材料力学 第四章 扭转.ppt

1、Page,1,上一讲回顾（5）,静不定问题,平衡方程,先假设节点的位移，然后画变形图，根据变形图画受力图，再找各杆之间的变形协调关系,装配应力与热应力,静不定度,求解思路,静不定珩架的内力求解,Page,2,第四章 扭转,4-1 引言,4-2 圆轴扭转应力,4-3 圆轴扭转强度与动力传递,4-4 圆轴扭转变形与刚度计算,4-5 非圆截面轴扭转,4-6 薄壁杆扭转,Page,3,外力：作用面垂直于杆轴线的力偶，称为扭力偶，扭力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。,变形：各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线。,轴： 以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。,受扭杆件的外力及变形特征,4-1 引言,Page,4

2、,工程中的扭转问题,Page,5,Page,6,4.2 扭矩与扭矩图,扭矩：矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用T 表示。,符号规定：矢量方向(按右手螺旋定则)与横截面外法线方向一致的扭矩为正，反之为负。,Page,7,例：画扭矩图。,扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。,在AB和BC段分别切开，分别考察左与右段平衡（设正）,AB段：,BC段：,画扭矩图。,Page,8,例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。,AB段：,BC段：,CD段：,试与轴力图比较， 考察对应关系。,在AB、BC和CD段分别由三截面切开，考察左（或右）段平衡,画扭矩图,Page,9,对应拉压问题与轴力图,

3、2. 对应的轴力图与扭矩图,Page,10,3. 轴的动力传递,已知传动构件的转速与所传递的功率，计算轴所承受的扭力矩。,解:,计算一分钟的功 W,从扭力矩看,从电机看,两式得扭矩,Page,11,4-3 圆轴扭转应力,分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：,问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T 。 连续体的静不定问题 。,合理假设,截面上各点变形的规律：实验观测,连续体的变形协调条件(数学公式),Page,12,一、试验与假设,纵线：倾斜同一角度并保持直线。,2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。,圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕

4、轴线相对旋转。,1. 实验观测,这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。,Page,13,二、扭转应力的一般公式,Page,14,取楔形体O1O2ABCD 为研究对象,微段扭转变形 df,1. 几何方面（截取楔形体，动画）,Page,15,1. 几何方面（变形公式推导）,由此得,其中,Page,16,2. 物理方面,考察：扭转切应力分布规律,与 成正比，垂直于半径,Page,17,3. 静力学方面,圆轴扭转切应力的一般公式。,公式中还有哪些量未被确定？,Page,18,三、最大扭转切应力,最大扭转切应力发生在圆轴表面,Page,19,空心圆截面,四. 极惯性矩与抗扭截面系数,实心圆截面,

5、设,Page,20,圆轴扭转应力小结,公式的适用范围：,圆截面轴；,Page,21,例：画横截面扭转切应力分布示意图。,组合轴,空心轴,设平面假设成立,Page,22, 薄壁圆管的扭转切应力,1、精确计算 按空心轴的计算办法,2、近似计算,管壁薄假设切应力沿 管壁均匀分布,当R0/10时，足够精确,Page,23, 切应力互等定理,薄壁园管的扭转实验，沿壁厚方向取一微体,Page,24,切应力互等定理,在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。,将所取微体置于坐标系下，研究其平衡,Page,25,切应力互等定理的几点推论,矩形截面轴角点上的切应力为零。,纵截面上

6、存在切应力,受扭轴横截面边缘上任一点的切应力方向与该点的切线方向一致（即边缘切应力平行于周边）,Page,26,作业 3-30，4-1a,d(画扭矩图)，4，6,注意：,Page,27,上一讲回顾（6）,受扭圆轴的外力特征与变形特征,扭矩的符号（扭矩矢离开截面为正）与扭矩图,圆轴的扭转应力,扭转变形基本公式,扭转切应力,最大扭转切应力,适用范围,极惯性矩与抗弯截面系数,切应力互等定理 (适用范围？）,薄壁管的扭转切应力近似计算,适用范围？,Page,28,4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计,一、扭转失效与扭转极限应力,扭转极限应力,Page,29,二、圆轴扭转强度条件,许用切应力：,等截面圆轴

7、：,强度条件：,塑性材料： t =（0.50.577）s,脆性材料： t = （0.81.0）st,与 关系,详细讨论见第九章,Page,30,思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？,Page,31,思考：是否是愈大愈好？,三、圆轴合理截面与减缓应力集中,空心轴,实心轴,1. 合理截面形状,增大,Page,32,2. 采用变截面轴与阶梯形轴,试讨论怎样设计变截面轴和阶梯形轴。,3. 合理分配载荷 减小Tmax,Page,33,截面尺寸突变,配置过渡圆角,4. 减小应力集中,在截面尺寸突变或急剧改变处，会产生应力集中，因此在阶梯轴交界处，宜配置适当尺寸过度圆角以减小应力集中。,Page,34,

8、4-5 圆轴扭转变形与刚度计算,微段dx的扭转变形,一、圆轴扭转变形公式,相距l 的两横截面的扭转角,长l 常扭矩等截面圆轴,Page,35,二、圆轴扭转刚度条件,刚度条件:,等截面圆轴:,Page,36,例：已知轴的尺寸，计算总扭转，校核强度与刚度。,解：1、画扭转图（与轴位置对齐），确定危险截面。,可能危险截面A、B,Page,37,(分4段计算),2、总扭转角,Page,38,3、强度校核（危险截面A和B）,Page,39,4、刚度校核,Page,40,解：最大扭矩发生在B端（危险截面）,例：，均布力偶矩 ， 设计实心轴直径,Page,41,设计实心圆轴直径d。,a、根据强度条件,b、根

9、据刚度条件,取,Page,42,例：求最大切应力。,解：,思考：危险截面在何处？,比较：,Page,43,4-6 简单静不定轴,例1：圆轴两端固定在刚性墙面上，中部作用一集中扭力偶，其矩为M ，抗扭刚度GIp, , 求两端的扭矩 。,两个未知数： MA与MB 一个方程： MAMB M,扭转静不定问题,如何解 ？,Page,44,3. 利用变形协调条件求解约束反力,Page,45,解：,扭转静不定问题的解法,Page,46,例2: 管和轴两端由刚性圆盘连接，求管和轴的内力。,问题：,对应拉压静不定问题是什么？,取什么为未知量（几个未知量）？,变形协调方程怎么列？,Page,47,变形协调条件：,

10、分析：将管和轴拆开，曝露它们之间的内力偶T。,Page,48,对应的拉压静不定问题,Page,49,例 3 图示组合轴，承受集度为 m 的均布扭力偶，与矩为 M = ml 的集中扭力偶。已知： G1 = G2 = G，Ip1 = 2Ip2 。试求：圆盘的转角。,解：1. 建立平衡方程,沿截面 B 切开,画受力图,Page,50,2. 建立补充方程,变形协调条件,未知力偶矩2，平衡方程1，一度静不定,Page,51,联立求解平衡（a)与补充方程(b)，,圆盘转角为,3.扭矩与圆盘转角,得,Page,52,思考：该题是否可以这样做？,将组合轴当作一个整体，则,结果同前,Page,53,课堂练习：,

11、图示两端固定的等截面园轴，截面的极惯性矩为IP，剪切模量为G，在截面C上有抗扭弹簧刚度为K（kNm/rad)d弹簧），试求两端的反作用力偶矩。（提示：设载荷作用下，截面C的转角为C，则弹簧的提供的扭力偶MCK C),Page,54,ma-MA,MA,MB,Page,55,？,Page,56,作业 4-9 4-10 4-13 4-17,Page,57,4-7 非圆截面轴扭转,历史回顾,Navier（法）研究扭转，梁弯曲问题，提出了静不定问题位移解法，1826，第一本材料力学。,1784，Coulomb，圆杆扭转应力公式， Navier错误用于非圆截面杆达半个世纪。,Navier (France)

12、,Page,58,St.Venant 研究了扭转，梁弯曲问题，提出了 St.Venant原理。,1855年，提出非圆截面问题的正确解法。,St.Venant (France),Page,59,一、非圆截面轴扭转的实验,矩形截面轴的扭转实验,Page,60,工字形截面轴的扭转实验,Page,61,对非圆截面轴受扭时横截面发生翘曲，平截面假设不再适用，因而圆轴扭转应力公式对非圆截面轴不再适用。,总结：,Page,62,二、矩形截面轴的扭转（弹性理论解）,边缘处的切应力平行于周边,角点处的切应力为零。 在长边中点，短边中点的 也相当大。,系数 a, b, g 表,Page,63,狭长矩形截面轴:,接

13、近1,h中心线总长,Page,64,三、椭圆等非圆截面轴扭转,的计算公式见附录D。,Page,65,4-8 薄壁杆扭转,描述薄壁截面的几何参量：,截面中心线截面壁厚 的平分线,开口薄壁杆,闭口薄壁杆截面中心线为封闭曲线的薄壁杆,壁厚,薄壁杆在航空结构上大量应用,Page,66,一、闭口薄壁杆的扭转应力,问题：切应力沿截面中心线如何分布？如何计算？,假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：,切应力互等定理,利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.,Page,67,截面中心线所围面积的2倍,思考：O点位置可否任选，如截面外？,常数，称为剪流，代表中心线单位

14、长度上的剪力。,思考：公式的适用范围？,Page,68,例 平均半径R0，铆钉总数n，壁厚d 求铆钉剪切力,解：,Page,69,二、闭口薄壁杆的扭转变形,思考：公式的适用范围？,Page,70,闭口薄壁杆扭转应力与变形公式能否用于开口薄壁杆？,三、开口薄壁杆扭转概念,Page,71,解：1.闭口薄壁圆管,例 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能，设 R020d,Page,72,2.开口薄壁圆管,3.抗扭性能比较,闭口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好,Page,73,开口薄壁杆的扭转,Page,74,结论：在矩形中，正方形包围面积 最大。,思考：中心线周长S相同 的薄壁杆受相同的扭矩T，最好做成什