高等数学-课后习题第十二章

1、。 习题十二习题十二 1写出下列级数的一般项： 111 1 357 (1) (2) ； xxx xx2 2242462468 ； ； a3a5a7a9 579 (3) 3 1 U n 2n1 ；解：(1) U n (2) x n 2 2n!； n1 (3) 2求下列级数的和： U n 1 a2n1 2n1 ； (1) xn1xnxn1 n1 1 ； (2) n1 n 2 2 n1n ； 111 2 3 5 (3) 55 ； un 1 xn1xnxn1 解：(1) 111 2xn1xnxnxn1 11111 Sn 2xx1x1x2x1x2x2x3 11 xn1xnxnxn1 111 x2 x1x

2、nxn1 从而 11 limS n n 2xx1 ，故级数的和为 2xx1 因此 (2)因为Un n2 n1n1n -可编辑修改- 。 Sn 3 22 1 4 33 2 5 44 3 n2 n112 1 12 n2 n1 n2 n1n1n 从而 所以n limS n 12 ，即级数的和为1 2 111 S n 2 n555 1 1n 1 5 5 1 1 5 1 1n 1 4 5 (3)因为 从而 3判定下列级数的敛散性： limS n n 11 4 ，即级数的和为 4 (1) n1 n1n ； 111 (2) 166111116 1 5n45n1 ； ； n22223 n1 2 3 3 1 n

3、33 (3) 33 1111 3 n 555 (4) 5 ； Sn 2 13 2 解：(1) 从而n n1n n11 ，故级数发散 limS n 11111111 Sn 1 5 661111165n45n1 11 1 55n1 (2) 11 limS n n 5 ，故原级数收敛，其和为 5 从而 2 q 3 的等比级数，且|q|N时，对任何自然数P恒有 U n1 U n2 0，取 U np 成立，由柯 1n1 n 西审敛原理知，级数n1 收敛 (2)对于任意自然数P，都有 -可编辑修改- 。 U n1 U n2 U n p cosn pxcosn1xcosn2x 2n12n22np 111 n

4、1 n2 np222 1 1 1 2n12p 1 1 2 1 1 n 1 2 2p 1 n2 1 log 2 UU n2 ，于是， 0(0N时， 对任意的自然数P都有 n1 成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛 (3)取P=n，则 U np U n1 U n2 U np 111111 32n132n232n3 3 n11 3n123n1 3 11 3n1132n1 n 6n1 1 12 1 0 12 ，则对任意的nN，都存在P=n所得 U n1 U n2 U np 0，由柯西审敛原理 从而取 知，原级数发散 5用比较审敛法判别下列级数的敛散性 111 4657n3n5 (1) 12131n 1

5、22212131n (2) sin 3n (3)n1 ； ；(4) n1 1 2n3 1 n ； 1 n1 a n1(5) 解：(1) a 0 ；(6) 2 n1 1 U n 11 2n3n5n -可编辑修改- 。 1 2 而n1 n (2) 收敛，由比较审敛法知 U n1 n 收敛 U n 1n1n1 221nnnn 1 而n1 n 发散，由比较审敛法知，原级数发散 sin nn33 lim lim nn 1 3n3n (3) sin n33n 也收敛n1而收敛，故n1 sin U n (4) 1 2n3 1 n3 1 1 n 3 2 而 n1 1 n 3 2 收敛，故 n1 2n3 收敛

6、11 11 U n nn 1anan ，而n1 a 收敛，故n1 1a (5)当a1 时， 11 limU n lim 0 nn2 2 当a=1 时，级数发散 1 limU n lim1 0 nn1an 当 0a1 时，原级数收敛，当 0a1 时，原级数发散 2 1 ln2 1 1 1x 2x11 lim ln2 2n1 x0 n n n1n1 x (6)由知而发散，由比较审敛法知 lim 1 n 发散 6用比值判别法判别下列级数的敛散性： n2 n3 n1(1) ；(2) 3 n1 n! n1 ； 33233 2332 (3) 1222 3n nn2 ； 2nn! nn n1(1) n2 U

7、 n n3 解：(1) U n1 n123n1 lim lim n1 2 1 n U n 3n3 n， 由比值审敛法知，级数收敛 -可编辑修改- 。 U n1 n1! 3n1 lim lim n1 n U n3 1n! n 3n1 limn1 n1 n 31 (2) 所以原级数发散 U n1 3n1n2n lim lim nn1 n U n 23 n1 n lim 3n 2n1 n (3) 所以原级数发散 3 1 2 U n1 2n1n1!nn lim lim nn1 n U n 2 n! n1 n n lim2 n n1 12 2lim1 n n e 1 1 n n n (4) 故原级数收敛

8、 7用根值判别法判别下列级数的敛散性： 5n 3n1 (1)n1 n 3n1 n1(3) ；(2) ln n1 1 n1 n ； 2n1 ； b a n1 n (4) n n ，其中ana（n） ，an，b，a均为正数 解：(1) 故原级数发散 n limnU n lim 5n5 1 n3n1 3 ， limnU n lim (2) 故原级数收敛 1 lnn1 2 n 0 1 ， 1 n n limnU n lim nn3n1 (3) 故原级数收敛 n 1 1 9 ， bb b lim n lim nna a n a n (4)， -可编辑修改- 。 bbb 当ba时， a a时， a 1，原

9、级数发散；当b=a时， a 8判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ =1，无法判定其敛散性 111 1 234 (1)； 1 1111 111 2 3 4 5 35 3 (3) 5 35 3 n n1 2 1 n! (4)n1 2 (2) 1n1 n1 1 lnn1 ； ； ； n 1 1 nn (5) 1n1 n1 1 n R ； 11 1 23 (6) n1 U n 1 解：(1) n1 1 n ，级数 n U n n1 是交错级数，且满足 111 lim 0 nnn1 ， n ，由莱布 U 尼茨判别法级数收敛，又 n1 n1 1 n 1 2 是P1 时，由级数 n n1

10、 1 收敛得原级数绝对收敛 当 01 时，交错级数 1n1 n1 n1 1 n 11 n n1 满足条件： 1 0 nn ；，由莱布尼茨判别法 lim 知级数收敛，但这时 当 0 时，n 1 n1 11 n n1 n 发散，所以原级数条件收敛 limU n 0 ，所以原级数发散 -可编辑修改- 。 11 1 23 (6)由于 1 11 n nn 1 而n1 n 发散，由此较审敛法知级数 11 1 23 n1 n 1 1 nn 发散 11 U n 1 23 记 1 1 n n ，则 11 U n U n1 1 23 11 1 23 1 1 23 0 即 11 1 1 2 n nn1n1 1 1

11、1 2 n nn1n1 11 1 1 2 n nn1 nn1 n1 U n U n1 111 limU n lim 1 nn n 23 1 n 1 dx n 0 x 又 1 1 t 1 limdx lim t 0 0 xt1 由 tt 1 n 11 1 limU n 0 23 知n，由莱布尼茨判别法，原级数n1 9判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性 n 1 1 nn 收敛，而且是条件收敛 (1) n1! n1 xn ，x-3,3； xn 2n n1(2) ，x0,1； sin nx n3 n1(3)，x(-,+)； enx n! (4) n1，|x|0，N()0，使得当nN时，x有 |

12、Vn +1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x)|0，N()0，使得当nN时，x有 |Un +1(x)+Un+2(x)+Un+p(x)|Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x) |Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x)|， V n x 因此，级数n1在区间上处处收敛，由x的任意性和与x的无关性，可知 致收敛 11求下列幂级数的收敛半径及收敛域： U n x U n1 n x 在上一 (1)x+2x+3x+nx+； 23n x n! n n1(2) n ； x2n1 2n1 ；(3)n1 x1n 2n 2n n1(4)； lim 解：(1)因为 n a n1 n11 lim1R 1

13、 n na n ，所以收敛半径收敛区间为(-1,1)，而当x=1 n 时，级数变为 1 n1 n ，由 lim(1) n 0 xn n 知级数 (1) n1 nn 发散，所以级数的收敛域为(-1,1) 1 (2)因为 n a n1 1 nn1!nn n 1 lim lim lim lim e 1 n1 n a n n! n n1nn1 n n -可编辑修改- 。 R 所以收敛半径 1 e ，收敛区间为(-e,e) enn 1 xxee lim nn ；应用洛必达法则求得 x0 x2 ，故有当x=e 时，级数变为n1 a n1 1 1 1limn n 2 由拉阿伯判别法知， a n 级数发散；

14、易知x=-e 时， 级数也发散， 故收敛域为(-e,e) (3)级数缺少偶次幂项根据比值审敛法求收敛半径 1 U n1 x2n12n1 lim lim 2n1 n U n2n1x n lim x2 n 2n1 2x 2n1 22所以当x1 即|x|1 即|x|1 时，级数发散，故收敛半径R=1 1 2n1 1 0lim 11 n 1 2 n 当x=1 时，级数变为n1 2n1 ，当x=-1 时，级数变为n1 2n1 ，由知， 11 n1 2n1 发散，从而n1 2n1 也发散，故原级数的收敛域为(-1,1) a n1 n22ntn lim lim1 2 2 n a n 2n 2n n1n1 n

15、(4)令t=x-1，则级数变为n1，因为 所以收敛半径为R=1收敛区间为 -1x-11 即 0x2. 1 32n n1当t=1 时，级数 收敛，当t=-1 时，级数 1n n1 1 2n3 为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收 敛 所以，原级数收敛域为 0 x2，即0,2 12利用幂级数的性质，求下列级数的和函数： (1) nx n1 n2 ； x2n2 2n1 ；(2) n0 n1xn3 lim x n2 nnx 解：(1)由 Sxnx n1 x n2 知，当|x|=1 时，原级数收敛，而当|x|=1 时，n1 于 0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1) nx n2 的通项不趋 x3 记

16、nx n1 n1 易知 nx n1 n1 的收敛域为(-1,1)，记 S 1 xnxn1 n1 则 0 S 1 xxn n1 x 1 x 1 x S 1 x 2 1 x1 x 于是 Sx ，所以 x3 1 x2 x1 x2n42n1 2lim x n2n3x2n2 (2)由知，原级数当|x|1 时收敛，而当|x|=1 时，原级数发散，故原级数的收 -可编辑修改- 。 x2n2x2n1x2n1 Sx x 2n12n12n1 收敛域为(-1,1)，记 n0n0敛域为(-1,1)，记，易知级数n0 x2n11 S 1 xS 1 xx2n 1 x2 n0 2n1 ，则n0 ， 11 x11 x lnS

17、 S ln 1 x 1 0 0 21 x 即 21 x ， S10 0 ，所以故 x1 x Sx xS 1 xln x1 21 x x S 1 xdx 13将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间： 2(1)f(x)=ln(2+x)；(2)f(x)=cosx； fx (3)f(x)=(1+x)ln(1+x)；(4) x2 1 x2 ； (5) fx x 3 x2 ；(6) (7)f(x)=e cosx；x(8) 1 fxex ex 2 ； 1 fx 2 x2 解：(1) x x fx ln2 x ln2 ln2ln1 1 22 n xn ln1 x1 n1 ，(-1x1) n0由于 x

18、n1 x n ln1 1 n12 2n1 n0故，(-2x2) xn1 ln2 x ln21 n12 n1 n0因此 n ，(-2x2) (2) fx cos2x n 1cos2x 2 x2n cosx 1 2n! ，(-x+) n0由 n2n2x2n n 4 x cos2x 11 !2n! 2n n0n0得 n 所以 f (x) cos2x 11 cos2x 22 n2n11 n 4 x 1 22 n0 2n! n ，(-x+) (3)f(x)=(1+x)ln(1+x) 由 所以 ln1 x1 n0 xn1 n1 ，(-1x1) -可编辑修改- 。 xn1 fx1 x1 n1 n0 n n2

19、xn1 n x 11 n1n1 n0n0 n n1xn1 n1 x x11 n1n n1n1 n 1nn1n1n1 n1 xx nn1 n1 1n1 n1 xx n1 nn1 (-1x1) fx (4) x2 1 x2 由于 1 x2 12n1! 2n11nx 2 2n! n1 1 x 2 x2 1 (-1x1) 故 2n1! 2n x fx x 1 1n ! 2n n1 2n1! 2n12 x 1nx ! 2n n1(-1x1) x1 fx x23 1 3 2x n x 1 3 n0 3 n (5) x x2n1 1 n13 n0 n x 3 xn e n0 n! ，x(-,+)(6)由 e

20、 得 x 1nxn n! n0 ，x(-,+) 1 fxex ex 2 1xn 1nxn 2 n0 n! n0 n! 1xn n 1 1 n!2 n0 所以 x2n1 n0 2n1! x, 1ixx x e e cos xisin xe cos x (7)因为为的实部， -可编辑修改- 。 e1ix 1 n1ix n0 n! xn 1in n0 n! xn 2cosisin 44 n0 n! n 而 xn n n n 22 cosisin 44 n0 n! excosx n0 2 cos n! n 2 n 4 xn (-x+)取上式的实部得 1 2 1 x n0 (8)由于 11 fx 4 x

21、 2 1 2 而 nxn1 |x|1 ，所以 1 x fxn 4 n0 2 fx n1 nxn1 n1 n0 2 (|x|2) 1 x23x2 展开成(x+4)的幂级数14将 111 2x1x2 解： x 3x2 而 11 x13x4 11 3 1 x4 3 1 x4 3 n0 3 n x4 1 3 x4n n13 n0 7 x 1 又 -可编辑修改- 。 11 x22x4 11 2 1 x4 2 n 1 x4 2 n0 2 x4 1 2 所以 x4n 6 x 2 n12 n0 1 fx 2x 3x2 x4nx4n n1 32n1 n0n0 1 1 n1 n1 x4n 6 x 2 3 n0 2

22、 fxx3 展开成(x-1)的幂级数15将函数 解：因为 1 xm1 所以 mmm1 2xx 1!2! mm1mn1 nx n! 1 x 1 fxx3 1x1 3 2 3 3 3 1 2 1 2 x1 2 x12 1!2! (-1x-10，使|n Un|M， -可编辑修改- 。 M 2 即n|Un|M，|Un| n M U n 2n 而n1收敛，故n1绝对收敛 2 20证明，若 U n n1 2 U n 收敛，则n1 n 绝对收敛 证： U n 1 U n nn 2 n U n 2 1 n2 1 U 2 1 1 n 222 n2 而由 U n1收敛， n n1 1 2 收敛，知 U n 1 2

23、 1 1 U n 2 2 n 收敛，故n1 n n1 2 收敛， U n 因而n1 n 绝对收敛 21若级数n1与n1都绝对收敛，则函数项级数 证：Un(x)=ancosnx+bnsinnx，xR有 a n b n a n1 n cosnx b n sinnx 在R上一致收敛 U n x a n cosnxb n sinnx a n cosnx b n sinnx a n b n 由于 a n1 n 与 b n1 n 都绝对收敛，故级数 a n1 n n b n 收敛 在R上一致收敛由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数n1 22计算下列级数的收敛半径及收敛域： a cosnx b n sinnx

24、 3n1 n x (1) n1 n1 ； n (2) sin 2 n1 n x 1 n ； x 1n 2nn 2 n1(3) a n1 lim n a n lim 3n 3 1 nn 2 lim 解：(1) n n1 n 1 3n 1 n n 3n 113n 3 1 n 1 limlim n n n 2 n 2 3n 1 n 3e1e 3 R 1 3 3 ， -可编辑修改- 。 x 又当 3 3 3n1 3 n 3n 3 1 n1n1 n133n3 时，级数变为 nn n ， lim 3n3 e n 3n3 因为 x 所以当 n 33 3 0 3 3 R ，级数发散，故原级数的收敛半径 33

25、3 ，收敛域(- 3 , 3 3 ) lim (2) n a n1 lim n a n sin 2n1 lim 2n1 1 n 2 sin n22n R 故 1 2 ， n n 2 limsin n 2 lim 0 nn 2 2n 又 n sin x 1 n2 n1所以当(x+1)=2 时，级数发散， sin 从而原级数的收敛域为-2x+12，即-3x1，即(-3,1) a n1 n22n1 lim lim 2n1 n a n 22 n1 n(3) R 2 ，收敛区间-2x-12，即-1x2 时，有 在-3,+)上一致收敛 nn 2nxn n 1 n1 1 lim 2 1 nn n n 2 n

26、n n2 n1 2 由知级数收敛， 由魏尔斯特拉斯判别法知， 级数n1 x n nn1 222 2 x2 n2n4n3 x n1 n n1 (3)xR有 在(2,+)上一致收敛 n 1 22 223x n1 x n nn 1 在(-,+)上一致收敛n1而收敛， 由魏尔斯特拉斯判别法知， 级数 25求下列级数的和函数： (1) 1 n1 n1 x2nx2n1 2n 1 ；(2)n0 2n 1 ； n1 (3) n 1!x n1 n ；(4)n1 nn1 xn 解：(1)可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1 时，级数 敛域为-1,1 1n1 n1 1 2n 1 是收敛的交错级数，故收 记

27、Sx1 n1 n1 2n1 x2n n1 x x1 xS 1 x 2n12n1 n1 则S 1(0)=0, S 1 x 1n1x2n2 n1 1 1 x2 所以 即S 1(x)=arctanx，所以 S(x)=xarctanx，x-1,1 S 1 x S 1 0 1 dx arctanx 01 x2 x x2n1 Sx n0 2n 1 则(2)可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1 时，原级数发散记 1 1 x2 n0 xx 111 x11 x S dx dx lnS S ln x0 0 x 01 x2 21 x ，即 21 x ，S(0)=0 11 x Sxln 21 x ，(|x|1

28、)所以 S x x2n -可编辑修改- 。 an1 lim n na (3)由 n 1 lim n! 0 n nn Sx xn1 n1! n1 n1! 知收敛域为(-,+)记则 x 0 Sxdx n1 xn n1! x n1 xn1 n1! xex ，所以 Sxxex1 xex ，(-x+) 1 lim n1n2 1 1 n 1 nn1n n1 (4)由知收敛半径R=1， 当x=1 时， 级数变为 n1 1 ， 由 nn 1 1 n2 1n nn1 是收敛的交错级数，故收敛域为-1,1知级数收敛，当x=-1 时，级数变为n1 xn1 SxxSx n1 nn1 则S(0)=0， n1 nn 1

29、，记 1 xSx xn1 1 x （x1）n1 xn xSx 所以0 x x dx ln1 x ln1 x xS x 即 dx ln1 xdx 1 xln1 x x xS x 0 0 x 即 xSx1 xln1 x x 1 Sx11ln1 x x 当x0 时，又当x=1 时，可求得S(1)=1 1 limSx lim1 1 nn n 1 （） 综上所述 x 0 0, Sx x 1 1, 1 1 1ln1 x,x 1,0 x 0,1 26设f(x)是周期为 2 的周期函数，它在(-,上的表达式为 试问f(x)的傅里叶级数在x=- 处收敛于何值？ 解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=- 是它的

30、间断点，在x=- 处，f(x)的傅里叶级数收敛于 2 x 0, f x 3 x 0 x . f f 1 3 1 22 3 222 -可编辑修改- 。 27写出函数 解：f(x)满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f(x)，在间断点x=0，x= 1 x 0 f x 2 x 0 x 的傅里叶级数的和函数 处，分别收敛于 f 0 f0 1f f 21 22 ， 22 ， f f 21 22 ，综上所述和函数 28写出下列以 2 为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在-,)上的表达式为： 1 x2 Sx 1 2 2 1 2 x 0 0 x x 0 x (1) (2) f

31、 x 4 4 0 x , x 0; fx x2 x ； (3) , x , 22 fxx, x , 22 , x ; 22 fx cos x 2 (4) x . -可编辑修改- 。 解：(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件，x=n，nz是其间断点，在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛 于 f 0 f0 4 4 0 22 ，在xn，有 1 1 0 1 a n fxcosnxdx cosnxdx cosnxdx 0 - 4 0 4 1 1 0 1 b n fxsinnxdx sinnxdx sinnxdx - 4 0 4 0, n 2,4,6, 1 ,n 1,3,5,. n 于是f(x)的傅里叶

32、级数展开式为 fx 1 sin2n 1x 2n 1 n1(xn) (2)函数f(x)在(-,+)上连续，故其傅里叶级数在(-,+)上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，从 而f(x)cosnx为偶函数，f(x)sinnx为奇函数，于是 1 2 221 b n fxsinnxdx 0a 0 x dx - 3 ， - ， 1 2 4 n a n fxcosnxdx x2cosnxdx 1 2 - 0 n 所以，f(x)的傅里叶级数展开式为： (n=1,2,) 24 n fx 1 2 cosnx 3 n1 n (-x) (3)函数在x=(2n+1)(nz)处间断，在间断点处，级数收敛于 0，当x

33、(2n+1) 时，由f(x)为奇函数， 有an=0,（n=0,1,2,） 2 2 b n fxsinnxdx 2xsinnxdx sinnxdx 0 0 2 2 12n n 1 2 sin n 1,2, nn 2 所以 2 n n1 1 fx 1 2 sin sinnx nn 2 n1 (x(2n+1),nz) x fx cos 2 作为以 2 为周期的函数时， 处处连续， 故其傅里叶级数收敛于f(x)， 注意到f(x)(4)因为 为偶函数，有bn=0(n=1,2,)， -可编辑修改- 。 1 x2 x a n coscosnxdx coscosnxdx - 2 0 2 1 1 1 cosn

34、x cosn xdx 0 22 1 1 sin n xsin n x 1 22 11 n n 22 0 1 n1 4 1 n 0,1,2, 4n 21 所以f(x)的傅里叶级数展开式为： 24 n1 cosnx fx 1 n1 4n2 1 x-, 29.将下列函数f(x)展开为傅里叶级数： (1) (2) fx x 42 x fx sinx 0 x 2 1 1 x a 0 fxcosnxdx dx - 4 22 解：(1) 1 x 1 1 cosnxdx cosnxdxxcosnxdx - 4 242 1 sinnx 0 0 n 1,2, 4n 1 x 1 1 b n sinnxdx sinn

35、xdx xsin nxdx - 4 242 n 1 1 n n sinnx fx 1 4 n1 n (-x)故 a n (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在0,2上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函 a 0 数，有bn=0, 1 1 f x cos0 xdx sin x dx 2 4 sin xdx 0 -可编辑修改- 。 2 2 a n fxcosnxdx sin xcosnxdx 0 1 sinn1xsinn1x dx 0 2 n 1 1 2 n 1 n 1,3,5, 0, 4 ,n 2,4,6, n2 1 所以 (0 x2) 30.设f(x)=x+1(0 x)，

36、试分别将f(x)展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f(x)作奇延拓，则有an=0 (n=0,1,2,) 24cos2nx fx n1 4n21 b n 2 2 f x sinnxdx x 1sinnxdx 00 n 2 1 1 1 n n 211 1 fx sinnx n n1从而(0x) 若将f(x)作偶延拓，则有bn=0 (n=1,2,) 从而 2 2 a n fxcosnxdx x1cosnxdx 0 0 n 2,4,6 0, 4 ,n 1,3,5, n2 1 2 a 0 fxdx x 1dx 2 0 24cos2n 1x fx 2 n1 2n 12 (0 x) 1 2 31.将f(x)

37、=2+|x| (-1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数n1 n 的和. 解：f(x)在(-,+)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f(x)是偶函数，故bn=0,(n=1,2,) a 0 fxdx 2 2 xdx 5 10 11 a n fxcosnxdx 2 2 xcosnxdx 10 11 n 2,4,6 0, 4 ,n 1,3,5, n2 所以 -可编辑修改- 。 54 fx 22 n1 cos2n1x 2n1 2 2 ，x-1,1 取x=0 得， n1 1 2n1 2 8 ，故 111112 2 222 n4 n1 n8 n1n1 2n1 n1 2n 1 2n6 所以n1

38、 32.将函数f(x)=x-1(0 x2)展开成周期为 4 的余弦级数. 解：将f(x)作偶延拓，作周期延拓后函数在(-,+)上连续,则有bn=0 (n=1,2,3,) 2 1 2 f x dx 0 x1dx 0 2 2 2 1 2 nxnx a n fxcosdx x1cos dx 0 2 2 22 4 n 22 11 n n 2,4,6, 0, 8 ,n 1,3,5, n22 2n1x 81 fx 2 cos n1 2n122 a 0 故(0 x2) 33.设 1x, 0 x , a 0 2 fxsxa n cosnx 2 n1 22x, 1 x 1, 2 ，-x+，其中 1 0 a n

39、2 5 s fxcosnxdx ，求 2 . 解：先对f(x)作偶延拓到-1,1，再以 2 为周期延拓到(-,+)将f(x)展开成余弦级数而得到s(x)，延 x 拓后f(x)在 5 2 处间断，所以 5 1 s f 22 5 2 113 1 22 4 2 5 1 f f 2 2 1 2 1 f 2 34.设函数f(x)=x(0 x1)，而 sx b n sinnx n1 ，-x+，其中 b n 2 1 0 1 s fxsinnxdx (n=1,2,3,)，求 2 . 解：先对f(x)作奇延拓到,-1,1，再以 2 为周期延拓到(-,+)，并将f(x)展开成正弦级数得到s(x)， -可编辑修改-

40、 。 x 延拓后f(x)在 1 2 处连续，故. 2 1 s f 2 1 1 1 4 . 2 2 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为： 1 1 x 22 ；(1)f(x)=1-x2 (2) 解： （1）f(x)在(-,+)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f(x)，由于f(x)为偶函数，有bn=0 (n=1,2,3,) 2x1,3 x 0, fx 0 x 3. 1, 1 2 1 2 1 2 0 a 0 2fxdx 4 1 x2dx a n 2 1 2 1 2 1 2 0 11 6 ， fxcos2nxdx 4 1 x2cos2nxdx n1 2 1 2n n 1,2, n1 所以 111 1 fx 2 12 n1 n2 a 0 cos2nx (-x+) 3 1 3 1 0 fx dx 2x1 dxdx 1 3 0 3 3 3 (2)， 1 3 nx a n fxcosdx 3 33 1 0 nx1 3 nx 2x1cos dxcosdx 30 3333 6 n 22 11,n 1,2,3, n 1 3 nx b n