(解析版)天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学试卷

1、(解析版)天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三毕业班联考理科数学 一一. . 选择题（本题共选择题（本题共 8 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，有且分在每小题给出的四个选项中，有且 只有一个是正确的）只有一个是正确的） 2 i 1复数（其中i为虚数单位）的虚部虚部等于( ) 1i Ai B1 C1 D0 2.p:| x| 2是q: x 2的（） A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 2 3阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（） A39 B21 C 81 D102 4.

2、若(ax )(a 0)展开式中x 的系数为 A. 1 x 53 5 ，则a的值为（） 81 111 B. C. D.1 3927 x2y2 5已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左右焦点分别为F 1,F2 ，在双曲线右支 ab 上存在一点P满足PF 1 PF 2 且PF 1F2 6 A 2 B3 C 31 D5 1 o ，那么双曲线的离心率是（） 6. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中A 120 ,b 1， 且ABC面积为 3,则 ab ( ) sin Asin B A. 21 B. 2 39 C. 2 21 D.2 7 3 uuu ruuu r uuu ruuu

3、 r 7. 在平行四边形ABCD中，AE EB,CF 2FB,连接CE、DF相交于点M， uuuu ruuu ruuu r 若AM AB AD,则实数 与的乘积为（） A 3314 B C D 8443 x2x3x4x2013 L L 8.已知函数f (x) 1 x , 2342013 x2x3x4x2013 g(x) 1 x L L ,设函数F(x) f (x3)g(x4)， 2342013 且函数F(x)的零点均在区间a,b(a b,a,bZ Z)内，则ba的最小值为（） A8 B9 C10 D11 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，

4、共分，共 3030 分分. . 请把答案填在答题卡的相应的横线上请把答案填在答题卡的相应的横线上. . 9.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为2 :3: 4， 现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n的样本，样本中A型号的产品有16件， 那么此样本容量n 10.右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 . 11. 已知a log 1 2，b 2 3 0.6，c log 4 3，则a,b,c的大小关系为大小关系为 12. 己知集合Ax|2x22x8,B x| x22mx40， 若AI B x|1 x 1, AU B x|4 x 3，则实数m等于 . 13.

5、 直线l : x a 4t, (t为参数 ),圆C : 2 2 cos()（极轴与x轴的非负半轴重 4 y 1 2t. 合， 且单位长度相同） ， 若直线l被圆C截得的弦长为 14. 设函数f (x) x( )x 6 5 ， 则实数a的值为 . 5 1 , A 0 为坐标原点，A n为函数y f (x) 图象上横坐标为 x 1 n uuu ruuuuu rruu rr *n(n N )的点，向量 a n A k1 A k ,向量i (1,0),设 n为向量 an与向量 i 的夹 k1 1 2 角， 满足 tan k1 n k 5 的最大整数n是 . 3 三三. .解答题：本大题解答题：本大题

6、6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. （本题满分 13 分） 22 已知函数f (x) sin x 2 3sin xcos x3cos x，xR求： (I) 求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间； (II) 求函数f (x)在区间 16 （本题满分 13 分） 甲、 乙两人参加某种选拔测试 规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试， 在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ,上的值域 6 3 3 ，乙只能答对其中的3道题 5 答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0 分 （）求乙

7、得分的分布列和数学期望； （）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试 的概率 17.（本题满分 13 分） 如图在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD， 且PA PD 2 AD,设E、F分别为PC、BD的中点 2 P E D F A B C () 求证：EF/平面PAD； () 求证：面PAB平面PDC； () 求二面角BPDC的正切值 * 18(本题满分 13 分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn 2an2 (nN )， * 数列bn满足b 1 1，且点P(b n ,b n1) (nN ) 在直线y x2上 （）求数

8、列an、bn的通项公式； （）求数列anbn的前n项和Dn； （）设cn ansin2 nn b n cos2(nN*)，求数列c n的前 2n项和T 2n 22 x2y2 19. (本题满分 14 分) 设椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为F 1,F2 ， ab uuu ruuuu r 上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足BF 1 F 1F2 ，且AB AF 2 （）求椭圆C的离心率； （）D是过A、B、F2三点的圆上的点，D到直线l : x 3y 3 0的最大距离等于 y 椭圆长轴的长，求椭圆C的方程； A B F 1 O F 2 x （）在（）的条件下，过右焦点F

9、2作斜率为k的直线l 与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线 与x轴相交于点P(m,0)，求实数m的取值范围 20 (本题满分 14 分) 设函数f (x) （）讨论函数h(x) a xln x，g(x) x3 x23 x f (x) 的单调性； x （）如果存在x 1,x2 0,2，使得g(x 1) g(x2 ) M成立，求满足上述条件的最大整数 M； （）如果对任意的s,t ,2，都有f (s) g(t)成立，求实数a的取值范围 1 2 试题解析答案 2 i 2 2i22i2 1 【答案】B() i,所以虚部为1，选 B. 1i(1i)22i 2 【答案】C 由x 2得x 2或x 2，所

10、以p:| x| 2是q: x 2的必要不充分条件， 选 C. 3 【答案】D 第一次循环，S 3,n 2;第二次循环，S 323 21,n 3; 第 三 次 循 环 ， S 2133 102,n 4 ; 第 四 次 循 环 ， 不 满 足 条 件 ， 输 出 3 2 S 21333102，选 D. 1 由52k 3()k (1)kC 5 ka5kx52k ， x 51 1433444 得k 1，所以T2 (1)C5a x，即x的系数为5a，即5a ，所以a ， 8181 1 解得a ，选 A. 3 4【答案】 A 二项展开式的通项为T k1 C 5 (ax) k5k 5 【 答 案 】 C因

11、为PF 1 PF 2 且PF 1F2 6 ， 所 以PF 2 c,PF 1 3c , 又 PF 1 PF 2 3cc 2a，所以 31，选 C. 6 【 答 案 】 DSV ABC c22( 3 1) 31，即双曲线的离心率为 a( 3 1)( 3 1) 131 3 ， 所 以c 4， 所 以bcsin12003， 即 c 222 a2 b2c22bccos1200 21， 所 以a 21。 因 为 ab 2R， 所 以 sin Asin B ab2R(sin Asin B)a21 2R 2 7,选 D. 2 7，所以 sin Asin Bsin Asin Bsin A3 2 uuuu ruu

12、u ruuu r 7 【 答 案 】 B因 为E,M,C三 点 共 线 ， 所 以 设 AM xAE (1 x)AC , 则 2R uuuu r x uuu ruuu ruuu rruuu r x uuu AM AB(1 x)(AB AD) (1)AB(1 x)AD。同理D,M,F三点共线，所以 22 x 1 y uuuu ruuu ruuu ruuuu ruuu rr 2y uuu 设AM yAF (1 y)AD,则AM yAB(1，解得 )AD，所以有 2 3 1 x 1 2y 3 uuuu r 3 uuu r 1 uuu r 331313 y ， 即AM ABAD ， 所 以 , ， 即

13、 ， 选 B. 44242428 8 【答案】C 函数的导数为f x1 x x x x 232012 1(x)20131 x2013 ，由 1(x)1 x 为f (x) 0得x 1，即函数的极小值f (1)，所以 111 当x 1时，f (x) 0， 又f (0) 1， 所以在(1,0)f 111 L 0。 232013 上 函 数 有 且 只 有 一 个 零 点 ， 即 fx3在(4,3)上 函 数 有 且 只 有 一 个 零 点.gx 1 x x x x 232012 1(x)20131 x2013 ，由g(x) 0得x 1， 1(x)1 x 即函数的极小值为f (1)， 所以g111 1

14、11 当x 1时，g(x) 0，L 0。 232013 又g(0) 1，g(1) 0，g(2) 0， 所以在(1,2)上函数g(x)有且只有一个零点， 即gx4 在(5,6)上函数有且只有一个零点，又函数F(x)的零点均在区间a,b(a b,a,bZ)内， 所以b 6,a 4，即ba 10，所以ba的最小值为 10，选 C. 9 【答案】 72 由题意可知n( 10 【答案】4 22n ) 16，解得n 72。 2349 2 由三视图可知，该几何体时一个边长为 2，2,1 的长方体挖去一个半径 3 142 为 1 的半球。所以长方体的体积为221 4，半球的体积为 ，所以该几何 233 2 体

15、的体积为4。 3 0.6 1，0 c 1，所以a c b。 11 【答案】a c ba log 1 2 0，b 2 3 12 【 答 案 】 2 3 A x|2x 2x8x| x22x3 0 x 1 x 3， 因 为 2 AI B x|1 x 1, AU B x|4 x 3， 所以由数轴可知B x|4 x 1， 即 4,1是方程x22mx4 0的两个根，所以41 2m 3，解得m 3 。 2 13 【答案】 0或2在平面直角坐标系下直线方程为x2y(2a) 0，圆的方程为 x2 y2 2x2y，即(x1)2(y 1)2 2，所以圆心为(1,1)，半径r 2。若直线l 被圆C截得的弦长为 6 5

16、3 5 2 95 2 ，则圆心到直线的距离d r ( ，又 ) 2 5555 d 122a 122 1a 5 5 ，即1a 1，解得a 0或a 2。 5 n uuu ruuuuu ruuuuu r 14 【 答 案 】 3 由 题 意 知 A n (n, f (n) ， 又a n A k1 A k A 0 A n ， 因 为 k1 uu rr f (n)1 n 111 ( ) ，所以tan 1 1， n为向量an与向量i ，所以tan n n2n(n1)22 tan 2 115 4612 ， 115119 ，tan 4 tan 3 81224162080 。因为 n55513559139135

17、139 ，且，所以满足 tan k 的1，1 312248122480808380 k1 最大整数n是 3. 15 【解】【解】(I)：f (x) 1cos 2x3(1cos 2x) 3sin 2x 22 23sin 2xcos2x 2sin(2x)2 4 分 6 2 最小正周期T 5 分， 2 2 2k 2x 6 2k 2 ,kZ时f (x)为单调递增函数 8 分 ,k,kZ 36 5 (II)解: f (x) 22sin(2 x)，由题意得:x2x ,， 666663 1 sin(2x ),1，f (x)1,4 62 f (x)值域为1,4 13 分 16.【解解】设乙的得分为 0,10,

18、20,30 . 1 分 f (x)的单调递增区间为k X ，X的可能值有 P(X 0) C 3 3 C 6 3 C 6 3 C 3 2C 3 1 19 P(X 10) 32020C 6 C 3 3 91 P(X 30) 5 分 32020C 6 6 分 P(X 20) C 3 1C 3 2 乙得分的分布列为： X P 0 1 20 10 9 20 20 9 20 30 1 20 EX 0 1991 10 20 30 15 20202020 所以乙得分的数学期望为15 8 分 (2) 乙通过测试的概率为 191 9 分 20202 3 5 32 甲通过测试的概率为( ) C 3 ( ) 3 5

19、2 281 11 分 5125 甲、乙都没通过测试的概率为(1 18122 )(1 ) 2125125 22103 13 分 125125 因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为1 17 法一：法一：()证明证明：ABCD为平行四边形 连结ACI BD F，F为AC中点， .2 分E为PC中点在CPA中EF/PA 且PA平面PAD，EF 平面PAD EF /平面PAD 4 分 ()证证明明：因为面PAD面ABCD平面 PADI面ABCD AD P E M D F B C ABCD为 正 方 形 ，CD AD，CD 平 面 ABCD 所以CD 平面PAD A CD PA 5 分 又PA PD

20、 且PAD 2 AD，所以PAD是等腰直角三角形， 2 即PA PD 6 分 2 CDI PD D，且CD、PD面ABCD 分PA面PDC 又PA面PAB面PAB 面PDC 8 分 () 【解】【解】 ：设PD的中点为M,连结EM,MF, 则EM PD由()知EF 面PDC, EF PD，PD 面EFM，PD MF， 12 分EMF是二面角BPDC的平面角 RtFEM中，EF 1211 PA aEM CD a 2422 2 a 2EF2 4 故所求二面角的正切值为 13 分 tanEMF z z 1 2EM2 a P 2 法二法二：如图,取AD的中点O, 连结OP,OF. E PA PD,PO

21、 AD. 侧面PAD底面ABCD, D 平面PAD平面ABCD AD, A O F B C y y PO 平面ABCD, 而O,F分别为AD,BD的中点,OF / AB, 又ABCD是正方形,故OF AD. PA PD x x 2a AD,PA PD,OP OA . 22 以O为原点,直线OA,OF,OP为x, y,z轴建立空间直线坐标系, aaaaa ,0),D(,0,0),P(0,0,),B(,a,0),C(,a,0). 22222 a a a E为PC的中点, E(,) . 3 分 4 2 4 uuu ruuu r aaa （）证明：证明：易知平面PAD的法向量为OF (0, ,0)而E

22、F (,0, ), 244 uuu r uuu r aaa 且OF EF (0, ,0) (,0, ) 0, EF /平面PAD . 6 分 244 ruuu r uuu ruu u r aaaa uuu ()证明：证明：PA( ,0, ),CD (0,a,0)PACD ( ,0, )(0,a,0) 0, 2222 uuu ruuu r PA CD,从而PACD,又PA PD,PDI CD D, 则有A( ,0,0),F(0, a 2 PA 平面PDC,而PA 平面PAB, 平面PAB平面PDC 9 分 uuu r aa () 【解】【解】 ：由()知平面PDC的法向量为PA ( ,0, ).

23、 22 ruuu rr aa uuu 设平面PBD的法向量为n (x, y,z).DP ( ,0,),BD (a,a,0), 22 a a r uuu rr uuu r x0 yz 0 由nDP 0,nBD 0可得 2 ,令x 1,则y 1,z 1,2 axa y0z 0 r uu u r rr uu u r nPA 故n (1,1,1)cos n,PA r uu u r n PA a 2 a 3 2 6 , 3 即二面角BPDC的余弦值为 6 , . 12 分 3 2 . 13 分 2 所以二面角BPDC的正切值为 18 【解】【解】 （）当n 1，a1 2 1 分 当n 2时，an Sn

24、Sn1 2an2an1 2 分 a n 2a n1(n 2) ，an是等比数列，公比为 2，首项a 1 2 n an 2 3 分 * 又点P(bn,bn1) (nN )在直线y x2上， b n1 b n 2， bn是等差数列，公差为 2，首项b 1 1，bn 2n1 5 分 n （）anbn (2n1)2 1234n1n Dn12 32 52 72 L L (2n3)2 (2n1)2 2D n 122323524725L L (2n3)2n(2n1)2n1 得 D n 121 222 223 224L L 22n(2n1)2n1 7 分 4(12n1) 22(2n1)2n1 2n1(32n)

25、6 8 分 12 D n (2n3)2n16 9 分 2n n为奇数 （）cn 11 分 n为偶数 (2n1) T 2n (a 1 a 3 L a 2n1)(b2 b 4 L b 2n ) 22n12 22 L 2 13 分37L (4n1)2n2n 3 y AF FF， 19 【解】【解】 （）连接AF 1 ，因为AB AF 2， BF 1 F 1F2，所以112 32n1 即a 2c ，故椭圆的离心率 e （其他方法参考给分） （）由（1）知 1 3 分 2 A 13ac11 ,得c a于是F 2 (a,0),B(,0)， 22a22 B F 1 O F 2 x 11 ，半径r | F 2

26、B| a 5 分RtABC的外接圆圆心为F 1( a,0)） 22 D到直线l : x 3y 3 0的最大距离等于2a，所以圆心到直线的距离为a， 1 | a 3| 所以 2 a，解得a 2,c 1,b 2 7 分 3 x2y2 1. 所求椭圆方程为 8 分 43 （）由（）知F2(1,0), l：y k(x 1) y k(x 1) 2 2222 代入消 y 得 (3 4k )x 8k x 4k 12 0 x y2 1 3 4 因为l过点 F 2 ，所以 0恒成立 8k26k 设M(x1, y1)，N(x2, y2)则x1 x2，y y k(x x 2) 1212 3 4k234k2 4k23k ,) MN中点( 10 分 22 34k34k 当k 0时，MN为长轴，中点为原点，则m 0 11 分 3k14k2 (x) 当k 0时MN中垂线方程y 22 34kk34k 2k1 令y 0，m 3 3 4k2 4 k2 12 分 Q 31 4 4， 可得0 m 1 0， 13 分 22 kk 4 1 4 综上可知实数m的取值范围是0, ) 14 分 a 2a1x2 2a 20.【解】 （）h(x) 2 ln x， h ， 1 分(x) 3 3xxxx (x) 0，函数h(x)在(0,)上单调递增 a 0,