高考数学(文、理)一轮复习考点分类题库考点《解三角形应用举例》

1、温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适滑动鼠标滚轴，调节合适 的观看比例，关闭的观看比例，关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 1818 解三角形应用举例解三角形应用举例 一、填空题一、填空题 1. (x(x福建高考理科福建高考理科T13)T13)如图,在ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD AC, sinBAC= 2 2 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长 3 为. 【解题指南】显然,sinBAC=cosBAD,用余弦定理. 【解析】sinBAC= 2 2 =sin

2、( BAD )=cosBAD, 32 在BAD 中,BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=18+9-23 23 2 2 =3, 3 所以 BD= 3. 【答案】 3 二、解答题二、解答题 2.（x x重庆高考理科重庆高考理科2020）在ABC中，内角A、B、C的对边分 别是a、b、c，且 a2b22ab c2 （）求C； （）设 cos AcosB 3 2cos( A)cos( B)2 ，求tan的值 25cos5 【解题指南】直接利用余弦定理可求出C的值，由和差公式及C的 值通过化简可求出tan的值. 【解析】（）因为a2 b22ab c2 a2b2c22ab23 cosC .C

3、由余弦定理有故. 2ab2ab24 （）由题意得(sinsin Acoscos A)(sinsinBcoscosB) 2 . 5cos2 2 . 5 因此 (tansin Acos A)(tansinBcosB) 2 . 5 (tansin Acos A)(tansinBcosB) tan2sin AsinBtansin(A B)cos AcosB 2 . 5 因为C 23 sin(A B) A B , 所以 244 因为cos(A B) cos AcosBsin Asin B,即 3 222 . 5210 3 22 sin AsinB , 52 解得sin AsinB 由得tan2 5tan

4、40, 解得tan 1或tan 4. 3. （x x重庆高考文科重庆高考文科1818）在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且a2=b2+c2+ 3ab. （）求A； （）设 a= 3,S 为ABC 的面积,求 S+3cosBcosC的最大值,并指出 此时 B 的值. 【解题指南】直接利用余弦定理可求出A的值，再利用正弦定理求 解 S+3cosBcosC 的最大值，并指出此时B的值. b2c2a23bc3 【解析】（）由余弦定理得cos A . 2bc2bc2 又因为0 A,所以 A 5 . 6 1 2 （）由（）得sin A ,又有正弦定理及a 3得 11asin B S

5、 bcsin A asinC 3sin BsinC, 22sin A 因此,S 3cosBcosC 3(sinBsinC cosBcosC) 3cos(BC). 所以,当B C,即 B A 12 12 时,S 3cos BcosC取最大值3. 4. （x x山东高考理科山东高考理科1717）设ABC 的内角A，B，C所对的边分 别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=. （1）求a，c的值； （2）求 sin（A-B）的值. 【解题指南】（1）先由余弦定理b2 a2 c22accosB可得到 ac 的关 系式，再和已知 a+c=6 联立方程，可得 a，c 的值；（2）由 sinA B

6、sin AcosBcosAsinB知，需先求出 sinA,sinB,cosA,cosB 的 7 9 值，可先利用同角三角函数基本关系式求出sinB,然后由正弦定理求 出 sinA，进而求得 cosA，从而本题得解. 【解析】（1）由与余弦定理得b2 a2 c22accosB，得 b2 a c 2ac1 cos B 2 又a+c=6，b=2，cosB=，所以ac=9，解得a=3,c=3. 4 2 , 9 7 9 （2）在ABC 中，sin B 1cos2B asin B2 2 . b3 由正弦定理得sin A 因为 a=c，所以 A 为锐角. 所以 cos A 1sin2A . 2 2 71 4

7、 210 2 . 393927 1 3 因此sinA B sin AcosB cos Asin B 5.5.（x x福建高考文科福建高考文科2121）如图,在等腰直角OPQ中,POQ90o, OP 2 2,点M在线段PQ上. （I）若OM 5,求PM 的长; （II）若点N在线段MQ上,且MON 30o,问:当POM取何值 时,OMN的面积最小?并求出面积的最小值. 【解题指南】由等腰知P 45o，此时，OPM可解；第(II)问,按 “求什么设什么”列式求解，将面积表达式写出，利用三角函数计 算公式求解。 【解析】（）在OMP中，OPM 45，OM 5，OP 2 2， 由余弦定理得，OM 2

8、OP2 MP22OPMPcos45，得 MP24MP 3 0，解得MP 1或MP 3 （）设POM ，0 60， 在OMP中，由正弦定理，得 所以OM OPsin45 ， sin45 OPsin45 , sin75 1 2 OMOP ， sinOPMsinOMP 同理ON 故 S OMN OM ON sinMON 1OP2sin245 4sin45sin75 1 sin45sin4530 1 3 1 sin45sin45cos45 2 2 1 3 2 1 sin 45 sin45cos45 22 1 31 1cos 902 4 sin902 4 1 331 sin2cos2 444 1 31

9、sin230 42 因为0 60，30 230150，所以当30时，sin230 的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM 30时， OMN的面积的最小值为84 3 6.(x(x江苏高考数学科江苏高考数学科T18)T18)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山 至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿 索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速 直线运

10、动的速度为 130m/min,山路 AC 长为 x60m,经测量, cos A 123 ，cosC . 135 (1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速 度应控制在什么范围内? 【解题指南】(1)利用正弦定理确定出 AB 的长.(2)先设再建立时间 t 与甲、乙间距离 d 的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件 “使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟”建立不等式求 解. 【解析】(1)在ABC 中,因为 cosA= ,cosC= ,所以 sinA= ,sinC

11、= . 从而sinB=sin -(A+C) =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC = 5312463 ， 13513565 ABAC 由正弦定理 = ,得 sinCsinB AC 12604 AB=sinC= =1040(m). sinB 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了 (100+50t)m,乙距离 A 处 130tm,所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37t2- 13 70t+50), 1040 因 0t ,即

12、 0t8, 130 35 故当t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 BCACAC 12605 (3)由正弦定理=,得BC=sinA= =500(m). sinAsinBsinB 63 13 65 乙从B出发时,甲已走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710m 才能到 达C. 设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3 1250625 v , 4314 500710 3,解得 v50 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速 1250625 度应控制在， (单位:m/min)范围内. 4314 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原

13、板块。 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适滑动鼠标滚轴，调节合适 的观看比例，关闭的观看比例，关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 1919 平面向量的概念及其线性运算、平平面向量的概念及其线性运算、平 面向量的基本定理及向量坐标运算面向量的基本定理及向量坐标运算 一、选择题一、选择题 1.1.（x x辽宁高考文科辽宁高考文科3 3）与（）与（x x辽宁高考理科辽宁高考理科3 3）相同）相同 uuu r 已知点A(1,3),B(4,1),则与向量AB同方向的单位向量为（） A.

14、 34 ( , ) 55 3 4 (, ) 5 5 B. 43 ( , ) 55 4 3 (, ) 5 5 C.D. 【解题指南】利用向量的坐标运算和单位向量的定义求解. 【解析】选 A. 由点A(1,3),B(4,1)得向量 uuu ruuu ruuu r 22AB (3,4), AB 3 (4) 5，则与向量AB 同方向的单位向量为 uuu r AB(3,4)34 ( , ).uuu r 555 AB rrr 2. （x x广东高考文科广东高考文科1010）设a a是已知的平面向量且a a 0 0，关于向 r 量a a的分解，有如下四个命题：（ ） rrrrr 给定向量b b，总存在向量c

15、 c，使a a b bc c； rrrrr 给定向量b b和c c，总存在实数 和，使a a b bc c； rr 给定单位向量b b和正数 ，总存在单位向量c c和实数，使 rrr a a b bc c； rrrrr 给定正数和，总存在单位向量b b和单位向量c c，使 a a b bc c； rrr 上述命题中的向量b b，c c和a a在同一平面内且两两不共线，则真命题 的个数是 A 1B2C3D4 【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、 平面向量的几何意义等知识，可逐一检验. 【解析】选 B.利用向量加法的三角形法则，易得是真命题；利用 平面向量的基本定理，易得是真

16、命题；以a a 的终点作长度为的 圆，这个圆必须和向量 b b 有交点，这个不一定能满足，是假命 题；由向量加法的三角形法则（不共线两边的和大于第三边），即 u r u r rrr b b c c =+ a a，而给定的和不一定满足此条件，所以是假 命题. 3.（x x湖北高考文科湖北高考文科7 7）与（）与（x x湖北高考理科湖北高考理科6 6）相同）相同 已知点 A（1，1）、B（1,2）、C（2,1）、D（3,4），则向量 AB 在CD方向上的投影为（） 3 23 153 23 15 B. C. D. 2222 A. 【解题指南】考查了投影与数量积的关系。 uuu ruuu ruuu r

17、 【解析】选 A.AB 2,1, CD 5,5, CD 2525 5 2; 则向量AB在向 量CD方向上的投影为 uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r CD(2,1)(5,5)25153 2. AB cos AB,CD AB uuu r 22 25 2 CD5 5 rr 4.4.（x x陕西高考文科陕西高考文科2 2）已知向量a (1,m),b (m,2), 若a/b, 则 实数m等于 ( ) A 2 B. 2 C. 2 或 2 D. 0 【解题指南】根据条件建立关于 m 的方程，求解即得. 【解析】选 C. 因为a (1,m),b (m,2),且a/b,所以12 mm m

18、 2. 二、填空题 5.（x x四川高考文科四川高考文科x x）【备注：（）【备注：（x x四川高考理科四川高考理科x x）与之）与之 相比少图，其他相同】相比少图，其他相同】 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， uuu ruuu ruuu r AB AD AO，则 _。 D D O O A A B B C C 【解题指南】根据向量的平行四边形法则求解. uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 【解析】在平行四边形ABCD中，AB AD AC，而AC 2AO，所以 2 【答案】2 6. （x x天津高考理科天津高考理科x x）在平行四边形ABCD中,AD =

19、1, BAD 60, E为CD uuu ruuu r 的中点. 若 ACBE 1, 则 AB的长为 . uuu r uuu r 【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由 AD,AB表示 ruuu ruuuuuu ruuu r AC , BE ，再 ACBE 1求 AB的长. 【解析】 因为 AC ABAD,BE BA AD DE AB AD 1 AB AD 1 AB, 22 1所以 ACBE (AB AD)(AD AB) AD 2 uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 2 r uuu r 1 uuu r 2 1 uuu AD AB AB 22 uuu

20、ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu rr 2 11 uuu 11 AB cos60AB1, 22 所以1 uuu r 1 uuu r 2 uuu r 1 AB AB 0,解得AB . 422 【答案】 7. (x (x江苏高考数学科江苏高考数学科T10)T10)设 D,E 分别是ABC 的边 AB,BC 上的点, uuu ruu u ruuu r 12 AD AB，BE BC,若DE 1 AB 2 AC (1,2为实数),则1+2的 23 1 2 值为. uuu ruuu ruu u r 【解题指南】利用向量

21、加法的三角形法则,将 DE 转化为AB与AC 和的形式. 【解析】由 uuu ruu u ruur 1 uu u r 2 uu u r 1 uu u r 2 uuu r uu u rr 2 uuu r 1 uu u DE DB BE ABBCAB(AC AB) ABAC 232363 ,则1+2 的值为. 【答案】1 2 1 2 8.(x(x江苏高考数学科江苏高考数学科T13)T13) 在平面直角坐标系xOy中，设定点 A(a,a)，P是函数y 1 （x 0）图象上一动点，若点P，A之间的最 x 短距离为2 2，则满足条件的实数a的所有值为 【解题指南】设点利用两点间的距离公式,换元,讨论求最

22、值. 【解析】设 P(m,) (m 0)由两点间的距离公式得 1 a)2 m 1 m | PA|(ma)2( 11 m2()22a(m)2a2 mm (m 1 2 1 ) 2a(m)2a22 mm 令t m 1 2得| PA| t22at 2a22 (t a)2a22 .若 a2,则当 t=a 时, m | PA| min a22 2 2 a 10 ,解得a 10或a 10 (舍去);若 a-2,T=x|x2+3x-40,则 ( S)T=() A.(-2,1 B.(-,-4 C.(-,1 D.1,+) 【解题指南】【解题指南】先求集合 T,再求集合 S 的补集,最后求它们的并集. 【解析】【解

23、析】选 C.因为 T=x|-4x1, S=x|x-2,所以( S)T=x|x 1. 6.(x(x浙江高考文科浙江高考文科T1)T1)设集合 S=x|x-2,T=x|-4x1,则 S T=() A.-4,+) B.(-2,+) C.-4,1 D.(-2,1 【解题指南】【解题指南】根据集合交集的定义进行计算. 【解析】【解析】选 D.ST=x|-21 时,A=(-,1a,+)1a-1 解得 1a2; 当a1 时,A=(-,a1,+)aa-1a0，B=-2，-1， 0，1，则（CRA） B=（） A.-2，-1 B.-2 C.-2，0，1D.0，1 【解题指南】先求出 A 的补集，再计算（C RA

24、） B 的结果。 【解析】选 A。由x+10? x -1，所以C RA = x|x ?1，故得（C RA） B=-2，-1。 x.x.（x x北京高考文科北京高考文科1 1）与（）与（x x北京高考理科北京高考理科1 1）相同）相同 已知集合 A=1，0，1，B=x|1x1，则 A B= ( ) A.0 B.1，0 C.0，1 D.1,0,1 【解题指南】利用交集的定义进行计算。 【解析】选 B。AB=-1,0，故选 B。 x.(x(x福建高考文科福建高考文科T3)T3)若集合A=1,2,3，B=1,3,4，,则 AB 的子集 个数为() A.2B.3C.4D.16 【解题指南】先求集合 A

25、与集合 B 的交集,再求子集. 【解析】选 C. AI B 1,3,子集有 n=22=4 个. 13.13.（x x广东高考理科广东高考理科1 1） 设集合 M=x|x2+2x=0,xR,N=x|x2-2x=0,xR,则 MN= () A.0B.0,2C.-2,0D.-2,0,2 【解题指南】先化简集合 M,N,再求并集,与选项对应验证即可,要防 止出现误审题求成了 MN 的情况. 【解析】选 D.M=x|x2+2x=0,xR=-2,0,N=x|x2-2x=0,x R=2,0,MN=-2,0,2. 14.14.（x x广东高考文科广东高考文科1 1） 设集合 S=x|x2+2x=0,xR,T=

26、x|x2-2x=0,xR,则 ST=() A.0B.0,2C.-2,0D.-2,0,2 【解题指南】【解题指南】先化简集合 S,T,再求交集,与选项对应验证即可,要防止 出现误审题求成了 ST 的情况. 【解析】【解析】选 A.S=x|x2+2x=0,xR=-2,0,T=x|x2-2x=0,x R=2,0,ST=0. 15.15.（x x湖北高考理科湖北高考理科2 2）已知全集为 R，集合 A= x ( )x1 ， 1 2 B= x x26x 80 ，则 A R B=（ ） A. x x 0 B. x2 x 4 C. x 0 x2 或 x4 D. x0 x2 或 x4 【解题指南】先解不等式,

27、再求集合 B 的补集,最后求交集. 【解析】选 C.A=xx0,B=x2x4, R B=xx4, A R B=x 0 x2 或 x4 16.16.（x x湖北高考文科湖北高考文科1 1）已知全集U 1,2,3,4,5，集合 A 1,2， B 2,3,4，则B I UA （ ） A2 D2,3,4,5 B3,4C1,4,5 【解题指南】集合的运算,先求补集,再求交集. 【解析】选 B. C U A 3,4,5，BI C U A 2,3,4I 3,4,53,4.故答案为 B. 17.17. （x x山东高考理科山东高考理科2 2）设集合 A=0,1,2,则集合 B=x-y|x A, yA 中元素的

28、个数是( A. 1B.3 ) D.9 C. 5 【解题指南】本题考查了集合的概念，根据已知条件可知，集合B 的代表元素是 x-y，并且限制条件为 xA, yA. 【解析】选 C. x-y 的取值分别为-2，-1,0,1,2. 18.18. （x x山东高考文科山东高考文科2 2）已知集合 A,B 均为全集 U=1,2,3,4的 子集,且 C U A B 4,B=1,2,则A C U B= () A.3 B.4 C.3,4 D. 【解题指南】本题考查了集合的概念及其运算，属于简单题. 【解析】选 A.由 U=1,2,3,4,C U A B 4,知 AB=1,2,3,又 B=1,2,所以 A 中一

29、定有元素 3,没有元素 4,所以A C U B=3 19.19.（x x陕西高考理科陕西高考理科1 1）设全集为R, 函数 f (x) 1 x2的定义域 为M, 则C R M为 ( ) A.1,1 B.(1,1) D.(-,-1)(1,+)C.,11, 【解题指南】先求出函数的定义域，再利用补集的概念求出它的补 集. 【解析】选 D.f(x)的定义域 M=1,1，故C R M=(-,-1)(1,+). 20.20.（x x陕西高考文科陕西高考文科1 1）设全集为R, 函数 f (x) 1 x 的定义域为 M, 则 CR RM 为 ( ) A. (,1)B. (1, + )C. (,1 D. 1

30、,) 【解题指南】先求出函数的定义域，再利用补集的概念求出它的补 集. 【解析】选 B.f(x)的定义域 M=(,1，故C RM =(1, + ). 21.(x(x新课标全国高考理科新课标全国高考理科T1)T1)已知集合 M=x|(x-1)24,x R,N=-1,0,1,2,3,则 MN=() A.0,1,2B.-1,0,1,2 C.-1,0,2,3 D.0,1,2,3 【解题指南】确定集合 M,然后与 N 取交集即可. 【解析】选 A.因为集合 M=x|-1x3,N=-1,0,1,2,3,所以 M N=0,1,2. 22.22.（x x新课标全国高考文科新课标全国高考文科1 1）已知集合M

31、x|3 x 1， N 3,2,1,0,1 ，则M I N （） A.2,1,0,1 B.3,2,1,0 C.2,1,0 D.3,2,1 【解题指南】取两集合的公共元素即得交集. 【解析】选 C. 因为M x 3 x 1，N 3,2,1,0,1,所以 M I N2,1,0，选 C. 23.23.（x x辽宁高考文科辽宁高考文科1 1）已知集合 A=0,1,2,3,4,B=x|x|2, 则 AB=() A.0B.0,1C.0,2D.0,1,2 【解题指南】准确解绝对值不等式,掌握集合交集运算. 【解析】选 B. B=x|x|2=x|-2x2,则 AB=0,1,2,3,4x|- 2x2=0,1. 2

32、4.24.（x x辽宁高考理科辽宁高考理科2 2）已知集合 A=x|0log4x1,B=x|x 2,则 AB=() A.(0,1) B.(0,2 C.(1,2) D.(1,2 【解题指南】利用对数函数的性质解不等式,然后求集合的交集. 【解析】选 D.由 0log4x1 得 1x4,则 A=x|1x4,A B=x|1x4x|x2=x|1x2=(1,2. 25.25.（x x新课标高考理科新课标高考理科1 1）已知集合 A x|x22x 0， B x | 5 x 5，则（ ） A. AI B B. A B RC.B A D. A B 【解题指南】先求出集合 A,然后利用数轴判断集合 A 与集合

33、B 的关 系. 【解析】选 B.由 A x|x22x 0得，A x | x 0或x 2，又 B x | 5 x 5，所以A B R 26.26.（x x新课标高考文科新课标高考文科1 1）已知集合A 1,2,3,4， B x | x n2,n A,则 AB=( ) D. 1,2 A.1,4B. 2,3 C. 9,16 【解题指南】先确定集合B中的元素，然后求 AB. 【解析】选 A.因为A 1,2,3,4， B x|x n2,n A，所以 B 1,4,9,16，则A B 1,4 27.27.（x x大纲版全国卷高考文科大纲版全国卷高考文科1 1）设集合 U 1,2,3,4,5,集合A1,2,则

34、 u CA U 则 A （） A.1,2 B.3,4,5 C.1,2,3,4,5 D. 【解析】选 B.C U A 3,4,5 28.28.（x x大纲版全国卷高考理科大纲版全国卷高考理科1 1）设集合 A1,2,3,B 4,5,M x| x ab,aA,bB,则M中元素的个数为 （） A.3 B.4 C.5 D.6 【解题指南】根据 M 中元素的属性求解，并注意元素的互异性。 【解析】选 B.由x ab，aA，bB,则共有32 6种，根据集合 的互异性，其中数值 6 和 7 重复，所以则M中元素的个数为62 4. 二、填空题二、填空题 29. (x (x江苏高考数学科江苏高考数学科T4)T4

35、)集合-1,0,1共有个子集. 【解题指南】逐一列举或利用 2n计算. 【解析】集合-1,0,1共有 23=8 个子集. 【答案】8 30.（x x湖南高考文科湖南高考文科1010）已知集合 U 2,3,6,8, A 2,3,B 2,6,8,则(C U A) B _ 【解题指南】本题利用集合的交、补运算关系即可得到答案。 【解析】(C U A) B 6,8 2,6,8=6,8 ， 【答案】6,8， 三、解答题三、解答题 31. （x x重庆高考理科重庆高考理科2222）对正整数n，记 I n 1,2,3,，n， P n m mI n ，kI n k （）求集合 P 7 中元素的个数； （）若

36、P n 的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为 “稀疏集”求n的最大值，使 P n 能分成两个不相交的稀疏集的并 【解题指南】直接根据定义可求出集合P 7 中元素的个数,利用稀疏集 的定义直接求解. 【解析】（）当k 4时, m mI 7 中有 3 个数与 I 7 中的 3 个数重 k 复,因此 P 7 中元素的个数为773 46. （）先证:当n 15时, P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然, 设A,B为不相交的稀疏集,使 AB P n I n .不妨设1 A,则因13 22, 故3 A,即3B,同理6 A, 10B,又推得15A,但115 42,这与 A为稀 疏集矛

37、盾. m 再证 P 14 符合要求.当k 1时, mI 14 I14 可分成两个稀疏集之并, k 事实上,只要取 A 1 1,2,4,6,9,11,13,B 1 3,5,7,8,10,12,14,则A 1,B1 为稀疏集, 且 A 1 B 1 I 14 . 当k 4时,集 m 13 1 3 5 mI 14 中除整数外剩下的数组成集 , , , 可 2 2 2 2 k 1 5 9 113 7 13 分解为下面两稀疏集的并: A 2 , , B 2 , . 2 2 2 22 2 2 当k 9时,集 m mI 14 中除整数外剩下的数组成集 k 1 2 4 5 13 14 , , , 可分解为下面两

38、稀疏集的并: 33 3 3 3 3 1 4 5 10 132 7 8 11 14 A 3 , , B3 , , . 3 3 3 33 3 3 3 3 3 最后,集C m mI 14 ,kI 14 ,k 1,4,9中的数的分母均为无理数,它与 k P 14 中的任何其他数之和都不是整数,因此,令 A A 1 A 2 A 3 C,B B 1 B 2 B 3 ,则A和B是不相交的稀疏集,且 AB P 14. 综上,所求n的最大值为14. （注:对 P 14 的分拆方法不是唯一的） 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord

39、版，请按住版，请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适滑动鼠标滚轴，调节合适 的观看比例，关闭的观看比例，关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点2020 平面向量的数量积、平面向量应用平面向量的数量积、平面向量应用 举例举例 一、选择题一、选择题 1.（x x上海高考理科上海高考理科T18T18）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记 ur uu r u u r uu r u u r 以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1,a2 ,a 3,a4 ,a 5 ；以 D 为起 u u r uu r uu r uu r uu r 点，其余顶点为终

40、点的向量分别为d 1,d2 ,d 3,d4 ,d 5 .若m,M分别为 uruu ruu ruu ruu ru u r (a i a j a k )(d r d s d t ) 的最小值、最大值，其中 i, j,k1,2,3,4,5,r,s,t1,2,3,4,5,则m,M 满足（）. A.m 0,M 0 m 0,M 0 B.m 0,M 0 C. m 0,M 0 D. u r uu ruuu r uuu ruuu r uuu r 【解析】选D.，只有AFDE ABDC 0，其余均有a i d r 0，故选 D 2.2.（x x大纲版全国卷高考文科大纲版全国卷高考文科3 3）与（）与（x x大纲版

41、全国卷高考理大纲版全国卷高考理 科科 3 3）相同）相同 u rru rru rr 已知向量 m 1,1,n 2,2,若 mn mn ,则=（ ） A.4 B.-3 C.2 D.-1 urrurrurrurr 【解题指南】利用(mn)(mn)得(mn)(mn) 0化简求解. urrurr 【解析】选B.因为(mn)(mn)，所以 u rrurrur 2 r 2(m + n)(mn) |m| |n| 0，即( 1)21( + 2)2- 4 = 0，解得 3. r rrr r 3. （x x湖南高考理科湖南高考理科6 6）已知a,b是单位向量，ag b=0.若向量c满 足 cab 1,则 c的取值

42、范围是（） A ,2+1 , 2+2 2-1， B 2-1， rrrr ,2+2 C , 2+1 1 ， D 1， 【解题指南】本题首先弄懂向量a,b是一组正交基底，且 | a b|2，构造d c (a b)，当| d |1时，利用圆的知识可求得结 果。 【解析】选 rrr A. .条件 cab 1,可以理解成如图的情况， 而a b rr 2，向量c的终点在单位圆上，故|c|的最大值为2 1 最小值是 2 1，故选A. uuuruuuu ruuuruuuu r 4. （x x重庆高考理科重庆高考理科1010）在平面上， AB 1 AB 2 ， OB 1 OB 2 1， uuu ruuuruuu

43、u ruuu ruuu r 1 AP AB 1 AB 2 若 OP ，则 OA的取值范围是 2 A. (0, 55757 B.(, C.(,2 D.(,2 22222 【解析】选 D.因为 所以=(-) ( , -) = 即 - - - - + + + =- =0, , -+-,因为= 即= 因为| 所以 ，所以-= -. |=1, +2( 1 4 |=| =1+1+ 1 2 -)=2+2(-)=2-, 因为|,所以 0 所以 02- 所以 , , 2,即|. 5.（x x安徽高考理科安徽高考理科9 9）在平面直角坐标系中，o是坐标原点， uuu ruuu ruuu r uuu r 两定点A,

44、B满足OA = OB = OAgOB = 2,则点集 uuu ruuuruuur P|OP = OA+OB, + 1,R所表示的区域的面积是 （） A.2 2 B.2 3 C. 4 2 D.4 3 【解题指南】根据题设条件作出点集 P 所在的区域计算其面积即 可。 uuu ruuu ruuu r uuu r 【解析】选 D.因为OA = OB = OAgOB = 2,所以 uuu r uuu r 1 cos OA,OB AOB ， 23 又 + 1， 故|1-|1 -11， 同理可得-11，满足 uuu ruuu ruuu r P|OP OAOB,1,R的点所在的区域如 A A 图所示，其中A

45、OB是正三角形，其面积为 113 S1.OA.OB.sin223 ，故所求区域的 2322 B B/ / O O B B A A/ / 面积为 S=4S1= 4 3。 r rrr r 6.（x x湖南高考文科湖南高考文科8 8）.已知a,b是单位向量，ag b=0.若向量c满 r rrr 足 cab 1,则c的最大值为（ ） A. 2 1 B.2 C.2 1 D.2 2 【解题指南】本题首先弄懂向量a,b是一组正交基底，且 | a b|2，构造d c (a b)，当| d |1时，利用圆的知识可求得结 果。 【解析】选 rrr C，条件 cab 1,可以理解成如图的情况 rr 而a b 2，向

46、量c的终点在单位圆上动，故|c|的最大值为 2 1 7.7.（x x福建高考文科福建高考文科1010）与（）与（x x福建高考理科福建高考理科7 7）相同）相同 uuu ruuu r AC 1,2,BD 4,2,则该四边形的面积为（） 在四边形ABCD中， A 5 B2 5C5D10 【解题指南】先计算 AC 与 BD 的位置关系,再利用面积公式求解. uuu r uuu r 【解析】选C因为 ACBD 0,所以AC,BD是互相垂直的对角线，所 以 S | AC | BD| 52 5 5 8. （x x浙江高考理科浙江高考理科7 7）设ABC， P 0是边 AB 上一定点， uuu r uuu

47、 r uuu r uuur 1 P 0B AB，且对于边AB上任一点P，恒有PBPCP 0BP0C ，则 4 1 2 1 2 （） A. ABC 90o B.BAC 90o C.AB AC D.AC BC uuu ruuu r 【解题指南】由于P是AB边上任一点，所以可设PB AB，再由数 量积和已知不等式求解. uuuruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 【解析】选 D. 设PB AB (01)，PC PB BC AB BC，P 0 C uuu r uuu r uuu r uuuruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 1 uuu ruuu r

48、 P 0B BC AB BC ，因为 PBPCP 0BP0C ，所以ABAB BC 4 r 1 uuu ruuu rr 2 r uuu r 1 uuu 1 uuu 1 2 1 uuu ABAB BC ，所以 AB ABBC0，即 41644 4 uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r 2 1 1ABBC11 ，当时，对恒成 AB ABBC 0 uuu r 2 4444 AB 立，即 r 1 uuu uuu r uuu r AB uuu ruuu r 1ABBC11 BC cosBAB，所以cosB 2uuu r ；当0时， uuu r2 恒 244 BC AB r 1 uuu

49、 AB 2成立，所以cosB uuu r ，综上可得cosB BC uuu r 2 uuu r 2 uuu r 2 AB BC AC cosB uuu r uuu r 2 AB BC r 1 uuu AB 2uuu r ，又 BC uuu r 2 uuu r 2所以 BC AC ，即AC BC. 二、填空题二、填空题 9. （x x新课标高考文科新课标高考文科1313）与（）与（x x新课标高考理科新课标高考理科1313） 相同相同 已知两个单位向量a，b的夹角为60，c ta (1t)b，若b c 0， 则t _. rr 【解题指南】由于条件中给出了bc 0，所以可以将c ta (1t)b

50、的两边同时乘以b进行求解. 【解析】由c ta (1t)b得，bc tab (1t)b 0， 解得t| a|b|cos60(1t)|b|20， 化简得 t (1t) 0，所以t 2. 【答案】2. 10. （x x天津高考文科天津高考文科x x）在平行四边形ABCD中,AD = 1, BAD 60 2 1 2 ,E为CD uuu ruuu r 的中点. 若 ACBE 1, 则 AB的长为 . uuu r uuu r 【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由 AD,AB表示 ruuu ruuuuuu ruuu r AC , BE ，再 ACBE 1求 AB的长. uuu ruuu ruu

51、u ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 1 uuu ruuu r 1 uuu r 【解析】因为 AC ABAD,BE BA AD DE AB AD AB AD AB, 22 uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 1 uuu ruuu r 2 1 uuu r uuu r 1 uuu r 2 所以 ACBE (AB AD)(AD AB) AD AD AB AB 222 uuu rr 2 11 uuu 1 AB cos60AB1, 22 1 r 1 uuu r 2 uuu r 11 uuu 所以 AB AB 0,解得AB . 422 【答案】1 2 x. （

52、x x浙江高考文科浙江高考文科1717）与）与(x(x浙江高考理科浙江高考理科T17)T17)相同相同 u r u u rru ru u ru r u u r 设 e 1,e2 为单位向量，非零向量b xe 1 ye 2 ， x, yR.若e 1,e2 的夹角为 6 ，则 r 的最大值等于_. b x xx 【解题指南】求 r 的最大值，可以先计算 r 2 的最大值. b b 2 2 xx2 【解析】 r 2 u ru u r bxe 1 ye 2 2 x2x2 u r u u r 22 x y 2xye 1 e 2 x2 y22xycos 6 2 xx21y x 0 ，当时，令 2 t，则

53、r 22 2yyxx y 3xy b 1 2 3 xx xx11 4，所以r 的最大值为 2. r 2 2 2 t 3t 1b b31 t 2 4 2 【答案】2 x. （x x重庆高考文科重庆高考文科1414）OA为边，OB为对角线的矩形中， uuu ruuu r OA (3,1)，OB (2,k) ，则实数k . 【解题指南】可根据题意先求出向量AB的坐标,再利用OA AB求解. 【解析】AB OBOA (2,k)(3,1) (1,k 1),因为OA AB 所以OA AB 0,即3k 1 0,解得k 4. 【答案】4 rr 13.（x x安徽高考文科安徽高考文科1313）若非零向量a，b满

54、足 rrrrrr |a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹角的余弦值为_ 【解题指南】 利用向量数量积的公式计算。 rrr 【解析】由|a|=|a+2b|，等式两边平方得 r 2 rrrr 2 rrr 2 a +4a.b+4b = a ? a.b-b ，所以 rrr 2r r a.b -b 1 cos = r r =r 2 = - 3|a|.| b|3|b| 【答案】 - 14.（x x上海高考文科上海高考文科T14T14）已知正方形 ABCD 的边长为 1.记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1 ，a 2 ，a 3 ；以 C 为起点， 2， 3且 其余顶点为终点的向量分别为c

55、1 ，c 2 ，c 3 .若i,j,k,l1， 1 3 ij,kl，则 a i a j c k c l 的最小值是 . 【解析】根据对称性得， 当向量(a i a j )与(c k c l )互为相反向量，且它们的模最大时 ， (a i a j )(c k c l )最小。这时a i AC,a j AD,c k CA,c l CB, (a i a j )(c k c l ) | a i a j )|2 5。 【答案】 -5 uuu ruuu r 15. (x(x山东高考理科山东高考理科T15)T15)已知向量AB与AC的夹角为 x0,且 uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu

56、 ruuu r |AB|=3,| AC|=2,若AP AB AC，且AP BC,则实数的值 为. 【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算. uuu ruuu ruuu ruuu r 【解析】向量AB与AC的夹角为 x0,且|AB|=3,| AC|=2, uuu r uuu ruuu r uuu r 1 所以 ABgAC AB gAC cos1200 -32 3. 2 uuu ruuu ruuu r uuu r 由AP BC得, APgBC=0， uuu r uuu ruu r uu ruu r uu r （ gAC-AB）=0， 即APgBC=（ AB+AC） uuu r 2 uuu

57、 r 2 uuu r uuu r 所以 AC AB (1)ABgAC 0, 即 4-9-3(-1)=0,解得= 【答案】 7 12 7 12 16. （x x山东高考文科山东高考文科1515）在平面直角坐标系 xOy 中,已知 uuu ruuu r OA=(-1,t), OB=(2,2),若ABO=90,则实数 t 的值为 . 【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算.可先求出 uuu r uuu ruuu r OB 0,即可求出 t 的值. AB ,由ABO=90,则ABg uuu ruuu ruuu r 【解析】AB OBOA= (2,2)-(-1,t)=(3,2-t),因为ABO=90,所以 , 所以=0,32+2(2-t)=0,所以 t=5. 【答案】5. 17. （x x新课标全国高考文科新课标全国高考文科1414）与）与(x(x新课标全国高考理新课标全国高考理 科科 T13)T13)相同相同 uuu r uuu r 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AEBD = . 【解题指南】建立坐标系,确定各关键点的坐标,求得