成都中考27题以三角形、四边形为基架的综合题.doc

1、题型27 以三角形、四边形为基架的综合题五年中考1（2019成都）如图1，在ABC中，ABAC20，tanB=34，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）以D为顶点作ADEB，射线DE交AC边于点E，过点A作AFAD交射线DE于点F，连接CF（1）求证：ABDDCE；（2）当DEAB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DFCF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由【点拨】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可（2）解直角三角形求出BC，由ABDCBA，推出ABCB=DBAB，可得DB=AB2CB=20232=252，由DEA

2、B，推出AEAC=BDBC，求出AE即可（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF作FHBC于H，AMBC于M，ANFH于N则NHMAMHANH90，由AFNADM，可得ANAM=AFAD=tanADFtanB=34，推出AN=34AM=34129，推出CHCMMHCMAN1697，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题【解析】（1）证明：ABAC，BACB，ADE+CDEB+BAD，ADEB，BADCDE，BADDCE（2）解：如图2中，作AMBC于M在RtABM中，设BM4k，则AMBMtanB4k34=3k，由勾股定理，得到AB2AM2+BM2，202（3k）2+

3、（4k）2，k4或4（舍弃），ABAC，AMBC，BC2BM24k32，DEAB，BADADE，ADEB，BACB，BADACB，ABDCBA，ABDCBA，ABCB=DBAB，DB=AB2CB=20232=252，DEAB，AEAC=BDBC，AE=ACBDBC=2025232=12516（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF理由：作FHBC于H，AMBC于M，ANFH于N则NHMAMHANH90，四边形AMHN为矩形，MAN90，MHAN，ABAC，AMBC，AB20，tanB=34BMCM16，BC32，在RtABM中，由勾股定理，得AM=AB2-BM2=202-1

4、62=12，ANFH，AMBC，ANF90AMD，DAF90MAN，NAFMAD，AFNADM，ANAM=AFAD=tanADFtanB=34，AN=34AM=34129，CHCMMHCMAN1697，当DFCF时，由点D不与点C重合，可知DFC为等腰三角形，FHDC，CD2CH14，BDBCCD321418，点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF，此时BD182（2018成都）在RtABC中，ACB90，AB=7，AC2，过点B作直线mAC，将ABC绕点C顺时针旋转得到ABC（点A，B的对应点分别为A，B），射线CA，CB分别交直线m于点P，Q（1）如图1，当P与A重合时，求

5、ACA的度数；（2）如图2，设AB与BC的交点为M，当M为AB的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA，CB的延长线上时，试探究四边形PABQ的面积是否存在最小值若存在，求出四边形PABQ的最小面积；若不存在，请说明理由【点拨】（1）由旋转可得：ACAC2，进而得到BC=3，依据ABC90，可得cosACB=BCAC=32，即可得到ACB30，ACA60；（2）根据M为AB的中点，即可得出AACM，进而得到PB=32BC=32，依据tanQtanA=32，即可得到BQBC23=2，进而得出PQPB+BQ=72；（3）依据S四边形PABQSPCQSACBSPCQ-3，即

6、可得到S四边形PABQ最小，即SPCQ最小，而SPCQ=12PQBC=32PQ，利用几何法或代数法即可得到SPCQ的最小值3，S四边形PABQ3-3【解析】解：（1）由旋转可得：ACAC2，ACB90，AB=7，AC2，BC=3，ACB90，mAC，ABC90，cosACB=BCAC=32，ACB30，ACA60；（2）M为AB的中点，ACMMAC，由旋转可得，MACA，AACM，tanPCBtanA=32，PB=32BC=32，PCQPBC90，BQC+BPCBCP+BPC90，BQCBCPA，tanBQCtanA=32，BQBC23=2，PQPB+BQ=72；（3）S四边形PABQSPCQ

7、SACBSPCQ-3，S四边形PABQ最小，即SPCQ最小，SPCQ=12PQBC=32PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，PCQ90，CG=12PQ，即PQ2CG，当CG最小时，PQ最小，CGPQ，即CG与CB重合时，CG最小，CGmin=3，PQmin23，SPCQ的最小值3，S四边形PABQ3-3；法二（代数法）设PBx，BQy，由射影定理得：xy3，当PQ最小时，x+y最小，（x+y）2x2+2xy+y2x2+6+y22xy+612，当xy=3时，“”成立，PQ=3+3=23，SPCQ的最小值3，S四边形PABQ3-33（2017成都）问题背景：如图1，等腰ABC中，ABAC，BAC

8、120，作ADBC于点D，则D为BC的中点，BAD=12BAC60，于是BCAB=2BDAB=3；迁移应用：如图2，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD求证：ADBAEC；请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，ABC120，在ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF证明CEF是等边三角形；若AE5，CE2，求BF的长【点拨】迁移应用：如图中，只要证明DABCAE，即可根据SAS解决问题；结论：CD=3AD+BD由DABEAC，可知BDCE，在RtAD

9、H中，DHADcos30=32AD，由ADAE，AHDE，推出DHHE，由CDDE+EC2DH+BD=3AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：如图3中，作BHAE于H，连接BE由BCBEBDBA，FEFC，推出A、D、E、C四点共圆，推出ADCAEC120，推出FEC60，推出EFC是等边三角形；由AE5，ECEF2，推出AHHE2.5，FH4.5，在RtBHF中，由BFH30，可得HFBF=cos30，由此即可解决问题【解析】迁移应用：证明：如图BACDAE120，DABCAE，在DAB和EAC中，DA=EADAB=EACAB=AC，DABEAC，解：结论：CD=3AD+BD理由：如图21中，

10、作AHCD于HDABEAC，BDCE，在RtADH中，DHADcos30=32AD，ADAE，AHDE，DHHE，CDDE+EC2DH+BD=3AD+BD拓展延伸：证明：如图3中，作BHAE于H，连接BE四边形ABCD是菱形，ABC120，ABD，BDC是等边三角形，BABDBC，E、C关于BM对称，BCBEBDBA，FEFC，A、D、E、C四点共圆，ADCAEC120，FEC60，EFC是等边三角形，解：AE5，ECEF2，AHHE2.5，FH4.5，在RtBHF中，BFH30，HFBF=cos30，BF=4.532=334（2016成都）如图，ABC中，ABC45，AHBC于点H，点D在A

11、H上，且DHCH，连结BD（1）求证：BDAC；（2）将BHD绕点H旋转，得到EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE如图，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC4，tanC3，求AE的长；如图，当EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由【点拨】（1）先判断出AHBH，再判断出BHDAHC即可；（2）先根据tanC3，求出AH3，CH1，然后根据EHAFHC，得到，HP3AP，AE2AP，最后用勾股定理即可；方法1、先判断出AGQCHQ，得到AQGQ=CQHQ，然后判断出AQCGQH，用相似

12、比即可方法2、取EF的中点K，连接GK，HK，先证明GKHK=12EF，再证明GKH是等边三角形即可【解析】解：（1）在RtAHB中，ABC45，AHBH，在BHD和AHC中，AH=BHBHD=AHC=90DH=CH，BHDAHC，BDAC，（2）如图，在RtAHC中，tanC3，AHCH=3，设CHx，BHAH3x，BC4，3x+x4，x1，AH3，CH1，由旋转知，EHFBHDAHC90，EHAH3，CHDHFH，EHF+AHFAHC+AHF，EHAFHC，EHAH=FHHC=1，EHAFHC，EAHC，tanEAHtanC3，过点H作HPAE，HP3AP，AE2AP，在RtAHP中，AP

13、2+HP2AH2，AP2+（3AP）29，AP=31010，AE=3105；方法1、如图1，EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到，HDHF，AHF30CHF90+30120，由有，AEH和FHC都为等腰三角形，GAHHCG30，CGAE，点C，H，G，A四点共圆，CGHCAH，设CG与AH交于点Q，AQCGQH，AQCGQH，ACHG=AQGQ=1sin30=2，EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到，EFBD，由（1）知，BDAC，EFACEFHG=ACGH=AQGQ=1sin30=2即：EF2HG方法2、如图，取EF的中点K，连接GK，HK，由旋转知，EHF90，EKHK=12EF，

14、由旋转知，CGEAGC90，EKGK=12EF，HKGK，EKHK，FKG2AEF，EKGK，HKF2HEF，由旋转知，AHF30，AHE120，由（1）知，BHAH，BHEH，AHEH，AEH30，HKGFKG+HKF2AEF+2HEF2AEH60，HKG是等边三角形，GHGK，EF2GK2GH，即：EF2GH5（2015成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE90（1）如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF（i）求证：CAECBF；（ii）若BE1，AE2，求CE的长；（2）如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且ABB

15、C=EFFC=k时，若BE1，AE2，CE3，求k的值；（3）如图，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DABGEF45时，设BEm，AEn，CEp，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系（直接写出结果，不必写出解答过程）【点拨】（1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得ACBC=CECF=2，ACEBCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得CAECBF即可（ii）首先根据CAECBF，判断出CAECBF，再根据CAE+CBE90，判断出EBF90；然后在RtBEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可（2）首先根据相似三角形判定的

16、方法，判断出ACEBCF，即可判断出AEBF=ACBC=k2+1，据此求出BF的长度是多少；然后判断出EBF90，在RtBEF中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可（3）首先根据DAB45，可得ABC18045135，在ABC中，根据勾股定理可求得AB2、BC2，AC2之间的关系，EF2、FC2，EC2之间的关系；然后根据相似三角形判定的方法，判断出ACEBCF，即可用n表示出BF的值；最后判断出EBF90，在RtBEF中，根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可【解析】（1）（i）证明：四边形ABCD和EFCG均为正方形，ACBC=CECF=2，ACB

17、ECF45，ACEBCF，在CAE和CBF中，ACBC=CECF=2ACE=BCF，CAECBF（ii）解：CAECBF，CAECBF，AEBF=ACBC，又CAE+CBE90，CBF+CBE90，EBF90，又AEBF=ACBC=2，AE22BF=2，BF=2，EF2BE2+BF2=12+(2)2=3，EF=3，CE22EF26，CE=6（2）如图，连接BF，ABBC=EFFC=k，BCa，ABka，FCb，EFkb，AC=AB2+BC2=k2a2+a2=ak2+1，CE=EF2+FC2=k2b2+b2=bk2+1，ACBC=ECFC=k2+1，ACEBCF，在ACE和BCF中，ACBC=E

18、CFC=k2+1ACE=BCF，ACEBCF，AEBF=ACBC=k2+1，CAECBF，又AE2，2BF=k2+1，BF=2k2+1，CAECBF，CAE+CBE90，CBE+CBF90，EBF90，EF2BE2+BF21+4k2+1，ECFC=k2+1，CEEF=k2+1k，CE3，EF=3kk2+1，1+4k2+1=(3kk2+1)2=9k2k2+1，k2=58，解得k104，ABBC=EFFC=k0，k=104（3）连接BF，同理可得EBF90，过C点作CHAB延长线于H，四边形ABCD为菱形，ABBC，设ABBCx，CBHDAB45，BHCH=22x，AC2AH2+CH2（x+22x

19、）2+（22x）2，（2+2）x2，AB2：BC2：AC21：1：（2+2），同理可得EF2：FC2：EC21：1：（2+2），EF2=EC22+2=p22+2，在ACE和BCF中，ACBC=ECFC=2+2ACE=BCF，ACEBCF，AE2BF2=AC2BC2=2+2，CAECBF，又AEn，BF2=AE22+2=n22+2，CAECBF，CAE+CBE90，CBE+CBF90，EBF90，EF2BE2+BF2，p22+2=m2+n22+2，（2+2）m2+n2p2，即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2+2）m2+n2p2 精准预测1在ABC中，ACB90，CD为高，BCnAC（1）

20、如图1，当n=32时，则ADBD的值为49；（直接写出结果）（2）如图2，点P是BC的中点，过点P作PFAP交AB于F，求PEPF的值；（用含n的代数式表示）（3）在（2）的条件下，若PFBF，则n2（直接写出结果）【点拨】（1）设AC2k，BC3k，求出AD，BD即可解决问题（2）过点P作PGAC交AB于点G证明PCEPGF，即可解决问题（3）设PFx，APnx，利用勾股定理构建方程求出n即可【解析】解：（1）如图1中，BC=32AC，可以假设AC2k，BC3k，ACBADC90，AB=13k，12ACBC=12ABCD，CD=61313k，AD=AC2-CD2=41313k，BD=9131

21、3k，ADBD=49，故答案为49（2）过点P作PGAC交AB于点GPGFCAD，GPC90，CDAB，ACB90，CAD+ACD90，ACD+PCE90，PCECAD，PCEPGF，又PFAP，CPE+APGFPG+APG90，CPEGPF，PCEPGF，PEPF=PCPG，又点P是BC的中点，AC2PG，PEPF=12BC12AC=n（3）由（2）可知PEPF=n，则可以假设PFx，APnx，GPB90，PFBF，则PFBFGFx，则AG2x，PCEPGF，GFCE=PFPE=n，则CEnGFnx，又ACB90，则AEPEnx，在RtAPF中，AP2+PF2AF2，则x2+（2nx）2（3

22、x）2，n=2，故答案为22在线段AB的同侧作射线AM和BN，若MAB与NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P（1）如图，当射线AM，BN交于点C，且ACB60时，求APB的度数；（2）当AMBN时，请画出示意图，写出此时AF，AB，EB长度之间的等量关系，并给予证明；（3）在（1）的条件下，即当射线AM，BN交于点C，且ACB60时，请写出此时AF，AB，EB长度之间的等量关系，并给予证明【点拨】（1）由三角形内角和可得CAB+CBA120，由角平分线的性质可得PAB+PBA=12（CAB+CBA）60，再由三角形内角和定理可求解；（2）由角平分线的性质和平行线的性

23、质可得EABAEB，AFBABF，可得ABAFBE；（3）在AB上取一点G，使AGAF，由“SAS”可证PAGPAF，可得APFAPG60，由“ASA”可证BPGBPE，可得BGBE，即可求解【解析】解：（1）ACB+CAB+CBA180，且ACB60，CAB+CBA120，AE平分CAB，BF平分ABC，PAB=12CAB，PBA=12CBA，PAB+PBA=12（CAB+CBA）60，APB180（PAB+PBA）120（2）AFABBE，理由如下：如图1，AE平分MAB，BF平分ABN，FAEBAE，ABFEBF，AMBN，FAEAEB，AFBFBE，EABAEB，AFBABF，ABBE

24、，AFAB，ABAFBE，（3）AF+BEAB如图2，在AB上取一点G，使AGAF，AE是BAM的角平分线，PAGPAF，在PAG和PAF中，AF=AGPAF=PAGAP=AP，PAGPAF（SAS），APFAPG，APB120APFBPE180APB60，APG60BPGAPBAPG60BPE，BF是ABC的角平分线，PBGPBE，在BPG和BPE中，BPG=BPEBP=BPPBG=PBE，BPGBPE（ASA），BGBE，AF+BEAB3在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，

25、C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为（090）（I）如图，当30时，求点D的坐标；（）如图，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）【点拨】（I）过点D作DGx轴于G，由旋转的性质得出ADAO6，OAD30，DEOB8，由直角三角形的性质得出DG=12AD3，AG=3DG33，得出OGOAAG633，即可得出点D的坐标为（633，3）；（）过点D作DGx轴于G，DHAE于H，则GADH，HADG，由勾股定理得出AE=AD2+DE2=62+82=10，由面积法求出DH=245，得出OGOAGAOADH=65，由勾股定理得出DG=18

26、5，即可得出点D的坐标为（65，185）；（）连接AE，作EGx轴于G，由旋转的性质得出DAEAOC，ADAO，由等腰三角形的性质得出OACADO，得出DAEADO，证出AEOC，由平行线的性质的GAEAOD，证出DAEGAE，证明AEGAED（AAS），得出AGAD6，EGED8，得出OGOA+AG12，即可得出答案【解析】解：（I）过点D作DGx轴于G，如图所示：点A（6，0），点B（0，8）OA6，OB8，以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，ADAO6，OAD30，DEOB8，在RtADG中，DG=12AD3，AG=3DG33，OGOAAG633，点D的坐标为（633

27、，3）；（）过点D作DGx轴于G，DHAE于H，如图所示：则GADH，HADG，DEOB8，ADEAOB90，AE=AD2+DE2=62+82=10，12AEDH=12ADDE，DH=ADDEAE=6810=245，OGOAGAOADH6-245=65，DG=AD2-AG2=62-(245)2=185，点D的坐标为（65，185）；（）连接AE，作EGx轴于G，如图所示：由旋转的性质得：DAEAOC，ADAO，OACADO，DAEADO，AEOC，GAEAOD，DAEGAE，在AEG和AED中，AGE=ADE=90GAE=DAEAE=AE，AEGAED（AAS），AGAD6，EGED8，OGO

28、A+AG12，点E的坐标为（12，8）4ABC中，ACBC，ACB，点D是平面内不与点A和点B重合的一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，连接AE、BE、CD（1）如图，点D与点A在直线BC的两侧，60时，AECD的值是1；直线AE与直线CD相交所成的锐角的度数是60度；（2）如图，点D与点A在直线BC两侧，90时，求AECD的值及直线AE与直线CD相交所成的锐角AMC的度数；（3）当90，点D在直线AB的上方，SABD=12SABC，请直接写出当点C、D、E在同一直线上时，BECD的值【点拨】（1）延长AE，CD交于点H，由“SAS”可证ABECBD，可得AECD，DCBB

29、AE，即可求解；（2）通过证明ABECBD，可得AECD=ABCB=2，BAEBCD，可求AMC4；（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和三角形中位线的性质可求解【解析】解：（1）如图1，延长AE，CD交于点H，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，DEBD，BDE60，BDE是等边三角形，BDBE，DBE60，ABC是等边三角形，ABBC，ABCDBE60，ABECBD，且BEBD，ABBC，ABECBD（SAS）AECD，DCBBAE，AECD=1，BAC+ACB120，BAE+CAE+ACB120，CAE+ACB+BCD120CAE+ACH120，AHB60，故答案为：1，60（2

30、）ACBC，ACB90，AB=2BC，ABC45，将线段DB绕点D顺时针旋转90得到线段DE，DEBD，BDE90，BE=2BD，DBE45，DBEABC，ABECBD，且ABBC=2=BEBD，ABECBD，AECD=ABCB=2，BAEBCD，BAC+ACB135ACB+CAM+BAE，ACB+CAM+BCDCAM+ACM135，AMC45；（3）若点D，点A在直线BC两侧，如图3，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，SABD=12SABC，点D在直线GH上，ACBBDE90，ACBC，DEBD，CABCBA45，DEBDBE45，BE=2BD，点G，点H分别是AC，BC的中点，GHAB

31、，DHBABC45，点C、E、D三点共线，CDB90，且点H是BC中点，DHCHBH，HCDHDC，且HCD+HDCBHD45，HCDHDC22.5，BEDBCE+CBE45，BCECBE22.5，BECE=2BD，CDCE+DE（2+1）BD，BECD=22+1=2-2；若点A，点D在直线BC同侧，如图4，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，SABD=12SABC，点D在直线GH上，ACBBDE90，ACBC，DEBD，CABCBA45，DEBDBE45，BE=2BD，点G，点H分别是AC，BC的中点，GHAB，DHCABC45，点C、E、D三点共线，CDB90，且点H是BC中点，DHCH

32、BH，HBDHDB，且HBD+HDBCHD45，HBDHDB22.5，ECB67.5，EBCEBD+DBC67.5，BCECBE67.5，BECE=2BD，CDCEDE（2-1）BD，BECD=22-1=2+2，综上所述：BECD的值为2-2或2+25在菱形ABCD中，ABC60，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120到CQ，连接DQ（1）如图1，求证：BCPDCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N求证：PMQN；若MN的最小值为23，直接写出菱形ABCD的面积为83【点拨】（1）由菱形的性质得出BCDC，BCD120，由旋转的性质得PCQC，PCQ

33、120，得出BCPDCQ，由SAS得出BCPDCQ即可（2）由全等三角形的性质得出BPDQ，得出QDCPBCPBM30在CD上取点E，使QEQN，则QENQNE，得出QEDQNCPMB，证明PBMQDE （AAS），即可得出结论；由知PMQN，得出MNPQ=3PC，当PCBD时，PC最小，此时MN最小，则PC2，BC2PC4，菱形ABCD的面积2ABC的面积，即可得出答案【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，BCDC，ABCD，PBMPBC=12ABC30，ABC+BCD180，BCD180ABC120由旋转的性质得：PCQC，PCQ120，BCDDCQ，BCPDCQ，在BCP和DCQ中，

34、BC=DCBCP=DCQPC=QC，BCPDCQ（SAS）；（2）证明：由（1）得：BCPDCQ，BPDQ，QDCPBCPBM30在CD上取点E，使QEQN，如图2所示：则QENQNE，QEDQNCPMB，在PBM和QDE中，PMB=QEDPBM=QDEBP=DQ，PBMQDE （AAS），PMQEQN解：由知PMQN，MNPQ=3PC，当PCBD时，PC最小，此时MN最小，则PC2，BC2PC4，菱形ABCD的面积2SABC2344283；故答案为：836如图，ABC中，ADBC，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DFBE，垂足为F，且AEDFEFCD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O

35、求证：（1）EAFDCF；（2）AFBDACDF【点拨】（1）证明AEFCDF，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明AOFCOD，得到AOOF=OCOD，得到AOCFOD，根据相似三角形的性质得到ACFEDF，证明BFDCFA，根据相似三角形的性质证明结论【解析】证明：（1）ADBC，DFBE，ADBDFE90，DBE+DEB90，DBE+BDF90，BEDBDF，AEFCDF，AEDFEFCD，AECD=EFDF，又AEFCDF，AEFCDF，EAFDCF；（2）AEFCDF，EFADFC，AFOEFD90，DFB90，BFDAFC，EAFDCF，AOFCOD，AOFCOD，AOOC=O

36、FOD，AOOF=OCOD，又ACFEDF，AOCFOD，ACFEDF，DBE+BEDFDE+BED90，DBEEDF，ACFDBE，又BFDAFO，BFDCFA，AFDF=ACBD，即AFBDACDF7（1）如图1，在ABC中，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，且DEBC，若AD2，AE=32，则BDCE的值是43；（2）如图2，在（1）的条件下，将ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，BDCE的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，ACBC于点C，BACADC，且tan=34，当CD6，AD3时，请直接写出线段BD的

37、长度【点拨】（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；（2）证明ABDACE，得出BDCE=ADAE=43（3）作AECD于E，DMAC于M，DNBC于N，则DMCN，DNMC，由三角函数定义得出BCAC=34，AEDE=34，得出AEAD=35，求出AE=35AD=95，DE=43AE=125，得出CECDDE=185，由勾股定理得出AC=AE2+CE2=955，得出BC=34AC=27205，由面积法求出CNDM=655，得出BNBC+CN=51520，由勾股定理得出AM=AD2-DM2=355，得出DNMCAM+AC=1255，再由勾股定理即可得出答案【解析】解：（1）DEBC，BDC

38、E=ADAE=232=43；故答案为：43；（2）BDCE的值不变化，值为43；理由如下：由（1）得：DEB，ADEABC，ADAB=AEAC，由旋转的性质得：BADCAE，ABDACE，BDCE=ADAE=43；（3）作AECD于E，DMAC于M，DNBC于N，如图3所示：则四边形DMCN是矩形，DMCN，DNMC，BACADC，且tan=34，BCAC=34，AEDE=34，AEAD=35，AE=35AD=353=95，DE=43AE=125，CECDDE6-125=185，AC=AE2+CE2=(95)2+(185)2=955，BC=34AC=27205，ACD的面积=12ACDM=12

39、CDAE，CNDM=695955=655，BNBC+CN=51520，AM=AD2-DM2=32-(655)2=355，DNMCAM+AC=1255，BD=BN2+DN2=(51520)2+(1255)2=341098如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终MAN45（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CNCD6，设

40、BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长【点拨】（1）在MB的延长线上，截取BEDN，连接AE，则可证明ABEADN，得到AEAN，进一步证明AEMANM，得出MEMN，得出BM+DNMN；（2）在DC上截取DFBM，连接AF，可先证明ABMADF，得出AMAF，进一步证明MANFAN，可得到MNNF，从而可得到DNBMMN；（3）由已知得出DN12，由勾股定理得出AN=AD2+DN2=65，由平行线得出ABQNDQ，得出BQDQ=AQNQ=ABDN=12，AQAN=13，求出AQ25；由（2）得出DNBMMN设BMx，则MN12x，CM6+x，在RtCMN中，由勾股定理

41、得出方程，解方程得出BM2，由勾股定理得出AM=AB2+BM2=210，由平行线得出PBMPDA，得出PMPA=BMDA=13，求出PM=12AM=10，得出APAM+PM310【解析】解：（1）BM+DNMN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BEDN，连接AE，四边形ABCD是正方形，ABAD，BADABCD90，ABE90D，在ABE和ADN中，AB=ADABE=DBE=DN，ABEADN（SAS），AEAN，EABNAD，EANBAD90，MAN45，EAM45NAM，在AEM和ANM中，AE=ANEAM=NAMAM=AM，AEMANM（SAS），MEMN，又MEBE+BMBM+

42、DN，BM+DNMN；故答案为：BM+DNMN；（2）（1）中的结论不成立，DNBMMN理由如下：如图2，在DC上截取DFBM，连接AF，则ABM90D，在ABM和ADF中，AB=ADABM=DBM=DF，ABMADF（SAS），AMAF，BAMDAF，BAM+BAFBAF+DAFBAD90，即MAFBAD90，MAN45，MANFAN45，在MAN和FAN中，AM=AFMAN=FANAN=AN，MANFAN（SAS），MNNF，MNDNDFDNBM，DNBMMN（3）四边形ABCD是正方形，ABBCADCD6，ADBC，ABCD，ABCADCBCD90，ABMMCN90，CNCD6，DN12

43、，AN=AD2+DN2=62+122=65，ABCD，ABQNDQ，BQDQ=AQNQ=ABDN=612=12，AQAN=13，AQ=12AN25；由（2）得：DNBMMN设BMx，则MN12x，CM6+x，在RtCMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2（12x）2，解得：x2，BM2，AM=AB2+BM2=62+22=210，BCAD，PBMPDA，PMPA=BMDA=26=13，PM=12AM=10，APAM+PM3109如图，在正方形ABCD中，AB6，M是对角线BD上的一个动点（0DM12BD），连接AM，过点M作MNAM交BC于点N（1）如图，求证：MAMN；（2）如图，连接AN，

44、O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当SAMNSBCD=1318时，求AN和PM的长；（3）如图，过点N作NHBD于H，当AM25时，求HMN的面积【点拨】（1）过点M作MFAB于F，作MGBC于G，由正方形的性质得出ABDDBC45，由角平分线的性质得出MFMG，证得四边形FBGM是正方形，得出FMG90，证出AMFNMG，证明AMFNMG，即可得出结论；（2）证明RtAMNRtBCD，得出SAMNSBCD=（ANBD）2，求出AN213，由勾股定理得出BN=AN2-AB2=4，由直角三角形的性质得出OMOAON=12AN=13，OMAN，证明PAONAB，得出OPBN=OAAB，求

45、出OP=2133，即可得出结果；（3）过点A作AFBD于F，证明AFMMHN得出AFMH，求出AF=12BD=1262=32，得出MH32，MN25，由勾股定理得出HN=MN2-MH2=2，由三角形面积公式即可得出结果【解析】（1）证明：过点M作MFAB于F，作MGBC于G，如图所示：AFMMFBBGMNGM90，四边形ABCD是正方形，ABCDAB90，ADAB，ABDDBC45，MFAB，MGBC，MFMG，ABC90，四边形FBGM是正方形，FMG90，FMN+NMG90，MNAM，AMF+FMN90，AMFNMG，在AMF和NMG中，AFM=NGMMF=MGAMF=NMG，AMFNMG（ASA），MAMN；（2）解：在RtAMN中，由（1）知：MAMN，MAN45，DBC45，MANDBC，RtAMNRtBCD，SAMNSBCD=（ANBD）2，在RtABD中，ABAD6，BD62，AN2(62)2=1318，解得：AN213，在RtABN中，BN=AN2-AB2=(213)2-62=4，在RtAMN中，MAMN，O是AN的中点，OMOAON=12AN=13，OMAN，AOP90，AOPABN，PAONAB，PAONAB，OPBN=OAAB，即：OP4=136，解得：OP=2133，PMOM+OP=13+2133=5133；（3）解：过点A作AF