学案7 对数函数.ppt

1、学案7 对 数 函 数,1.对数及对数函数是中学阶段最基本的知识点之一,也是高考的必考内容之一,高考中重点考查定义、图象和性质，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. 2.高考中以选择、填空的形式考查对数、对数函数的图象与性质，同时也以知识综合性较强的解答题形式出现，与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问题.,1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中 叫做对数的底数, 叫做真数. (2)几种常见对数,x=logaN,a,N,logaN,10,lgN,e,lgN,2.对数的性质与运算法则 (1)

2、对数的性质 = ; = (a0,且a1).,N,N,(2)对数的重要公式 换底公式: (a,b均大于零且不等于1); logab= ,推广logablogbclogcd= . (2)对数的运算法则 如果a0,且a1,M0,N0,那么: loga(MN)= ; = ; = (nR); .,nlogaM,3.对数函数的图象与性质,(0,+),R,(1,0),1,0,y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数y=ax与对数函数 互为反函数,它们的图象关于直线 对称.,y=x,y=logax,考点1 对数式的化简与求值,求下列各式的值： （1） ; （2）（lg5)2+2lg2-（l

3、g2)2.,【分析】利用对数的运算性质求值,【解析】 （1)原式 （2)原式（lg5+lg2）（lg5-lg2)+2lg2 =lg5-lg2+2lg2=lg5+lg2=1.,【评析】对数式的化简与求值的常用思路 （1）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. （2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.,计算下列各式的值:,(3)原式,考点2 对数函数的图象,已知函数f(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 ( ) A.(2 ,

4、+) B.2 ,+) C.(3,+) D.3,+),【分析】可利用数形结合画出函数f(x)的图象,解出a与b的关系变为一元函数求取值范围.,【解析】如图,图作出f(x)=|lgx|的大致图象,由f(a)=f(b)知|lga|=|lgb|, lga+lgb=0,ab=1. b= . a+2b=a+ . 由题意知01+ =3,即a+2b3. 故应选C.,【评析】本题考查函数图象及函数最值,属中档难度题.,已知不等式logaxlogbx0logcx,则 （ ） A.0c1ba B.0ba1c C.0c1ab或0ab1c D.0c1ab或0ba1c,D (设三个函数y=logax,y=logbx，y=

5、logcx,由已知条件，若x1时，三个函数的图象关系如图（1）所示，此时有0c1ab.,【解析】,【答案】,若0x1时，则三个函数的图象关系如图（2）所示，此时有0ba1c. 故应选D.),考点3 对数函数的性质,已知函数f(x)=logax(a0,a1),如果对于任意x3,+)都有|f(x)|1成立,试求a的取值范围.,【分析】当x3,+)时,必有|f(x)|1成立,可以理解为函数|f(x)|在区间3,+)上的最小值不小于1.,【解析】当a1时,对于任意x3,+),都有f(x)0. |f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3,+)上为增函数, 对于任意x3,+),有f(x)loga3

6、. 因此,要使|f(x)|1对于任意x3,+)都成立. 只要loga31=logaa即可,1a3. 当0a1时,对于x3,+),有f(x)0,|f(x)|=-f(x). f(x)=logax在3,+)上为减函数, -f(x)在3,+)上为增函数. 对于任意x3,+)都有|f(x)|=-f(x)-loga3.,因此,要使|f(x)|1对于任意x3,+)都成立, 只要-loga31成立即可, loga3-1=loga ,即 3, a1. 综上,使|f(x)|1对任意x3,+)都成立的a的取值范围是(1,3 .,【评析】本题属于函数恒成立问题,即为x3,+)时,函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成

7、立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.,已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-,1- 上是 单调递减函数.求实数a的取值范围.,令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=(x- )2-a- , 由以上知g(x)的图象关于直线x= 对称且此抛物线开口向上. 函数f(x)=log2g(x)的底数21,在区间(-,1- 上是减函数, g(x)=x2-ax-a在区间(-,1- 上也是单调减函数,且g(x)0. 1- a2-2 g(1- )0, (1- )2-a(1- )-a0, 解得2-2 a2.故

8、a的取值范围是a|2-2 a2.,即,考点4 对数函数的综合应用,函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x+1)=f(x-1)成立.已知当x1,2时,f(x)=logax. (1)求x-1,1时,函数f(x)的表达式; (2)求x2k-1,2k+1(kZ)时,函数f(x)的解析式; (3)若函数f(x)的最大值为 ,在区间-1,3上,解关于x的不等式f(x) .,【分析】由条件f(x+1)=f(x-1)得出函数f(x)是以2为周期的周期函数,这个条件是求各问的关键.,【解析】（1）f(x+1)=f(x-1),且f(x)是R上的偶函数， f(x+2)=f(x)= loga

9、(2+x),x-1,0 loga(2-x),x0,1. (2)当x2k-1,2k时， f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k), 同理，当x2k,2k+1时，f(x)=loga(2-x+2k). f(x)= loga(2+x-2k),x2k-1,2k loga(2-x+2k),x2k,2k+1(kZ).,(3)由于函数以2为周期,故考查区间-1,1. 若a1,loga2= ,即a=4. 若0a1,则loga(2-1)=0 ，舍去, a=4. 由(2)知所求不等式的解集为 x(-2+ ,2- )( ,4- ).,【评析】利用函数的性质、周期性、奇偶性，求出函数表达式，再求其他问题.,已

10、知函数f(x)=loga(2-ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在0,1上是关于x的减函数?若存在，求a的取值范围.,解:a0，且a1, u=2-ax在0,1上是关于x的减函数. 又f(x)=loga(2-ax)在0,1上是关于x的减函数， 函数y=logau是关于u的增函数，且对x0,1时，u=2-ax恒为正数. 其充要条件是 ，即 1a2. a的取值范围是（1，2）.,1.2010年高考四川卷2log510+log50.25=( ) A.0 B.1 C.2 D.4 2.2011年高考天津卷已知a= , b= ,c= 则 ( ) A.abc B.bac C.acb D.cab,由于对数函数y=logax的图象和性质与底数a的取值范围密切相关.当a1时，函数y=logax在定义域内为单调增函数，当0a1时，函数y=logax在定义域内为单调减函数，因此当题目条件中所给的对数函数的底数含有参数时，常以底数的取值范围为分类标准进行分类讨论求解.,1.指数函数y=ax与对数函数y=logax