高中数学课本中的定理、公式、结论的证明

1、数学课本中的定理、公式、结论的证明数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一数学必修一 第一章第一章 集合（无）集合（无） 第二章第二章 函数（无）函数（无） 第三章第三章 指数函数和对数函数指数函数和对数函数 1 1对数的运算性质：对数的运算性质： 如果a 0 ，a 1，M 0 ，N 0，那么 （1）log a (MN) log a M log a N； （2）log a M log a M -log a N； N （3）log a Mn nlog a M(nR) 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明： （性质性质 1 1）设log a M

2、p，log a N q，由对数的定义可得M ap，N aq， MN apaq apq， log a (MN) pq， 即证得log a MN log a M log a N 证明： （性质性质 2 2）设log a M p，log a N q， 由对数的定义可得M ap，N aq， Map q apq， Na M p q， N M 即证得log a log a M -log a N N log a 证明（性质 性质 3 3）设logaM p，由对数的定义可得 M ap， M a ， n log a M np， nnp n 即证得log a M nlog a M 第四章第四章 函数应用（无）函数

3、应用（无） 数学必修二数学必修二 第一章第一章 立体几何初步立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明 1 1、直线与平面平行的判定定理、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行若平面外一条直线与此平面内一条直线平行, ,则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行 2 2、平面与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3 3、直线与平面垂直的判定定

4、理、直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 4 4、平面与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 证明：设直线l的方向向量为 a,a,平面，的法向量分别为 u，r（建立立体几何问 题与向量之间的联系） ， 因为l ，所以 a|ra|r， 即即 a=a=kr(r(k R) ) （把立体几何问题转化为空间向量问题） , , 又l ，所以 a au u

5、a au=0u=0（把立体几何问题转化为空间向量问题） ， 所以ku ur=0r=0 u ur r（把空间向量的结果转化为几何结论） ， 所以平面与平面互相垂直， 5 5、直线与平面平行的性质定理、直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该 直线平行直线平行 6 6、平面与平面平行的性质定理、平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 7 7、直线与平面垂直的性质定理、

6、直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 另法另法 8 8、平面与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面， 如图所示:已知,=MN, AB在内，AB MN于B点。 求证：AB. 证明：在平面内做直线BC MN， 则ABC是二面角-MN-的 平面角， Q， ABC =90o， AB BC 又AB MN， AB 9 9 三垂线定理及逆定理三垂线定理及逆定理

7、另法证明：已知：如图，直线另法证明：已知：如图，直线l与平面与平面相交与点相交与点 A A，l在在上的射影上的射影 OAOA 垂直于垂直于 a,a 求证：求证：la 证明：证明：过过 P P 作作 POPO 垂直于垂直于 POPO POPOa 又又aOAOA ，POPOOA=OOA=O a平面平面 POAPOA al （三垂线定理的逆定理）（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该则它垂直于这条直线在该 平面内的投影平面内的投影 第二章第二章 解析几何初步（无）解析几何初步（无） 数学必修三数学必修三 数学必

8、修四数学必修四 第一章第一章三角函数三角函数 诱导公式诱导公式 sin(） -sin cos(） costan(） tan公式：公式： 如图：设的终边与单位圆（半径为单位长度 1 的圆）交 于点 P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为 P(x,y) P(x，-y)由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, M 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式， P(x，-y) y O x (4-5-2) -sincos(） -costan(） tan 公式：公式： si

9、n(） y它刻画了角+与角的正弦值（或余弦值）之间的关 系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值 （或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）关系，设角 终边圆P(x,y) 180 M交于点 P( x，y)，则角终边的反向延长线，即+角的终边 MOx 与单位圆的交点必为 P(-x，-y)（如图 4-5-1） P(x ，-y) 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin=y， cos=x, sin(+)=-y,cos(+)=-x, (4-5-1)所以 :sin(+)=-sin，cos(+)=-cos 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 相关诱导公式相关诱导公式 公式一：公式一

10、： 设设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sinsin（2k+）=sin k（2k+）=sin kz cosz cos（2k+）=cos k（2k+）=cos kz ztantan（2k+）=tan（2k+）=tan k kz z 公式二：公式二： sinsin（+）（+）= =sinsin cos cos （+）（+）= =coscos tan tan （+）=tan（+）=tan 公式三：公式三：sinsin（）（）= =sinsin 公式四：公式四： 利用公式二和公式三可以得到利用公式二和公式三可以得到 - - 与与 的三角函

11、数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sinsin（）=sin（）=sin cos cos（）（）= =coscos tan tan（）（）= =tantan 公式五：公式五： 利用公式一和公式三可以得到利用公式一和公式三可以得到 22- - 与与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sinsin（2）（2）= =sinsin cos cos（2）=cos（2）=costantan（2）（2）= =tantan 公式六：公式六： /2/2 与与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sinsin（/2+）=cos（/2+）=cos cos cos（/2+）（/2+

12、）= =sinsin tan tan（/2+）（/2+）= =cotcot sinsin（/2）=cos（/2）=cos cos cos（/2）=sin（/2）=sin tan tan（/2）=cot（/2）=cot 第二章第二章 平面向量平面向量 1 1、共线向量定理（、共线向量定理（p82p82 例例 3 3） 内容：如图内容：如图 A,B,CA,B,C 为平面内的三点，且为平面内的三点，且 A,BA,B 不重合，点不重合，点 P P 为平面内任一点，若为平面内任一点，若 C C 在直在直 线线 ABAB 上，则有上，则有 PC PA(1)PB 证明：由题意，证明：由题意， BC 与与BA

13、共线，共线， BC BA A C BC PC PB,BA PA PB PC PB (PA PB) B P 化简为：化简为： PC PA(1)PB 2 2、平面向量基本定理、平面向量基本定理(p83)(p83) 内容：如果内容：如果 e 1 ,e 2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向 量量a，存在唯一一对实数，存在唯一一对实数 1 , 2，使得 ，使得 a 1 e 1 2 e 2 . 证明：证明：如图过平面内一点 O，作OA e1,OB e2,OC a，过点 C 分别作直线 OA 和直线 OB 的平行线，交

14、OA 于点 M，交 OB 于点 N，有且只有一组实数，使 得OM 1OA,ON 2 OB B OC OM ON OC 1 OA 2 OB e2 N a O M e1 C 即即 a 1 e 1 2 e 2 . A 3 3、平行向量定理（、平行向量定理（p88p88） 内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例； 若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行，若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行， 证明：证明：设 a,b 是非零向量，且 a (x 1, y1 ),b (x 2 , y 2 ) 若a/b，则存在实

15、数 使a b，且由平面向量基本定理可知 x 1i y1 j (x 2 i y 2 j) x 2 i y 2 j. x 1 x 2， y 1 y 2 y2 x2得： x 1 y 2 x 2 y 1 0 x 1 x 2 yy 0, y 0a,b 2 若 1 （即向量不与坐标轴平行）则 1 y 2 4 4、余弦定理证明、余弦定理证明(p93)(p93) 内容：内容：在在ABC中，中，a,b,c分别为角分别为角 A,B,C 的对边，的对边，则则 a2 b2c2 2bccos A b2 a2c2 2accosB c 2 a2b2 2abcosC 证明：如图在证明：如图在ABC中，设中，设AB c,BC

16、a,AC b则则 a2 a 2 BC 2 (AC AB)(AC AB) AC 2 2AC AB AB 2 2 AC 2AC ABcos A AB 2 b2 c2 2bccos A a2 b2c2 2bccos A 2 a b2 c2 2bccos Ab2 a2c2 2accosB c 2 a2b2 2abcosC 同理可证：同理可证： 所以所以c 2 a2b2 2abcosC 5 5、点到直线距离公式证明（、点到直线距离公式证明（p99p99） 向量法向量法 定义法定义法 证：如图证：如图, ,根据定义，点根据定义，点 M M 到直线到直线 l的距离是点 的距离是点 M M 到直线到直线 l的

17、垂线段的长，如图 的垂线段的长，如图 1 1， B 设点设点 M M 到直线到直线l的垂线为的垂线为 l ，垂足为，垂足为 Q Q，由，由 l l可知 可知 l 的斜率为的斜率为 A l的方程： 的方程： y y 0 B (x x 0 ) A 与与l联立方程组联立方程组 B2x 0 ABy 0 AC A2y 0 ABx 0 BC Q(,) 2222A BA B 解得交点解得交点 B2x 0 ABy 0 ACA2y 0 ABx 0 BC 22| PQ| ( x 0 ) ( y 0 )2 2222A BA B 22A x 0 ABy 0 AC 2 B y 0 ABx 0 BC 2 () () A2

18、 B2A2 B2 A2(Ax 0 By 0 C)2B2(Ax 0 By 0 C)2(Ax 0 By 0 C)2 (A2 B2)2(A2 B2)2A2 B2 y P Q l l x 图1 PQ | | Ax 0 By 0 C | A2 B2 第三章第三章三角恒等变形三角恒等变形 1 1、两角差的余弦公式证明、两角差的余弦公式证明cos cos（）（）=cos=coscoscos+sin+sinsinsin 证明：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心， 作一单位圆，再以原点 为顶点，x 轴非负半轴为始边分别作角，且若，均为锐角时， 设它们的终边分别交单位圆于点 P1（cos，sin） ，P2（c

19、os ，sin） ，即有两单位向量 ， 根据向量数量积的性质得： 又根据向量数量积的坐标运算得： =coscos+sinsin 由得 cos（）=coscos+sinsin ，它们的所成角是 由诱导公式可证明当，均为任意角时式仍成立， 2 2、两角和的余弦公式证明、两角和的余弦公式证明 cos() cos()= =（略） （略） 3 3、两角和（差）的正弦公式证明、两角和（差）的正弦公式证明 内容：内容： sin() sincos cossin,sin() sincoscossin 证明：证明： sin() cos() cos() cos()cossin()sin 2222 sincoscos

20、sin sin() cos() cos() cos()cossin()sin sincoscossin 2222 4 4、两角和（差）的正切公式证明、两角和（差）的正切公式证明 内容：内容： 证明：证明： tan() tan tan 1 tantan， ， tan() tan tan 1 tantan sincoscossin sin()sincos cossincoscoscoscos tan() cos()coscossinsin coscos sinsin coscoscoscos tan tan 1 tantan sincoscossin sin()sincoscossincoscos

21、coscos tan() cos()coscossinsin coscos sinsin coscoscoscos tan tan 1 tantan 考题（考题（20102010 四川理四川理 1919） 1 1 证明两角和的余弦公式证明两角和的余弦公式C :cos() coscossinsin； 2 2 由 由C 推导两角和的正弦公式推导两角和的正弦公式S : sin() sincoscossin. . 解：如图，在直角坐标系解：如图，在直角坐标系 xOyxOy 内做单位圆内做单位圆 O O，并作，并作 出角出角 、与与- -，使角，使角 的始边为的始边为 OxOx，交，交O O 于点于点

22、P P 1 1，终边交 ，终边交 O O 于于 P P 2 2；角 ；角 的始边为的始边为 OPOP 2 2，终边交 ，终边交O O 于于 P P 3 3；角 ；角- - 的始边为的始边为 OPOP 1 1，终边交 ，终边交O O 于于 P P 4 4则 则 P P 1 1（ （1 1，0 0），），P P 2 2（cos，sin） （cos，sin） ， P P 3 3 （coscos（+）（+），sinsin（+）（+），P P 4 4 （coscos（- -），sinsin（- -） 由由 P P 1 1P P3 3=P =P 2 2P P4 4 及两点间的距离公式，得及两点间的距离公式

23、，得 coscos（+）（+）-1-12 2+sin+sin2 2（+）（+）=cos=cos（- -）- -coscos2 2+sin+sin（- -）- -sinsin2 2 展开并整理得：展开并整理得：2-2cos2-2cos（+）（+）=2-2=2-2（coscos（coscos- -sinsin）sinsin） coscos（+）=coscos（+）=coscos- -sinsin；sinsin； 由易得由易得 coscos（- -）=sin，）=sin，sinsin（2（2- -）=cos）=cos sinsin（+）（+）=cos=cos - -（+）（+）=cos=cos（-

24、-）+ +（- -） 2 22 2 =cos=cos（ - -）coscos（- -）-sin-sin（- -）sinsin（- -） 2 22 2 =sincos+cossin；=sincos+cossin； 数学必修五数学必修五 第一章第一章数列数列 1 1、等等差数列通项公式差数列通项公式 已已知知等差数列a a n n 的首项为a a 1 1 ，公差为 d，证明数列a a n n 的通项公式为 a a n n a a 1 1 ( (n n 1 1) )d d 证明：由等差数列的定义可知: 说明：用“叠加法”证明等差数列的通项公式，需要验证对说明：用“叠加法”证明等差数列的通项公式，需要

25、验证对a a 1 1同样成立 同样成立 2 2、等等差数列差数列前 前n项和项和 内内 容容 ： a n是是 等等 差差 数数 列列 ， 公公 差差 为为 n(a 1 a n )n(n 1) d 22 d ， 首首 项项 为为 a 1， ， S n为 为 其其 前前 n n 项项 和和 ， 则则 S n a1n 证明：由题意，证明：由题意， 反过来可写为：反过来可写为： + +得：得：2 2 S n S n S n a1 (a 1 d) (a 1 2d) . (a 1 (n 1)d) S n an (a n d) (a n 2d) . (a n (n 1)d) a 1 n a 1 n. a 1

26、 n n个 所以，所以， n(a 1 a n ) 2 ， 把把 a n a 1 (n 1)d 代入中，得代入中，得 3 3、等比数列通项公式、等比数列通项公式 已知等比数列a a n n 的首项为a a 1 1 ，公比为 q，证明数列a a n n 的通项公式为 a a n n a a 1 1q q n n-1-1 类比等差数列通项公式的证明，用“叠乘法”证明用“叠乘法”证明 3 3、等等比数列前比数列前 n n 项和项和 内内 容容 ： a n是是 等等 比比 数数 列列 ， 公公 比比 为为 q ， 首首 项项 为为 a 1 ， S n 为为 其其 n 前前 项项 和和 ， 则则 S n=

27、 = na 1 ,(q 1) a 1 a n qa 1 (1 qn) 1 q 1 q ,(q 1) 证明：证明： S n a 1 a 1q a1q 2. a 1q n1 qS n a 1q a1q 2 a 1q 3. a 1q n n(1q)S a a q n11 得：得：， a 1 a 1q na 1 (1 qn)a 1 a n q n1Sa a q q 11 q1 q1q nn1 当当时，时，把把代入中，得代入中，得 S n 当当 q 1时，很明显 时，很明显 S n na1 na 1 ,(q 1) a 1 a n qa 1 (1 qn) 1 q 1 q ,(q 1) 所以，所以， S n

28、= = 考题（考题（20132013 陕西文）陕西文） 17.设Sn表示数列a n 的前n项和. () 若a n 为等差数列,推导Sn的计算公式; 1 qn () 若a11,q 0, 且对所有正整数n, 有S n . 判断a n 是否为等比数列. 1 q 解：() 设公差为 d,则an a 1 (n 1)d S n a 1 a 2 a n1 a n 2S n (a 1 a n )(a 2 a n1 ) (a n1 a 1 )(a n a 1 ) Sn a n a n1 a 2 a 1 2S n n(a 1 a n ) S n n(a 1 a n )n1 n(a 1 d). 22 （北师大版数学

29、必修五（北师大版数学必修五-课本证明方法）课本证明方法） () a11，q 0,由题知q 1， * 1qn1qn11qnqnqn1 n N ，S n a n1 S n1 S n qn 1 q1 q1 q1q 1 a n n1 q n 1 n 2 a n qn1，nN *. 所以,数列an是首项a11,公比q 1的等比数列， 2 2、 （20132013 陕西理）陕西理）17.设a n 是公比为q的等比数列. () 推导a n 的前n项和公式; () 设q1, 证明数列an1不是等比数列. 解：() 分两种情况讨论， 当q 1时，数列an是首项为a1的常数数列，所以S n a 1 a 1 a 1

30、 na 1. 当q 1时，S n a 1 a 2 a n1 a n qS n qa 1 qa 2 qa n1 qa n . （1-q)S n a 1 (a 2 qa 1 ) (a 3 qa 2 ) (a n qa n1 ) qa n a 1 qa n . 上面两式错位相减: a 1 qa n a 1 (1qn) S n . ， 1-q1-q na 1, 综上，S n a 1 (1qn) 1q , (q 1) (q 1) （北师大版数学必修五（北师大版数学必修五-课本证明方法）课本证明方法） () 使用反证法， 设a n 是公比q1 的等比数列, 假设数列a n 1是等比数列.则 * 当n N

31、，使得an1=0 成立，则a n 1不是等比数列， a n1 1a 1q n1 恒为常数 当n N ，使得an1 0成立，则 n1a n 1a 1q 1 * a 1q n1 a 1q n11当a 1 0时,q 1，这与题目条件q1 矛盾， 综上两种情况，假设数列a n 1是等比数列均不成立，所以当q1 时, 数列a n 1不是等比数 列， 第二章第二章解三角形解三角形 1 1、正弦定理证明（ 正弦定理证明（p45p45） 内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 abc . sin Asin BsinC 即即 b C a 已知：在

32、已知：在ABC中，中， a,b,c 分别为角分别为角 A,B,C 的对边，的对边， abc . sin Asin BsinC 求证：求证： A D B 证明：方法方法 1 1利用三角形的高证明正弦定理利用三角形的高证明正弦定理 （1）当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD， 根据锐角三角函数的定义，有CD b sinA CDasinB， ab 由此，得 sinAsinB ，同理可得 a c sinC b sinB， b 故有sinAsinB sinC.从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高， 交 AB 的延长线于点 D，根据

33、锐角三角函数的定义， 有CDasinCBDasinABC，CD b sinA， a c C b a 由此，得 a sinA b sin ABC c ，同理可得 c sinC b sinABC A BD 故有 sinA b sinABC sinC. （3）在RtABC中， ab c sin Asin B ， sin A ab ,sin B , cc C 90,sinC 1. abc . sin AsinBsinC a 由(1)(2)（3）可知，在ABC 中，sinA 方法方法 2. 2. 外接圆证明正弦定理外接圆证明正弦定理 b sinB c sinC成立. 在ABC中,已知BC=a,AC=b,

34、AB=c,作ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B,设 BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 BAB=90，C=B， sinC=sinB=sinC sinB c . 2R c 2R. sinC ab 2R, 2R. 同理,可得 sin AsinB abc 2R. sin AsinBsinC 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式 abc . sin AsinBsinC 方法方法 3. 3. 向量法证明正弦定理向量法证明正弦定理 方法方法 4. 4. 等面积法（略）等面积法（略） 2 2、余弦定理证明（ 余弦定理证明（p49

35、p49） 内容：内容： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之 积的两倍，即 证明：方法证明：方法 1 1 向量法证明向量法证明 方法方法 2 2 三角形证明三角形证明（过程如下考题）（过程如下考题） 考题（陕西考题（陕西 20XX20XX 年文、理年文、理 1818） 叙述并证明余弦定理，叙述并证明余弦定理， 解余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角 的余弦之积的两倍，或：在ABC 中，a,b,c 为 A,B,C 的对边，有 证法一证法一 如图 v 2 uuu v uuu vuuu v 2 uuu v uuu vuuu vuuu

36、 vuuu vuuu vuuu a BC BC (AC AB)(AC AB) AC 2AC AB AB 2 uuu v 2 uuu vuuu vuuu v 2 AC 2 AC AB COSA AB b22bccos Ac2 即a2 b2c22bccos A 同理可证b2 a2c22accosBc2 a2b22abcosC 证法二证法二 已知ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， 建立直角坐标系，则C(bcos A,bsin A),B(c,0), a2 BC2 (bcosAc)2(bsin A)2 b2cos2A2bccos Ac2b2si

37、n2A b2c22bccos A 同理可证b2 a2c22accosB c2 a2b22abcosC 第三章第三章不等式不等式 （无）（无） 数学选修数学选修 2-12-1 第一章第一章 常用逻辑用语（无）常用逻辑用语（无） 第二章第二章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1 1、空间向量基本定理：、空间向量基本定理： 2 2、线面垂直判定定理（、线面垂直判定定理（p40p40 例例 1 1） 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 3 3、面面平行判定定理（、面面平行判定定理（p40p40

38、例例 2 2） 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 4 4、三垂线定理（、三垂线定理（p41p41 例例 3 3） 考题（考题（20122012 陕西理陕西理18 题） （1） 如图， 证明命题 “a是平面内的一条直线，b是外的一条直线 （b不垂直于） ， c是直线b在上的投影，若a b，则a c”为真 （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明） 【解析】 （）证法一证法一 如图，过直线b上一点作平面 的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n， 则 b ， c ，

39、n 共 面 . 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 ， 存 在 实 数 ， 使 得 c b n ， 则 ac a(b n) (ab) (an) ，因为 a b ，所以ab 0， 又因为 a ， n ，所以 an 0 ，故 ac 0 ，从而 a c . 证法二证法二如图，记cb A,P为直线b 上异于点 A 的任意一点，过 P 作 PO ,垂足为O,则 Oc . PO ,a ， 直线 PO a ，又 a b ，b 平面 PAO,POb P , a 平面 PAO，又c 平面 PAO， a a c . （）逆命题为：a是平面 内的一条直线，b是平面外的一条直线（b不垂直于） ，c 是直线 b在上的投影，若a b，则a c .逆命题为真命题 第三章第三章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 1 1、椭圆标准方程、椭圆标准方程 （）的推导 的推导 解、以和所在