全概公式, 逆概公式(贝叶斯公式)补充.ppt

1、设A1,A2,An为样本空间的一个划分,则对任一事件B，,定理3.1, 3.2 全概公式, 逆概公式(贝叶斯公式),有,练习 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球。,某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率。,若摸出一球为红球，求取之于各箱的概率。,解：记 B =取得红球 , Ai=球取自i 号箱, i =1,2,3;,则事件A1, A2, A3 构成一完备事件组,由全概公式,由逆概公式,(习题3.1第20题)有12只新乒乓球，每次比赛从中取3只，使用后变旧球放回，求第三次取出的3只都是新球的概率.,因为第一次使用

2、放回后成了9新3旧, 所以有,A1=“第二次取3旧”, A2=“第二次取1新2旧”, A3=“第二次取2新1旧”, A4=“第二次取3新”,解 记B=“第三次取3新”,则A1,A2,A3,A4为样本空间的一个划分，,(习题3.1第23题)一批产品中有96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格的概率为0.98,而误将次品判为合格的概率为0.05,求此方法检查出合格品的概率和检查出合格品确为合格品的概率.,解:,设 B =检查合格 ，A =产品合格，,所求为 P(B)和 P(A|B).,(习题3.1第23题)某地甲状腺机能低下(A1)、正常(A2) 、亢进(A3)三类人各占

3、15%,65%和20%,如果就“食欲亢进” (B) 而言，资料显示,解:,由全概公式,现有1人新近食欲大增，分析此人甲状腺机能低下、正常和亢进的概率,由逆概公式,二、 事件的独立性,定义3.8 两个事件A与B，如果B的发生不影响A发生的概率，即P(A)P(A|B)，则称A与B独立。,定义3.8若 P(AB)P(A) P(B) ，则称事件A与B独立,注: 若A与B独立, 则B与A也独立, 即为相互独立,n个事件相互独立的概念,设A1, A2 , , An 是 n 个事件，,如果对于其中任意k (2kn)个事件，均有积的概率等于概率的积，,则称 A1, A2 , , An 为相互独立的事件,例如

4、3 个事件A1, A2 , A3 相互独立必须满足:,定理3.3,若事件A与B相互独立，则,两个结论,1. 其中任意 k (2kn) 个事件也相互独立。,2. 将A1, A2 , , An 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。,若事件 A1, A2 , , An ( n2 ) 相互独立, 则,设每一名射手命中靶的概率都是0.2,若10名射击同时向同一靶射击,问靶被射中的概率是多少?,解,事件 B 为“靶被命中”,设事件Ai为“第i名射手击中靶”, i = 1,2,10,则B = A1 A2 A10,P(B) =P(A1A2A10),例 射击问题,(1) 若事件A, B

5、独立, 且P(A) = p，P(B)= q，则,课堂练习,则当A , B互不相容（互斥）时，,当A , B 相互独立时，,(3) 已知 P(A) = p1, P(B) = p2, P(C) = p3, P(ABC) = p4, A, B, C 两两相互独立,(4) 设A,B,C是三事件，且P(A) = P(B) = P(C) = 1/3，P(AB) = P(BC) = P(AC) = 1/9, P(ABC) = 1/27, 求A,B,C 只有一个发生的概率,由题设可知，ABC相互独立，故,（5）(习题26)两个事件A,B相互独立，仅发生A与仅发生B的概率都是1/4,求P(A)与P(B),解:由

6、题设,（6）(习题28)甲乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为3/4和2/3, 现已知目标被击中,求这是甲击中的概率.,解:,设 A =甲击中, B =乙击中, C =目标被击中,例11 设三个事件 A, B, C 相互独立, 则,以上例子可以推广为:若一组事件相互独立,则任意分组进行和积差运算后各组仍相互独立。,例(习题27) 6个独立工作的元器件中每个损坏的概率都是p,如果两两串联成形成支路,3个支路并联成电路,问这个电路畅通的概率是多少?,解:,设 Ai=“第i个元器件损坏”,Bi=第i支路不通， C=电路畅通，,3个支路并联,不通的概率,电路畅通的概率为,其它2个支路不通的概率也一样为2 p - p2,由前面讨论知, B1, B2, B3相互独立,例(习题32)射手对目标独立地射击3次,每次命中率都为p,求目标被击中的概率.,或解:概率为 p 的三重伯努利试验,例(习题32) 5个水笼头,某时刻被使用的概率都为0.1,问在