(理数)广雅中学届高三级期中考试

1、广雅中学广雅中学 2008-20092008-2009 学年高三第一学期期中考试学年高三第一学期期中考试 理科数学理科数学 本试卷共 4 页，20 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 【注意事项】【注意事项】 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2选择题的答案一律做在答题卡上选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案

2、，然后再写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共8 8 小题，每小题小题，每小题5 5 分，满分分，满分4040 分分. . 在每小题给出在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1,B x| y ln(1 x)， 1. . 全集U R R，集合A x|2 则右图中阴影部分表示的集合为 Ax| x 1Bx| x 1 Cx|0 x 1Dx|1 x 2 2. . 已知向量a a (1sin,1)，b b ( ,1s

3、in)，若a ab b，则锐角等于 A30B45C60D75 x(x2) 1 2 3. . 设数列an是等差数列，且a2 8，a15 5，Sn是数列an的前n项和，则 AS10 S11BS10 S11CS9 S10DS9 S10 4. . 已知函数f (x) (xa)(xb)（其中a b）的图象如下面右图所示，则函数 g(x) axb的图象是 5. . 如右图，在正方体ABCD A 1B1C1D1 中，M为的棱BB 1 的中点， 则异面直线AM与BD 1所成角的余弦值是 A 1015 B 1510 C 1015 D 1015 6. . 电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数 I Asin(t

4、 )(A 0, 0,0 图象如右图所示，则当t 2 )的 1 时，电流强度是 50 A5安B5安 C5 3安D10安 7. . ABC的三边长分别为3、4、5，P为平面ABC外一点， 它到其三边的距离都等于2， 且P在平面ABC上的射影O位于ABC的内部，则PO等于 3 A . . 1B. . 2 C. .D. . 3 2 8. . 已知f (x)是定义在R R上的奇函数，且f (x f (x)是周期函数； 2 x 是f (x)图象的一条对称轴； )是偶函数，给出下列四个结论： (,0)是f (x)图象的一个对称中心； 当x 其中正确的结论是 AB 2 时，f (x)一定取最大值. DC 二、

5、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分 1 2x ln x的最小值为 . 2 10ABC中，若sin A:sin B:sin C 2:3: 4，则cos2C . 11圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个 5 2 铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 cm . 3 12在等比数列中， 已知a9a10 a(a 0)，a19 a20 b，则a99a100. 9函数f (x) 13如图，在ABC中，已知AB 2，BC 3，ABC 60， uuuu ruuu ruuu r A

6、H BC于H，M 为AH的中点，若AM ABBC， 则. 14设函数f (x) x1 2 3 x1 的四个零点分别为x 1 、x 2、x3、x4 ，则 f (x 1+x2 +x 3 +x 4 ) . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 15(本小题满分 12 分) (a a 2b b). 设向量a a (sin x,cos x)，b b (sin x, 3sin x)，xR R，函数f (x) a ag (1) 求函数f (x)的最大值与单调递增区间； (2) 求使不

7、等式f (x) 2成立的x的取值集合. 16(本小题满分 12 分) 已知函数f (x) ax bx c的图象过点A(0,3)，且它在x 1处的切线方程为 42 2x y 0. (1) 求函数f (x)的解析式； (2) 若对任意xR，不等式f (x) k(x 1)恒成立，求实数k的取值范围. 17(本小题满分 14 分) 已知四棱锥P ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点. (1) 求四棱锥P ABCD的体积； (2) 是否不论点E在何位置，都有BD AE？证明你的结论； (3) 若点E为PC的中点，求二面角D AEB的大小. 2 18(本小题满分 14 分) 如图，已知AB 平

8、面ACD，DE 平面ACD，ACD为等边三角形， AD DE 2AB，F为CD的中点. (1) 求证：AF /平面BCE； (2) 求证：平面BCE 平面CDE； (3) 求直线BF和平面BCE所成角的正弦值. 19(本小题满分 14 分) 已知f (x)为二次函数，不等式f (x)2 0的解集为(1, )，且对任意,R R， 恒有f (sin) 0, f (2cos) 0. 数列a n满足 a 1 1，3a n1 1 (1) 求函数f (x)的解析式； (2) 设bn 1 3 1 (nN N*). f (a n ) 1 ，求数列bn的通项公式； a n (3) 若(2)中数列b n的前 n项

9、和为S n ，求数列Sncos(b n )的前n项和T n . 20(本小题满分 14 分) 已知数列a n满足 a 1 1741 * ，a2，an2 a n1 a n (nN N ). 3933 (1) 求数列an的通项公式； (2) 求数列nan的前n项和Sn； (3) 已知不等式ln(1 x) x 对x 0成立，求证： 1 x 111 L ln3n12. a 1 2a 2 2a n 2 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分分. . 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7

10、 D 8 A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分. . b9127 9. .10. . 11. .10012. . 8 13. .14. . 19 a238 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分分. . 15. .(本小题满分 12 分) (a a2b b) a a22a agb bsin2xcos2x2(sin2x 3sinxcosx) 2 分 解：解：(1) f (x) a ag 11cos2x3sin2x 22(sin2x 22(sin2xcos 当sin(2

11、x 由2k 31 cos2x ) 4 分 22 cos2xsin) 22sin(2x). 5 分 666 6 ) 1时，f (x)取得最大值4. 6 分 2 2x 6 2k 2 ，得k 6 x k 3 (k Z Z)， f (x)的单调递增区间为k (2)由f (x) 22sin(2x ,k(k Z Z). 8 分 63 )，得f (x) 4cos(2 x). 9 分 66 1 由f (x) 2，得cos(2x ) ，则2k 2x 2k ， 11 分 62363 即k 12 x k 4 (k Z Z). 使不等式f (x) 2成立的x的取值集合为x k xk,kZ Z. 12 分 124 16

12、. .(本小题满分 12 分) 解：解：(1) 由f (x)的图象过点A(0,3)，可知f (0) 3，得c 3. 1 分 又f (x) 4ax 2bx，由题意知函数y f (x)在点(1,2)处的切线斜率为2， 3 f (1) 2 且 f (1) 2 ， 即4a2b 2且ab3 2， 解 得 a 2,b 3. 5 分 42 f (x) 2x 3x 3. 6 分 2x43x23 (2) 由f (x) k(x 1)恒成立 ，得k 恒成立， 2x 1 2x43x23 令g(x) ，则k g(x)max. 7 分 x21 22 令t x 1，则x t 1(t 1)， 2 2(t 1)23(t1)32

13、t27t84 g(x) 72(t )722 4 1，10 分 ttt 4 当且仅当t ，即t 2时，g(x)max 1. 11 分 t k 1，即k的取值范围是1,). 12 分 17. . (本小题满分 14 分) 解：解：(1) 由三视图可知，四棱锥P ABCD的底面是边长为 1 的正方形， 侧棱PC 底面ABCD，且PC 2. 2 分 112 S 正方形ABCD PC 122 ， 333 2 即四棱锥P ABCD的体积为. 4 分 3 (2) 不论点E在何位置，都有BD AE. 5 分 证明如下：连结AC，ABCD是正方形，BD AC. 6 分 PC 底面ABCD，且BD平面ABCD，B

14、D PC. 7 分 又AC I PC C，BD 平面PAC. 8 分 不论点E在何位置，都有AE平面PAC. 不论点E在何位置，都有BD AE. 9 分 (3) 解法解法 1 1：在平面DAE内过点D作DF AE于F，连结BF. D V PABCD AD AB 1，DE BE 1 1 2，AE AE 3， F RtADERtABE， 从而ADFABF，BF AE. A DFB为二面角D AEB的平面角. 12 分 在 RtADE中，DF 又BD 22 P E C B ADDE12 BF， AE3 2，在DFB 中，由余弦定理得 2 22 222DF BF BD1 3 cosDFB ， 13 分

15、 2 2DF BF2 2 3 DGB 120，即二面角D AEB的大小为120. 14 分 解法解法 2 2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x, y,z轴建立空间直角 坐标系. 则D(1,0,0)，A(1,1,0) ，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而 uuu ruuu ruuu ruuu r DA (0,1,0)，DE (1,0,1)，BA (1,0,0)，BE (0,1,1). 10 分 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为 uruu r n 1 (x 1, y1,z1) ，n2 (x2, y2,z2)， D ur uuu r x ur n 1gDA 0 y

16、1 0 由u，取n 1 (1,0,1). 11 分 r uuu r x z 0 n1gDE 0 11 A y z P E C B uu r uuu r uu r n2gBA 0 x 2 0 由u，取n2(0,1,1). 12 分 u r uuu r y z 0 n2gBE 0 22 设二面角D AEB的平面角为，则 ur uu r n gn 2 11 cos ur1u ， 13 分 u r 222 n 1 n 2 22 ，即二面角D AEB的大小为. 14 分 33 B 18. . (本小题满分 14 分) 方法一：方法一： (1) 证法一证法一：取CE的中点G，连FG、BG. 1 F 为CD

17、的中点，GF /DE且GF DE. 1 分 2 AB 平面ACD，DE 平面ACD， G AB/ DE，GF / AB. 2 分 H 1 又AB DE，GF AB. 3 分 2 四边形GFAB为平行四边形，则AF / BG. 4 分 C F AF 平面BCE，BG 平面BCE， AF /平面BCE. 5 分 证法二证法二：取DE的中点M，连AM、FM. F为CD的中点，FM /CE. 1 分 AB 平面ACD，DE 平面ACD，DE/ AB. 2 分 1 又AB DE ME， 2 四边形ABEM为平行四边形，则AM /BE. 3 分 FM、AM 平面BCE，CE、BE 平面BCE， FM /平

18、面BCE，AM /平面BCE. 又FM I AM M，平面AFM /平面BCE. 4 分 AF 平面AFM， AF /平面BCE. 5 分 (2) 证证：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AF CD. 6 分 DE 平面ACD，AF 平面ACD，DE AF. 7 分 又CDI DE D，故AF 平面CDE. 8 分 BG/ AF，BG 平面CDE. 9 分 BG 平面BCE， 平面BCE 平面CDE. 10 分 (3) 解解：在平面CDE内，过F作FH CE于H，连BH. 平面BCE 平面CDE， FH 平面BCE. FBH为BF和平面BCE所成的角. 12 分 2 a， 设AD DE 2A

19、B 2a，则FH CF sin45 2 E A M D BF AB2 AF2a2( 3a)2 2a， R tFHB中，sinFBH FH2 . BF4 直线BF和平面BCE所成角的正弦值为 2 4 .14 分 方法二：方法二： 设AD DE 2AB 2a，建立如图所示的坐标系A xyz，则 A0， 0， 0,C2a， 0， 0,B0,0, a,Da, 3a,0,Ea, 3a,2a.2 分 F 为CD的中点，F 3 3 3 分 2 a, 2 a,0 . (1) 证证： u AF uu r 33 uuu r uuu r 2 a,a,0 ,BE a, 3a,a ,BC 2a,0, a， 4 分 u

20、AF uu r 2 1u 2 BE uu r u BC uu r ，AF 平面BCE，AF /平面BCE. 5 分 (2) 证证： u AF uu r 33 2 a,a,0 uuu r uuu r ,CD a, 3a,0 ,ED 0,0, 2a， 6 分 u AF uu r u CD uu r 0, u AF uu r 2 u ED uu r 0， u AF uu r u CD uu r , u AF uu r u ED uu r . u AF uu r 8 分 平面CDE，又AF /平面BCE， 平面BCE 平面CDE. (3) 解解：设平面BCE的法向量为 r n x, y,z，由 r n

21、 u BE uu r 0, r n u BC uu r 10 分 0可得： x3y z 0,2x z 0，取 r n 1, 3,2 . 12 分 又 u BF uu r 3 a, 3 a,a ，设BF和平面BCE所成的角为，则 u u 22 sin u BF u rgr n 2a2 BF uu r r n 2a2 2 4 . 直线BF和平面BCE所成角的正弦值为 2 4 . 14 分 19. .(本小题满分 14 分) 解：解：(1) 依题设，f(x)2a(x1)(x 1) (a 0)，即f(x)ax2 2a 33 x a 3 2. 2 分 令 2 , ， 则sin1,cos 1， 有f (1

22、) 0, f (21) 0， 得 f (1) 0. 4 分 即a 2a 3 a 3 2 0，得a 3 2 . f (x) 3 2 x2 x 5 2 . 5 分 (2) f(x)3x1，则3a 1 n1 1 f(a 1 1 1 3a n 3a ，即a a n n1 ， 6 分 n )3a nn 13a n 1 两边取倒数，得 1 a 3 1 ，即bn1 3bn. 7 分 n1 a n 数列bn是首项为b 1 1 1，公差为3的等差数列. 8 分 a 1 * bn1(n1)3 3n2(nN N ). 9 分 n (3) cos(bn) cos(3n2) cos(n) (1)， 10 分 n Snc

23、os(bn) (1) Sn. n Tn S1 S2 S3 S4L (1) Sn. 当n为偶数时， T n (S 2 S 1)(S4 S 3 )L (S n S n1) b2 b 4 L b n n (b 2 b n ) n3n22n 2 . 12 分 (43n2) 244 当n为奇数时， 3(n1)22(n1)n(13n2)3n22n1 T n T n1 S n . 424 3n22n1 (n为奇数) 4 综上，Tn. 14 分 2 3n 2n (n为偶数) 4 20. .(本小题满分 14 分) 4111 a n1 a n ，得a n2 a n1 a n1 a n ， 3333 111711

24、2 数列an1 a n 是常数列，an1 a n a 2 a 1 ， 3 339333 121 即an1 a n ，得an11 (a n 1). 333 12 数列an1是首项为a 1 1 ，公比为的等比数列， 33 221 n1 an1 ( )( ) ，故数列a n的通项公式为 a n 1 n . 5 分 333 411 解法二：解法二：由an2 a n1 a n ，得an2an1 (a n1 a n )， 333 1714 数列an1an是首项为a2a 1 ，公比为的等比数列， 3939 41 n1 an1an ( ) . 93 144 141 n2 an a 1 (a 2 a 1)(a3 a 2 )L (a n a n1) L ( ) 399 393 41 (1 n1 ) 11212 3 9 (1 n1 ) 1 n (n 2) （*） 1 33333 1 3 (1) 解法一：解法一：由an2 12 也适合（*） ，故数列a n的通项公式为 a n 1 n . 5 分 33 41111 解法三：解法三：由a n2 a n1 a n ，得a n2 a n1 a n1 a n ，a n2 a n1 (a n1 a n ). 33333 11714 an1 a n 是常数列，an1an是首项为a2a 1 ，公比为的等比 3 3939 当n 1时，a 1 数列. 7