高中数学空间角度与距离问题

1、选修选修 2 2- -1 1 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 一、选择题： 1在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB A60B90 2 BB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（） C105D75 BE12如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1 与 DF1所成角的余弦值是（） A A 1B1 ，则 4 31158 BCD 217172 图 3如图，A1B1C1ABC 是直三棱柱，BCA=90，点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角 的余弦值是（） A 1303015 BCD 2101510 图 4正

2、四棱锥S ABCD的高SO 2，底边长AB 2，则异面直线BD和 SC之间的距离（） A 15 5 B 5 5 C 2 5 5 D 5 10 A1C1 5已知ABC A 1B1C1 是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC 1 的 中点点C 1 到平面AB 1D 的距离（） A B1 223 22 aBa C aDa 4842 A B 图 （） D 6在棱长为1的正方体ABCD A 1B1C1D1 中，则平面AB 1C 与平面A 1C1D 间 的距离 A C 3 6 3 2 B 3 3 C 2 3 3 D 7在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBC 1 PA，点 O、D 分别是 AC、PC

3、 的中点，OP 2 （）底面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值 A 21 6 B 8 3 3 C 210 60 D 210 30 8 在直三棱柱ABC A 1B1C1 中， 底面是等腰直角三角形，ACB 90， 侧棱AA 1 2， D， E 分别是CC1与A 1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD的重心 G则A 1B 与平面 ABD 所成角的余弦值 AB （） 2 3 7 3 C 3 2 D 3 7 9正三棱柱ABC A 1B1C1 的底面边长为 3，侧棱AA 1 3 3，D 是 CB 延长线上一点，且 2 （） D BD BC，则二面角B 1 AD B的大

4、小 A 3 B 5 C 66 2 3 10正四棱柱ABCD A 1B1C1D1 中，底面边长为2 2，侧棱长为 4，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，EF BD G则三棱锥B 1 EFD 1 的体积 V（） A 6 6 B 16 316 C 33 D16 二、填空题： 11 在正方体ABCD A 1B1C1D1 中，E为A 1B1 的中点， 则异面直线D 1E 和BC 1 间的距离 12 在棱长为1的正方体ABCD A 1B1C1D1 中，E、F分别是A 1B1 、CD的中点，求点B到截面 AEC 1F 的距离 13已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 B1

5、C1和 C1D1的中点，点 A1到 平面 DBEF 的距离 14已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 A1B1的中点，求直线AE 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值 三、解答题： 15已知棱长为1 的正方体ABCDA 1B1C1D1，求平面 A 1BC1 与平面ABCD 所成的二面角 的大小 16 已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E、 F、 M 分别是 A1C1、 A1D 和 B1A 上任一点， 求证：平面 A1EF平面 B1MC 17在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a， AD=2a，

6、且 PA底面 ABCD，PD 与底面成 30角 （1）若 AEPD，E 为垂足，求证：BEPD； （2）求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值 18已知棱长为 1 的正方体 AC1，E、F 分别是 B1C1、C1D 的中点 （1）求证：E、F、D、B 共面； （2）求点 A1到平面的 BDEF 的距离； （3）求直线 A1D 与平面 BDEF 所成的角 19 如右下图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、 BC 上的点，且 EB= FB=1. (1) 求二面角 CDEC1的正切值; (2) 求直线 EC1与 FD

7、1所成的余值. 20 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是菱形， DAB=600，PD平面 ABCD，PD=AD，点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点。 （1）证明平面 PED平面 PAB； （2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 21：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1 上，且CC1=4CP. ()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ； ()设O点在平面D1AP上的射影是H， 求证： D1HAP； ()求点P到平面ABD1的距离. C1 D1 A1B1 D C O

8、A B 参考答案 一、1B；2A；3A；4C； 分析：建立如图所示的直角坐标系，则 A ( 2222 ,0)，B (,0)， 2222 2222 ,0)，D (,0)，S (0,0,2) 2222 S C ( D A O 图 B C uuu ruuu r 22 DB ( 2,2,0)，CS (,2) 22 r uuu r rruuu r ruuu r nDB 0 令向量n (x, y,1)，且n DB,n CS，则r uuu，r nCS 0 (x, y,1)( 2,2,0) 0 r x 2 x y 0 n ( 2,2,1)， 22 ,2) 0 x y 2 2 0(x, y,1)( y 2 22

9、 异面直线BD和SC之间的距离为： 22 uuu r r (,0) ( 2,2,1) OCn 22 d r n( 2,2,1) 110 ( 2)2( 2)212 2 5 5 5A；分析：Q ABB 1 A 1 为正方形，A 1B AB1 ，又平面AB 1D 平面ABB 1A1 ，A 1B 面AB 1D ， uuur A 1 B是平面AB 1D 的一个法向量，设点C到平面AB 1D 的距离为d，则 uuu r uuuruuu ruuuruuu ruuu r uuuruuu r uuu r AC A 1B AC(A 1 A AB)AC A 1 A AC AB)0aacos600 2 a=d uuu

10、r 4 2a2a2aA 1B 6B；分析：建立如图所示的直角坐标系， r uuuu r rnDA (x, y,1)(1,0,1) 0 1 0 设平面A 1C1D 的一个法向量n (x, y,1)， 则r uuuu， 即r (x, y,1)(0,1,1) 0 nDC1 0 x 1 ， y 1 z D B C y A D1 x uuu r r ADnr n (1,1,1)，平 面AB 1C 与 平 面A 1C1D 间 的 距 离d r n (_1,0,0) (1,1,1) (1)2(1)212 3 . 3 C1 A1EB1 图 7D； QOP 平面ABC，OAOC，AB BC， OA OB，OA

11、OP，OB OP. 以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O xyz如图， 2 22 设AB a，则Aa,0,0 ,B 0,a,0 ,C a,0,0 2 2 2 . 设OP h，则P0,0,h. QD为PC的中点， uuu r uuu r 2 21 OD a,0,h , 又PA a,0, h 4 2 ， 2 uuu rruuu r uuu r 1 uuu OD PA. ODPA. OD平面PAB. 2 Q PA 2a, 7 h a, 2 uuu r 214 OD a,0,a 4 , 4 r 1 可求得平面PBC的法向量n 1,1, 7 , uuu r r uuu r r ODn21

12、0 cosOD,n uuu.rr 30 OD n 设OD与平面PBC所成的角为， uuu r r 210 则 sin cosOD,n , 30 OD与平面PBC所成的角为arcsin 210 . 30 z P D x A O B C y 8 B； 解以 C 为坐标原点， CA 所在直线为x轴， CB 所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴， 建立直角坐标系， 设CA CB a， （） 则A（a,0,0），B（0,a,0），A，D（0,0,1） 1 a,0,2 E（, z z C C1 1 A A1 1 E E G G D D C C B B B B1 1 a aa a 1a a 2 ，G（, ）

13、，GE ，,1 ）（, ） 2 23 3 36 6 3 ， BD （0,a,1 ） 点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD的重心 G， GE 平面 ABD， GE BD 0， 解得a 2 x x A A y y GE ， BA ，（ , ） （2,2,2） 1 GE 平面 ABD， GE为平面 ABD 的一个法向量 1 1 2 3 3 3 由cos GE,BA 1 GEBA 1 |GE | BA 1 | 4 3 6 2 3 3 7 3 2 3 A 1B 与平面 ABD 所成的角的余弦值为 评析因规定直线与平面所成角0， ，两向量所成角0，所以用此法向量求出 2 的线面角应满足| 2 | 9A

14、；取 BC 的中点 O，连 AO由题意平面ABC 平面BCC1B 1 ，AO BC， AO 平面BCC1B 1 ， 以 O 为原点，建立如图 6 所示空间直角坐标系， 3393 3 ，B（ ,0,0），D（ ,0,0），B，3）（ ,3,0） 1 2222 2 9333 AD ，B 1D ，BB1， （ ,0,3）（3,3,0） （0,3,0） 2222 3 由题意 BB 1 平面 ABD， BB 1 为平面 ABD 的法向量（0,3,0） 2 则A（0,0, 设 平面AB 1D 的法向量为 n 2 (x,y,z)， 3 9 x 3z 0 2 n 2 ADn 2 AD 0 2 则， 3 3x

15、n2 B 1D n2 B 1D 0 3y 0 2 3 3y33x ,1, )， 即 不妨设 n2 ( 2 22 z 3x 由cos BB 1,n2 BB 1 n 2 | BB 1 | n 2 | 3 32 2 3 3 2 1 ， 2 得 BB 1,n2 60 故所求二面角B 1 AD B的大小为60 评析： （1）用法向量的方法处理二面角的问题时， 将传统求二面角问题时的三步曲： “找证 求” 直接简化成了一步曲： “计算” ， 这表面似乎谈化了学生的空间想象能力， 但实质不然， 向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革 的精神 （2）此 法在 处理

16、二面角 问题时 ，可 能会 遇到二 面角的 具体 大小 问题， 如本题 中若 取 n2 ( 331 ,1,)时，会算得cos BB 1,n2 ，从而所求二面角为120，但依题意只 222 为60因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角所以在计算之前不妨先依题意 判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角” 10C；解以 D 为坐标原点，建立如图10 所示的直角坐标系， 则B1(2 2,2 2,4)， D 1 (0,0,4)， z z D D1 1 A A1 1 B B1 1 D D C C1 1 E(2 2,2,0)，F( 2,2 2,0)， D 1E (2 2, 2,

17、4) ，D 1F ( 2,2 2,4) ， D 1B1 (2 2,2 2,0) 图 10 ， G G C C y y x x A AE E F F B B cos D 1E,D1F D 1ED1F | D 1E | D1F | 24 26 26 12 ， 13 sin D 1E,D1F 5 ， 13 所以S D1EF 115 | DE | DF |sin DE,DF 26 26 5， 2213 设 平面D 1EF 的方程为：x By Cz D 0，将点D 1,E,F 代入得 4C D 0 2 2 2B D 0， 2 2 2B D 0 B 1 3C 2 ， 4 D 3 2 3 2z 3 2 0，

18、其法向量为 4 平面D 1EF 的方程为：x y n (1,1, | D B n|163 ，2)， 点B 1 到平面D 1EF 的距离d 11 54 |n| 111616 S EFD1 d 5即为所求 3353 VB 1EFD1 评 析（ 1 ） 在 求 点 到 平 面 的 距 离 时 ， 有 时 也 可 直 接 利 用 点 到 平 面 的 距 离 公 式 d | Ax 0 By 0 Cz 0 D | A B C 222 计算得到 （2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的 距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等 二、 11 2 6 分析：设正方体

19、棱长为2，以D 1 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 3 r uuuu r uuuu ruuu u rrnD E 0 1 D 1E (2,1,0) ，C 1B (2,0, 2) ，设D 1E 和BC 1 公垂线段上的向量为n (1,)，则r uuu，u r nC1B 0 uuuu u r r DCruuuu u r 11 n 2 0 242 6 即，n (1,2,1)，又D 1C1 (0,2,0)，所以异r 36 n22 0 1 面直线D 1E 和BC 1 间的距离为 2 6 3 12 6 分析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 3 11 22 uuu ruuu r 11 AE

20、 (0,1)，AF (1,0)； 22 r 设面AEC 1F 的法向量为n (1,)， 则A (1,0,0), F (0,0),E (1, ,1) D1 A1 D 1 0 2 2 ， 1 1 1 0 2 C1 E B1 F C 则有：n AE 0,n AF 0， r uuu rr uuu r A 图 B uuu r r ruuu r ABn26 n (1,2,1)，又AB (0,1,0)，所以点B到截面AEC 1F 的距离为uuurr= 316 AB n 131；解：如图建立空间直角坐标系， 1 DB（1，1，0） ，DF （0，1） ， DA 1 （1，0，1） 2 设平面 DBEF 的法向

21、量为n（x，y，z） ，则有： n DB 0 即xy0 nDF 0 令 x1,y=1,z= 1 yz0 2 z 11 ,取n（1，1，） ，则 A1到平面 22 D1 F B1 EDBEF 的距离h nDA 1 n C1 1 A1 14 10 解： 如图建立空间直角坐标系，AB （0， 1， 0） ， 5 D A x D1 z C1 EB1 B C y 1 ，AE（0，1） AD 1 （1，0，1） 2 设平面 ABC1D1的法向量为n（x，y，z）, 由 n AB 0 可解得n（1，0，1） A1 D A B C y n AD 1 0 设直线 AE 与平面 ABC1D1所成的角为，则sin

22、x AEn AE n 10 ， 5 三、 15 解： 如图建立空间直角坐标系，A 1C1 （1， 1， 0） ，A 1B （0，1，1） 设n1、n 2 分别是平面 A1BC1与平面 ABCD 的法向量， 由n 1 A 1B 0 可解得n1（1，1，1） A1 D1 B1 z C1 n 1 A 1C1 0 D A x B C y 易知n2（0，0，1） ， 所以，cos n1,n2 n 1 n 2 n 1 n 2 3 3 33 或 arccos 33 z D1 A1 F D A B M C E B1 y C1 所以平面 A1BC1与平面 ABCD 所成的二面角大小为 arccos 注：用法向量

23、的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相 反的方向，取的方向不同求 出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际 形态确定其大小 16证明：如图建立空间直角坐标系， 则A 1C1 （1，1，0） ，B 1C （1，0，1） A 1D （1，0，1） ， B 1 A（0，1，1） x 设A 1E A 1C1 ，A 1F A 1D ，（、 B 1M B 1 A、 R，且均不为 0） 设n 1 、n2分别是平面 A1EF 与平面 B1MC 的法向量， 由n 1 A 1E 0 可得n1A 1C1 0即n 1 A 1C1 0 n 1 A 1F 0 n 1 A 1D 0 n 1 A 1D

24、0 解得：n1（1，1，1） 由n 2 B 1M 0 可得n2B1A 0即 n 2 B 1 A 0 n 2 B 1C 0 n 2 B 1C 0 n 2 B 1C 0 解得n 2 （1，1，1） ，所以n1n2， n 1 n2， 所以平面 A1EF平面 B1MC 注： 如果求证的是两个平面垂直， 也可以求出两个平面的法向量后， 利用n1n2 n1n2 0 来证明 17 （1）证明：PA平面 ABCD，PAAB，又 ABADAB平面 PAD又AEPD， PD平面 ABE，故 BEPD （2）解：以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 C、D 的坐标分别为（a，a，0） ， （0，2a，0） PA平面 ABCD，PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角，PDA=30 于是，在 RtAED 中，由 AD=2a，得 AE=a过 E 作 E