可逆的， 并且 Y t Y t-1 + t t 1 Y t+1 Y t+ t+1 t 见板书,79,第六节非平稳的时间序列,一，非平稳性，单位根 如果一个时间序列的均值或方差随时间t而改变，就称该时间序列是非平稳的。特别的，我们把有一个单位根的时间序列叫随机游走（random walk)，时间序列包含单位根时，它就是一个非平稳的时间序列。,80,Y t Y t-1 + t 当 1时，我们称出现了单位根（unit root) Y t是一个纯随机游走序列 通过直接迭代，得到： Y t Y 0 + i i 从1到t, E (Y t )= Y 0 Var(Y t

34、 )=t 2 方差不再是固定不变的。,81,我们来看一个平稳的时间序列 Y t 0.8Y t-1 + t 假设已知Y 0=2， 2 =1 E（ Y 1）=0.8E（ Y 0 ）+E（ 0） =0.8*2=1.6 E（ Y 2）=0.8 E（ Y 1）=0.8*0.8*2=1.28 E（ Y 3）= 0.8E（ Y 2）=0.8*0.8*0.8*2=1.024 E（ Y 100）=0.8100* E（ Y 0 ） 0 E（ Y t）=0.8t* E（ Y 0 ） 当t ， E（ Y t） 0,82,Var(Y t )=var(0.8Y t-1 + t) =0.82var(Y t-1 )+ 2 重

35、复迭代下去 =0.8var(Y 0)+ 2 1+0.82+ 0.82(t-1) = 2 (1-0. 82t)/(1-0. 82) 当t 时， 0. 82t 0， Var(Y t ) 2 /(1-0. 82) 所以一个平稳的时间序列t的增大，其期望和方差均趋于固定的常数。,83,但是我们可以发现： Y t Y t Y t-1 t 即其一阶差分是一个平稳的过程。如果一个非平稳的时间序列的一阶差分是平稳的，则称其为一阶单整I（1）。如果非平稳的时间序列经过d次差分后为平稳的，则称其为d阶单整，记做I（d).,84,大多数的宏观经济流量指标和与人口规模有关的存量指标都是I（1），如产出及就业人口，名义

36、GNP等. I(2)则具有相对不变的增长率。如物价指数。 d2的时间序列比较少见，但是经济异常时也会发生，如恶性通货膨胀时的物价水平就是一个I(3)。,85,二，虚假回归(spurious regression) 经济时间序列时常有一个长期所谓趋势，或近似单位根，即大多数的经济时间序列是非平稳的。如果我们直接对非平稳的时间序列进行回归，可能会出现： 1，高R2 2，很低的标准差（低SE） 3，d趋于0 （DW值） 一般地，当R2d,时，上述回归就可能是虚假回归或谬误回归。（经验上的）,86,三，为了避免虚假回归，必须事先进行单位根的检验，即首先检验该序列是否是平稳的。 常用的单位根检验被称为D

37、F检验（Dickey Fuller Test),87,Y t Y t-1 + t 使用最小二乘法估计上述模型， 我们要检验的是： H0: 1 ， Y t 是非平稳的。 H1 : 1, Y t 是平稳的 使用 DF检验，计算 DF值，然后与临界值进行比较。,88,在 1 的虚拟假设下，把通常计算的t统计量称为(tau)统计量。 Dickey Fuller 计算出统计量的临界值表。 检验的方法是使用最小二乘法估计上述模型，将估计的参数1再除以其标准差就是统计量。然后与临界值进行比较。如果所计算的统计量的绝对值大于临界值绝对值，则不拒绝时间序列是平稳的假设，即认为该时间序列是平稳的。如果小于临界值绝

38、对值，则时间序列是非平稳的。,89,例题,Y t 0.147 Y t-1 （0.1427) 因为待检假设 1 DF值或统计量0.147-1/0.1427=-5.977 大于临界值，所以时间序列是平稳的。,90,通常人们会估计下列模型进行单位根的检验。 Y t Y t-1 + t Y t Y t-1 + t Y t 1 2 t+Y t-1 + t 虚拟假设是0，如果虚拟假设成立，该时间序列就是非平稳的。第二个方程包含了常数项，第三个方程中包含了趋势项。（即时间的函数）DF检验的方法是计算统计量，因为待检假设是0，所以，直接估计模型，用参数的估计值除以其标准差就得到统计量，下结论的方法与前面相同。 (上述三个模型的临界值各不相同，可根据不同情况查阅临界值表。),91,例如同样是刚才的例题，把估计的模型变成： Y t -0.8526Y t-1 （0.1427） DF值或统计量-0.8526