静电场习题解答.doc

1、习题 22-1两个点电荷q和-q分别位于+y轴和+x轴上距原点为a处，求：（1）z轴上任一点处电场强度的方向aE；（2）平面y = x上任一点的aE。解：（1）源点坐标q（0，a，0）、-q（0，a，0），场点坐标（0，0，z） （2）位于平面y = x上任一点的场点坐标（x，x，z）,电场为 2-2xy平面上半径为 a 圆心位于原点的半圆环关于 x 轴对称，且开口朝向+x轴。若半环上电荷线密度为rl，求位于原点的点电荷 q 所受到的作用力。解：2-3卢瑟福在1911年采用的原子模型为：半径为ra的球体积中均匀分布着总电量为- ze的电子云，球心有一正电荷ze（z为原子序数， e是质子的电量）

2、，试证明他得到的原子内的电场和电位的表示式： 证明：球内的体电荷均匀分布，密度为由高斯定律，取同心球面为高斯面，得 于是得球内任意点的电场强度为 球外的电场强度为零。取无穷远处为电位参考点，则球内的电位分布为 2-4 如图题2-4所示的两个轴线平行的无限长圆柱面之间有体电荷密度为rf的电荷均匀分布，其余部分为空气，无电荷，。求空间各点的电场强度。 abO1O2crf x y 题2-4图解：该电荷分布的电场可看做是体电荷密度为rf的大圆柱的电场和体电荷密度为-rf的小圆柱的电场的叠加，显然两种场分别具有轴对称性。大圆柱取高斯面为以O1为轴线的单位长度的闭合圆柱面，小圆柱取高斯面为以O2为轴线的单

3、位长度的闭合圆柱面，则由高斯定律 大柱内： 大柱外： 小柱内： 小柱外： 由叠加定理，可得各部分空间的电场强度分别为空腔内（）： 两柱之间（）： 大柱外（）： 2-5 计算在电场中把一个的电荷沿以下两种路径从点（2，1，-1）移到（8，2，-1）电场力所做的功：（1）沿曲线；（2）沿连接该两点的直线。解： （1）（2）两点间直线方程为 2-6 大气中各点电场强度的经验分布为，z 为从当地的地平面算起的高度；所有的经验常数A、B、a、b 皆为正数。求大气中电荷密度的经验分布，并问它是正电荷还是负电荷？解：由高斯定律的微分形式，电荷密度为 因A、B、a、b 皆为正数，因此，是正电荷。2-7 已知空

4、间电场分布如下，求空间各点的电荷分布：（1）（2），解：（1）（2） 2-8 以下矢量场是不是静电场的一种可能的分布？若是，找出其电位F的函数式：（1）（2） （a、b为常数）解：静电场是保守场，应满足（1）因此，E是可能的静电场分布。设电位参考点选在（x0，y0，z0） （2） 因此，E不是可能的静电场分布。2-9 假设所讨论的空间无电荷，以下标量场是不是静电场的一种可能的电位分布？（1） （2）（3），（4） （y 0）解：在无电荷的空间，静电场的电位应满足（1）（2） （3） （4） 由以上计算结果可知，标量函数（1）、（2）、（3）是静电场的电位，（4）不是。2-10 半径为 a 的永

5、久极化介质球，球心在原点，均匀极化强度为P,平行于z 轴，球外为空气。求（1）介质球表面的束缚电荷密度；（2）z 轴上任一点由束缚电荷产生的电位和电场强度。解：（1）（2）束缚面电荷产生的电位可直接由积分公式计算： 时， 时， zaarqRee0zPz zaarqRee0zPz （a） (b) 题2.10图2-11 均匀极化的一大块介质极化强度为P，内部有一半径为a 的球形空腔，求球心处的电场强度。解：设，则空腔边界上束缚面电荷分布为球心处的电场强度为 2-12 空气中半径为 b 的介质球内有一个半径为 a 的同心导体球壳，介质的介电常数为 e ，极化强度为，其中 k 为常数。求（1）束缚电荷

6、的体密度和面密度；（2）自由电荷密度（3）导体球面的电位。解：（1） （2）介质内的电位移分布可由介质中静电场的本构关系求得： （3）介质内的电场强度由本构关系得 介质球外的电场利用高斯定律可得 2-13 两种电介质的分界面为平面，已知，若介质1中的电场为 求介质 2 中分界面处的E2 和D2。解：把介质1中的电场在分界面上分解为法向和切向，写为 ， 由介质分界面上的边界条件，可得 所以分界面处的电场和电位移分别为 2-14 在的介质分界面上电场强度的矢线若如题2.14图所示，问介质分界面上的束缚电荷是正是负？证明之。解：由图示，及，可得 根据分界面上法向边界条件，即 （1）可得 （2）由极化

7、强度和电场强度的关系 可写出介质1表面的束缚电荷为 介质2表面的束缚电荷为 于是分界面上的束缚电荷为 代入（1）式及（2）式，得 因此，分界面上的束缚电荷是正电荷。 E1E2xy 题2.14图2-15 半径为a 的薄导体壳的内表面涂了一层绝缘膜，球内充满总电量为Q 的电荷，绝缘膜外的壳上又另充了电量Q 。已知球内部电场为，求：球内电荷分布；球壳外表面上的电荷分布；球壳的电位；球心的电位。解：（1）球内电荷分布（2）球内电荷总量球外电位移由高斯定律求出，为 球壳外表面的电荷密度可由边界条件求得，为 （3）（4）2-16 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知圆柱内外的电位分布为（1）求圆柱内外的电场

8、强度；（2）这个圆柱是用什么材料制成的？表面有电荷吗？试求之。解：（1） （2）由于圆柱内电场为零，因此该圆柱可能是导体。圆柱表面的电荷可由边界条件求得 2-17 厚度为d的无限大介质平板，电容率为e = 4e0，放置于均匀电场E0之中，E0向板的入射角为q1，如题2.17图所示。求：（1）使q2=p/4的q1的值；（2）板的两表面的束缚电荷密度。解：（1）由，可得 （2）由介质分界面上的法向边界条件，即可得介质板中的法向电场为而介质中的极化强度由于入射表面的外法向指向空气，与极化强度的法向方向相反，因此该表面束缚电荷为 出射表面的束缚电荷为 q1q2Edee0 题2-17图2-18 匀强电场

9、E0中放入一个半径为a的介质球（介电常数为e）后，球内外的电场分布变为 （1） 验证球表面的边界条件；（2） 计算球内外的电场强度；（3） 计算球表面的束缚电荷密度。解：（1）球表面的边界条件为切向 法向 验证： 满足 （2）介质球内的电场 介质球外的电场 （3）介质球的极化强度 介质球表面的束缚电荷为 2-19 两个无限大导体平板相交成a角，但不接触，电压分别为U1和U2（U1U2），如题2-19图所示。求两板之间的电位分布、电场强度和板上的电荷分布。解：两板之间电位满足 解得 代入边界条件 得 于是板间电位为 电场强度为 板上的电位分布为 aU2U1 题2-19图2-20 同轴电缆内、外导

10、体半径分别为a、b，电位分别为U、0，内、外导体之间充满不均匀介质，介电常数为（k为常数），已知介质中没有自由电荷。（1）导出该介质中的电位方程，并求解；（2）求E及单位长度上内外导体表面的自由电荷电量；（3）求束缚面电荷分布；（4）求此电缆单位长度的电容量。解：（1）把代入高斯定律 因此电位方程满足 代入边界条件 得 于是得电位解（2）圆柱内表面电荷面密度为 则内外导体单位长度的带电量分别为（3）介质中的极化强度为 束缚面电荷分为为 （4）单位长度的电容量为2-21 两个同心金属球壳组成一电容器。内、外壳半径分别为a、b，在两壳之间一半的空间填充介质e（介质分界面是过球心的平面），求此电容器

11、的电容。解：法一：利用电位求解两球壳之间无电荷分布，因此空气中和介质中的电位均满足拉普拉斯方程。又由于当内外球壳间加电压U时，两区域电位均满足同一边界条件，即，因此，根据唯一性定理，两区域内具有相同电位解，且具有球对称性。 代入边界条件 求得 电位解为 内球壳表面的电荷密度分别为 内球带电总量为 两球壳之间电容量为 法二：利用电场强度求解为满足导体球表面的边界条件，显然电场强度沿径向分布。而两种介质分界面的边界条件要求电场切向连续，因此，两区域内的电场强度分布相同，设为E=arEr。由高斯定律 可得 两球之间电压 同样得到 2-22 平行板电容器中放入一层的介质后，电容是增大还是减小了？就两种

12、情况作出解释：（1）保持极板上的电量不变；（2）保持极板间电压不变。解：设板间距离为d，未加入介质时，该电容器的电容量为 加入厚度为t的介质后，由于在介质分界面电位移应保持连续，因此介质和空气中的电位移相等，设为D，而极板表面电荷密度为。（1）加入介质并保持极板上电量不变时，两板之间电压为 电容为 （2）加入介质并保持两极间电压不变时，极板上电量为 电容为 因此，在上述两种情况下放入介质后，电容增大了。 电容器的电容量仅与电容器的尺寸和内充的介质有关，与极板是否带电、有无电压并无关系。在放入介质的过程中，若电荷量保持不变，由于电场对介质做功消耗了静电能，因而电压降低，使得电容增大；若保持电压不

13、变，则需外接电源，外电源的供能一半对介质做功，一半储存在电容器中，使极板上的电荷量增加，因而电容量增大。2-23 平行板极板间相距2cm，其中有1cm厚的玻璃，击穿场强为50kV/cm；其余为空气，击穿场强为30kV/cm。问（1）若在极间加电压40kV，此电容器会不会击穿？（2）若将玻璃片取出，会不会击穿？解：（1）由介质分界面边界条件，电位移连续，即 可得 两极板间电压为 于是 空气层会被击穿。空气层击穿后，40kV电压全部加在1cm的介质上，介质中的场强为40kV/cm，不会再被击穿。（2）若将玻璃片取出，空气中的场强为 不会被击穿。2-24 同轴圆柱形电容器内、外导体半径分别为a和b，

14、b为给定值。（1）当外加电压U固定时，问a为何值时可使电容器中的最大电场强度取得极小值，并求出该极小值；（2）当已知介质的击穿场强Emax时，问a为何值时电容器能承受极大电压？并求出该极大电压值Umax。解：圆柱形电容器内电场分布为 最大值在内导体表面处 令 可得 ，即 又 因此，时，圆柱内导体表面的电场强度取得最小值，为 （2）由于内导体表面耐受的场强最大，当此处的介质不会被击穿时，则整个电容器不会被击穿。当此处的场强取值为击穿场强时， 此电容器的耐受电压随内导体半径的变化而变化： 令 可得 又 因此，时电容器能承受极大电压，此极大电压为 2-25 一个半径为a的导体球位于半径为b的导体球壳

15、内，两球同心，内球电位为U，外壳电位为零，求：（1）区域中的电位分布；（2）内外球之间的电容；（3）试证：在U、b给定时，a=b/2可使内球表面处电场达到极小值，并求出该极小值。解：（1）内外球壳之间电位满足拉普拉斯方程 代入边界条件 求得 电位解为 （2）内球表面的电荷密度为 总电量为 内外球之间电容为 （3）内球表面电场为 令 可得 又因 所以，当时，内球表面电场达到极小值。 2-26 如题2-26图所示，有一长方形的导体槽，设槽的长度为无限长，电位为0，槽上有一块与槽绝缘的盖板，电位为U0，求槽内的电位分布。 O a xbyF=U0 题2-26图 题2-26电位分布图 解：槽内电位分布满

16、足拉普拉斯方程 设电位具有分离变量解由边界条件可知，具有的形式，因此只能取指数类的函数；又由边界条件可知， 具有的形式。由此写出电位的通解为 代入边界条件 两边同乘，并对x从0到a积分： 因此，可得电位解为其电位分布示意图如图所示。2-27 如题2-27图所示，两无限大平行导体平面，相距b，在平面上处有一厚度可视为零导体薄片与上极板相连，整个T型板的电位为U0，下极板电位为0。若已知 平面上范围内的电位为，求板间的电位分布。 ObyU0xd ObyU0xF1 Oby0xdF2 题2-27图 题2-27辅助图解：已知的边界条件不能直接满足直角坐标的分离函数特征，因此需要将边界分解成如图所示的区域

17、及边界条件，按照叠加定理和唯一性定理，有 电位F1和F2分别满足拉普拉斯方程，其中 设电位F2具有分离变量解由F2的边界条件可知，具有的形式，因此只能取指数类的函数；又由于具有偶函数性质，且x时，电位趋于零，因此可设由此写出电位的通解为将时F2的边界条件代入上式，可得 两边同乘，并对y从0到b积分： 于是可得 其电位分布示意图如图所示。 题2-27电位分布图2-28 如题2-28图所示，两无限大平行导体平面，相距a，上下极板电位均为0。它们之间有一与z轴平行的线电荷l（C/m），位于（0，d）处。求板间的电位分布。Oayxdl 题2-28图 题2-28电位分布图 解：两极板间除线电荷所在位置之

18、外的空间中电位满足拉普拉斯方程。设电位F具有分离变量解由边界条件可知，具有的形式，因此只能取指数类的函数；又由于具有偶函数性质，且x时，电位趋于零，因此可设由此写出电位的通解为 即时， 时， 在分界面x = 0处，线电荷l用面密度表示为 代入分界面上的边界条件 得到两边同乘，并对y从0到a积分： 最后得到电位解为其电位分布示意图如图所示。2-29 z方向无限长的矩形横截面场域，如题2-29图所示。域内无电荷分布。已知边界条件如下：，。求场域内的电位分布。O a xbyF =F0F = 0F = 0 a x 图题2-29图 题2-29电位分布 解：矩形区域内无电荷分布，电位满足拉普拉斯方程。设电

19、位F具有分离变量解由边界条件可知，具有的形式，因此只能取指数类的函数；又由于，因此具有的形式，由此写出电位的通解为 代入边界条件 得到两边同乘，并对y从0到b积分： 最后得到电位的通解为 其电位分布示意图如图所示。2-30 两块相互平行的半无限大导体平板，板间距离为a。在同一端各取a/2长，折成直角相对，但二者绝缘，其横截面如题2.30图所示。域内无空间电荷分布。已知上板电位为F0，下板电位为0。求板间电位分布。O ayF =F0F = 0a/2x O ayF =F0F = 0xF1 O ayF = 0F = 0a/2xF2 题2-30图 题2-30辅助图解：已知的边界条件不能直接满足直角坐标

20、的分离函数特征，因此需要将边界分解成如图所示的区域及边界条件，按照叠加定理和唯一性定理，有。电位F1和F2分别满足拉普拉斯方程，其中 设电位F2具有分离变量解由F2的边界条件可知，具有的形式，因此只能取指数类的函数；又由于x时，电位趋于零，因此可设由此写出电位F2的通解为将时F2的边界条件代入上式，可得 两边同乘，并对y从0到b积分： 因此得电位F2的通解为 最后得板间总电位通解为其电位分布示意图如图所示。 题2-30电位分布图2-31 在均匀电场中垂直于电场方向放置一不带电导体圆柱，圆柱半径为a。设导体放入前，导体轴线所在位置电位为0。导体外无电荷分布。求圆柱外的电位函数和电场强度。解：以导

21、体圆柱轴线为极轴建立圆柱坐标系，如图题2-31（a）所示。OajxPE0r （a） （b） 题2-31图由于时，因此外电场电位可表示为圆柱外无电荷分布，电位满足拉普拉斯方程，其分离变量通解为 由于电位分布具有偶对称性，因此，圆柱外电位解为 当时，显然导体圆柱的影响逐渐消失，即 解得 ，于是电位可写为 又由于导体圆柱是等位体，因此，时，即 解得 ，最后得圆柱外电位解为 电场强度为电位分布如题2-31图（b）所示。2-32 一无限长圆柱形空间的横截面为扇形，扇形的圆心角为b，圆弧半径为b，如题2.32图所示。柱形空间内无空间电荷分别。已知圆柱面电位为F0，两侧面电位为0。求此柱形空间内的电位分布。

22、bF =F0F =0F =0bO 题2-32图解：圆柱内无电荷分布，电位满足拉普拉斯方程，由于时，其解可设为 代入边界条件 得 再代入边界条件 可得 （n=1，2，3.）于是电位解可写为 代入边界条件时，得 两边同乘，并对j从0到b 积分： 最后得扇形域内电位为2-33 一无限长圆柱形空间的横截面为部分圆环，部分圆环的圆心角为b，内、外圆弧半径分别为a和b，如题2.33图所示。柱形空间内无空间电荷分布。已知外圆柱面电位为F0，内圆柱面和两侧面电位为0。求此柱形空间内的电位分布。bF =F0F =0F =0bOa 题2-33图解：环形域内无电荷分布，电位满足拉普拉斯方程，由于时，其解可设为 代入

23、边界条件 得 再代入边界条件 可得 （n=1，2，3.）于是电位解可写为 代入边界条件时，得 两边同乘，并对j从0到b 积分： 最后得扇形域内电位为2-34 在均匀电场中垂直于电场方向放置一无限长的外包介质层的不带电导体圆柱，圆柱半径为a，介质层外半径为b。设导体放入前，导体轴线所在位置电位为0。介质层的介电常数为e1，介质层外部区域的介电常数为e2。导体外无自由电荷分布。求介质层内、外区域的电位分布。ae1e2E0b ae1e2E0ObjxPr 题2-34图 题2-34辅助图解：以导体圆柱轴线为极轴建立圆柱坐标系，如题2.34辅助图所示。由于时，因此外电场电位可表示为两种介质中均无电荷分布，

24、电位满足拉普拉斯方程。由于电位分布具有偶对称性，因此，可设介质1和介质2中的电位解分别为 (a r b)（1）由于导体圆柱是等位体，因此，时，即 解得 于是 （2）当时，显然圆柱的影响逐渐消失，即 解得 ，于是 （3）时，电位满足介质分界面的边界条件，及，即 将以上方程组按和分成两个方程组， 解得 最后得电位解为 2-35 一内半径为a的半无限长金属圆筒，圆筒与底面绝缘。已知筒底电位为F0，圆筒电位为0。筒内无空间电荷分布。求圆筒内的单位分布。解：圆筒内电位满足拉普拉斯方程，由于轴对称，因此电位与j角无关，设分离变量解为 代入拉普拉斯方程 并对方程两边同除以非零解，得 令上式中左边的两项分别为

25、和，得（1） 其解为 由于时，电位，因此，即（） （2） 其解为零阶贝塞尔函数 由于时，电位为有限值，而,因此，必有。又由边界条件，即，可得 （m=1,2,3.）其中p0m是零阶贝塞尔函数的第m个正零点。将k代入电位中，并利用叠加原理可得电位的通解形式为 代入边界条件，得 两边同乘以，并对r从0到a积分，得 利用贝塞尔函数的正交性 及贝塞尔函数的递推公式 可得 于是可得圆柱内的电位为2-36 在均匀电场中放入半径为a的导体球，设（1）导体电位为U0；（2）导体带电量为Q。分别计算以上两种情形下球外的电位。OaqzE0rP 题2-36图解：以导体球心为原点建立球坐标系，如图题2-36图所示。为了

26、方便表示外电场的电位，将导体球看作是处于E中电位为零（不带电）的场F1与电位为U0（带电Q）的孤立导体球的场F2的叠加。外电场的电位用球坐标表示为 导体球外无电荷分布，电位满足拉普拉斯方程且具有轴对称性，其分离变量通解为 当时，显然导体球的影响逐渐消失，即 解得 ，于是电位可写为 又由于导体球是等位体，因此，时，即 解得 ， 于是得 （1）导体球电位为U0时， 因此 （2）导体带电量为Q 时， 讨论：在F1的求解中，电位的零参考点是设在，而在F2的求解中，是以无穷远为零参考。两者相加，零参考点在哪里呢？当然，既不能是点，也不能是无穷远点，除此之外，可以是任意点。实际上，不同零参考点的电位函数相

27、加并不影响电位的函数规律，参考点不同，只会相差一个常数，因此，电位解可写为 若选取点位零参考点，则待定常数C即可求得，令 则可得 特别地，当取点为零参考点时，常数C的形式最简单，为 2-37 在一个半径为a的球面上，给定电位分布。球内外均无空间电荷分布。求球内外的电位分布。解：球内外无电荷分布，电位满足拉普拉斯方程且具有轴对称性，设分离变量通解为 () ()当时，电位应为有限值，因此，有 于是电位可写为 当时，显然球面电位的影响逐渐消失，于是零参考点可取在无穷远处，即 解得 代入边界条件：由 可得 由 可得 最后可得球内外电位解为；2-38 一个半径为a的介质球被永久极化，极化强度为P，求证：

28、（1）球内的电场是均匀的，且;（2）球外的电场同一个位于球心的电偶极子产生的电场相同，且 解：（1）设极化方向为+z轴，即则介质球表面的极化电荷密度为 该电荷是产生场的唯一源，可应用真空中静电场的基本方程求解。由于球内外没有电荷分布，电位满足拉普拉斯方程且具有轴对称性，设分离变量通解为 () ()当时，电位应为有限值，因此，有 于是电位可写为 当时，显然球面电位的影响逐渐消失，于是零参考点可取在无穷远处，即 解得 应用真空中边界条件 可得 解得 于是得球内外电位为 () ()球内的电场为 球内的电位移为（2）球外电场为 令，则 上式与位于球心的电偶极距为的电偶极子的电场分布相同。电位移则为 得

29、证。2-39 在一个电容率为e的无限大介质中开一个半径为a的球形空腔，已知介质中为匀强电场，求空腔内的电场强度和空腔表面的极化面电荷密度。解： 设空腔中心为电位参考点，则空腔中和介质中电位的分离变量解分别为 () ()把匀强电场表示为电位，则当时，球外的电位将趋向于，即 因此可得 利用边界条件 可得 及解得 ， 于是得球内外电位为 空腔内的电场强度为 由，得介质中的极化强度为 空腔表面的极化电荷密度为2-40 一点电荷q与无限大接地导体平面距离为d，试计算将此点电荷移至无穷远处，电场力所做的功。解：接地导体的影响可用镜像电荷代替，如图所示。q dOxze0sq dOxze0e0-q -d 题2

30、-40图电荷q所受到的电场力为 将此电荷移至无穷远处，电场力所做的功为 2-41 如题2-41图所示，两个半无限大介质e 1和e 2的分界面为z = 0平面，介质1中z = h处有一点电荷q，试求空间电位分布。q hOxze1e2h qOxze1h q+qOxze2e2-h qe1RRPP （a） （b）题2-41图 题2-41镜像图解：点电荷q产生的电场使介质发生极化现象，介质均匀时，仅在在介质1表面产生极化电荷，在介质2表面产生极化电荷，而没有极化体电荷。这些极化面电荷产生的场与自由电荷q产生的场叠加在一起，构成边值问题。在求解上半空间电位时，按照镜像法的思想，可把极化面电荷的影响用镜像电

31、荷等效，同时把介质2换成介质1，以此来消除不同介质分界面带来的求解的不便。设镜像电荷位于点，电荷量为q，如图题2.41镜像图（a）所示，则上半空间电位可表示为 类似地，在求解下半空间电位时，把介质1换成介质2，以消除介质分界面，而极化面电荷的影响仍用镜像电荷等效，设镜像电荷位于点，电荷量为q，如图题2.41镜像图（b）所示，则下半空间电位可表示为 在分界面上，电位应满足边界条件 将和代入以上两式，可得 联立以上两式，可解出 最后得各部分空间电位为 2-42 一点电荷q放在60的接地导体角域内的点，如题2-42图所示。求点的电位。 q(1,1)60m0, e0sxy m0, e0m0, e0Q

32、q60 A -qD -q B -qE qC q 题2-42图 题2-42图的镜像图解：可用镜像法求解的角域问题要求角度满足a =p / n，其中 n=2,3,4, 。这样镜像系统中的电荷总数为2n个，它们关于角域的两个导体平面对称分布，如图所示。由几何关系的对称性可以求出各个镜像电荷的位置如下：, B(1，-1)， ，, 设点为P点，则该点的电位为2-43 半径为a的导体球外有一点电荷q，距离球心h（h a），求下列情况下球外空间的电位。（1）导体球不接地不带电；（2）导体球不接地带电量为Q；（3）导体球电位为U。Oqhze0s hOBAqqhze0e0-qhORRqPqhzre0e0q （a

33、） （b） （c） 题2-43图解：题2-43图（a）所示的导体球接地不带电时，q在导体表面感应出电荷，在导体球外，这部分面电荷和q共同产生的电场可用图（b）所示的的镜像系统等效，其中镜像电荷设为q，镜像电荷的位置显然位于z轴上，设为h，则由于 解得 （1）导体球不接地不带电时，除了感应电荷q外，导体球上还有多余的-q，这部分电荷均匀分布于球面上时，方可使球面为等位面，因此，此时球外的电位可用如图（c）所示的镜像系统等效，于是可得球外任一点的电位为（2）导体球不接地带电量为Q时，球外的电位仍可用如图（c）所示的镜像系统等效，只是球心处的电荷量为。于是球外任一点电位为（3）导体球电位为U时，可看做是接地导体球