高中数学第3章归纳总结同步导学案北师大版

1、第三章归纳总结第三章归纳总结 知识结构知识结构 知识梳理知识梳理 一、不等关系 1.不等关系体现在日常生活中的方方面面，在数学意义上，不等关系可以体现： （1）常量与常量之间的不等关系； （2）变量与变量之间的不等关系； （3）函数与函数之间的不等关系； （4）一组变量之间的不等关系. 2.实数比较大小的方法：作差法 （1）a-b0ab; （2）a-b=0a=b; （3）a-b0abbb,bcac; （3）aba+cb+c； （4）ab,c0acbc;ab,c0acb,cda+cb+d; （6）ab0,cd0acbd; （7）ab0ab(nN N+且n1); （8）ab0 na nb (nN

2、N+且n1). 对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强 后，结论是否发生了变化； 运用不等式的性质时， 一定要注意不等式成立的条件， 切不可用 “似乎” 、 “是” 、 “很显然”的理由代替不等式的性质. 二、一元二次不等式 1.一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集： 一般地，使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有 解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集. 2.解一元二次不等式的步骤： 常用数形结合法解一元二次不等式，步骤： （1）当a0 时，解形如ax+bx+c0(0)或ax+bx+c0(

3、0)的一元二次不等式，一般可分为三步： 确定方程ax+bx+c0 的解； 画出对应函数y=ax+bx+c的简图； 借助于图像的直观性写出不等式的解集. （2）特别地，若a0(或0 时，若相应一元二次方程的判别式0，则求两 根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若0 或0，这是特殊情形，利用相应一 元二次函数的图像写出不等式的解集. （2）对于含参不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形 式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类 讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变

4、量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论. 4.分式不等式与一元二次不等式的关系 设a0 等价于(x-a)(x-b)0, x b x a 0 等价于(x-a)(x-b)0 用数轴标根法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：将f(x) 的最高次项的系数化为正数； 将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； 将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次用曲线把每个根串联起来； 根据曲线呈现出f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集； 奇次根依次穿过，偶次根穿而不过. 三、基本不等式 1.几个重要的基本不等式: (1)a+b2ab(a,bR R); (2) 22 a b ab

5、（a,bR R+）; 2 (3) ba +2（a与b同号） ； ab 11 2（a0）,a+-2（a0,B0）为例.“以线定界” ，即画二元一次方程Ax+By+C0 表示的直线定边界，其 中，还要注意实线或虚线.“以点定域” ，由于对在直线Ax+By+C0 同侧的点，实数Ax+By+C的值的符号 都相同，故为了确定Ax+By+C的值的符号，可采用取特殊点法，如取坐标原点（0，0）等. 2.最优解的确定方法 最优解可有两种确定方法： （1）将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解; （2） 利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线l1,l2,ln的斜率分别为k1k

6、2kn， 而且目标函数的直线的斜率为k，则当kik0 对xR R 恒成立. 当a-1=0 时，即a=1. 若a=1 时，不等式化为 2x+10 不恒成立，a1. 若a=-1 时，不等式化为 10,恒成立，符合题意. a-10 当a-10,即a1 时，则有， =(a+1) -4(a-1)0 22 2 2 2 22 22 解得a 5 . 3 5 ,+). 3 综上所述，a的取值范围为(-,-1( 2 变式应用 1m为何值时，方程x+(m-2)x+(5-m)=0 的两个根都大于 2？ 解析解法一：设方程的两个根为x1,x2,则有 00 x 12 ，即 (x1-2)+(x2-2)0， x 22 (x1

7、-2)(x2-2)0 m-160 -m-20， 2 m+50 解得-50， - 2 m2 2 2 m-160 即m+50 . m-2 解得-5m-4. 专题 2不等式的恒成立问题 对于不等式恒成立，求参数取值范围问题 常见类型及解法有以下几种. 1.变更主元法： 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. 2.分离参数法： 若ag(x)恒成立，则ag(x)恒成立，则ag(x) max. 3.数形结合法： 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化. 例 2若不等式x+ax+10 对于一切x(0, 2 1 都成立，则a的最小值为（） 2 C.-A.0B.-2

8、5 2 D.-3 答案C 解析解法一： （数形结合法）令f(x)=x+ax+1,要使不等式x+ax+10，对于一切x(0, 22 1 2 都成立，只须f(x)0 对于一切x(0, 1 都成立.又f(x)的图像过定点（0，1）. 2 （1）当=a2-40，即-2a2 时，f(x)0 对于一切x(0, 1 2 都成立； （2）当=a2-40，即a2 时， 如图所示， 对称轴x=- a 2 0. 又a2, a2. 如图所示， 对称轴x=- a 2 1 2 且f( 1 2 )0， - a 2 1 2 即， 1 4 1 2 a+10 解得- 5 2 a-1. 又a2, - 5 2 a0 且a1,f(x)

9、=x-a,当x (-1,1)时均有f(x) x 1 ,则实数a的取值范围是 （） 2 A.(0, 1 )2,+) 2 B. 1 ,1)(1,4 4 C. 1 ,1)(1,2 2 D.(0, 1 )4,+) 4 答案C 解析由x-ax-,设函数y1=a,y2=x-,分别作出它们的图象，如图，由图易知，当 222 x2 0ax- 2. 11 2 1 ,则x=1 时，a11 -，反之亦成立，同理，a1 时，可得 1a 222 变式应用 2f(x)=ax+ax-1 在 R R 上满足f(x)0,求a的取值范围. 分析对a的值进行讨论.f(x)=ax+ax-1 在 R R 上满足f(x)0a=0 或 2

10、 2 a0 0 a的取值范围. 解析(1)当a=0 时，f(x)0 恒成立，故a=0 符合题意； （2）当a0 时，由题意得： a0 2 a0 -4a0, =a+4a0 -4a0 综上所述：40,b0)解“定积求和，和最小”问题，用 ab（ a b 2 ） 求“定和求积，积最大”问题.一定要注意适用的范围和条件： “一正、二定、三相等”. 2 特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，以及对等号能否成立 的验证. 若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用均值不等式解决实际问题. 例 4设函数f(x)=x+ a ,x0,+). x 1 (1)当a=2

11、 时，求函数f(x)的最小值； (2)当 0a0, 2 0, x 1 x+1+ 2 2 2. x 1 2 ,即x= 2-1 时，f(x)取最小值. x 1 当且仅当x+1= 此时，f(x) min2 2-1. （2）当 0a1 时， f(x)x+1+ 题意)， aaa -1，若x+1+2 a,则当且仅当x+1= 时取等号，此时x= a-1x20，则 f(x 1)-f(x2)=x1+ =(x1-x2)1- aa -x2- x 1 1x21 a , (x 1 1)(x 21) x1x20， x1-x20,x1+11,x2+11， （x1+1）(x2+1)1,而 0a1, a 0, (x 1 1)(

12、x 2 1) f(x)在0,+)上单调递增， f(x) min=f(0)=a. 变式应用 3某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5 元，每次购买原材料需支 付运费 600 元.每公斤原材料每天的保管费用为0.03 元，该厂每天需要消耗原材料400 公斤，每次购买的 原材料当天即开始使用（即有400 公斤不需要保管）. (1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数 关系式； (2)该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最小值. 解析（1）每次购买原材料后，当天用掉的400 公斤原材料不需要保管费用，

13、第二天用掉的 400 公斤原材料需保管 1 天， 第三天用掉的 400 公斤原材料需保管 2 天， 第四天用掉的 400 公斤原材料需保管 3 天， ， 第x天（也就是下次购买原材料的前一天）用掉最后的400 公斤原材料需保管x-1 天. 每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用： y 1=4000.031+2+3+(x-1)=6x 2-6x(元). （2）由（1）可知，购买一次原材料的总费用为 6x-6x+600+1.5400 x(元)， 购买一次原材料平均每天支付的总费用 y= 2 1600 2 (6x-6x+600)+1.5400+6x+594. xx 600 6x+594714. x

14、y2 当且仅当 600 6x， x 即x=10 时，y最小为 714. 该厂 10 天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，最少为 714 元. 专题 4二元线性规划问题 求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域， 三是在可行域内求目标函数的最优解.特别注意目标函数z=ax+by+c在直线ax+by=0 平移过程中的变化规 律和图中直线斜率的关系，简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛的应用也是高考的热点. 7x-5y-230 例4已知x、y满足条件x+7y-110 . 4x+y+100 求z=4x-3y的最大值和最小值. 解析作可行域，

15、如图中的阴影部分（含边界）. 作直线l:4x-3y=0,由图形可知当直线l平移至顶点C、B时z分别取最小值、最大值. 4x+y+10=0 由 ,得C(-3,2). x+7y-11=0 4x+y+10=0 由 ,得B(-1,-6). 7x-5y-23=0 故zmin=4（-3）-3218, z max=4（-1）-3（-6）14. 变式应用 4已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200 万吨和 260 万吨，需经过东车站和西车站两个 车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤，西车站每年最多能运 360 万吨煤，甲煤矿运往东车站和 西车站的运费价格分别为1 元/吨和 1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨 和 1.6 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？ 解析设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费 z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元)， 即z=716-0.5x-0.8y. x0 y0 x、y应满