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文档简介

1、学 习 重 点,第四节 数列的极限,一、概念的引入,刘徽,中国魏晋间杰出的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。幼年曾学习过九章算术，成年后又继纵深入研究。 在魏景元四年(263)注九章算术，并撰重差作为九章算术注第十卷。唐初以后，重差以海岛算经为名单行。刘,徽全面论述了九章算术所载的方法和公式，指出并且 纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上做出了杰出 的贡献。,正六边形的面积,正十二边形的面积,. .,（圆的面积）,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,数列与函数,二、数列,数列：如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列

2、 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,例如,比如:,当 时,趋于0,当 时,趋于1,当 时,不趋于任何定数,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,三、数列的极限,对于式子,通过这样 “无限接近”的分析我们给出极限的概念,通过如上分析知,所谓数列 趋于定 数A,就是 很小,要多小有多小,即:,则称常数 A是数列xn 的极限，或称数列xn 收敛于A,如果数列没有极限，就称数列是发散的。,数列极限的定义,记作,或,OK! N 找到了！,nN,NO, 有些点在条

3、形域外面！,数列极限的演示,N, 越来越小，N越来越大！,数列极限的演示,数列极限的几何意义,NN 当nN时 点xn一般落在邻域(A-e, A+e)外,当nN时 点xn全都落在邻域 (A-e, A+e ) 内,任意给定的数A的e 邻域 (A-e, A+e ), 存在,A,关于极限定义的说明,1. 是任意给定的.,2. N 与有关, 且不唯一.,3. 并不是所有的数列都有极限，如 lnn , (-1)n+1 的极限是不存在的.,4. 数列xn以 A 为极限,我们称 xn 是收敛的， 且收敛于 A. 若数列xn无极限，则称数列 xn发散。,例1,证：,所以,四、数列极限的证明方法,证明:,例2: 证明,Yes,Yes,No,No,所以,证明:,例4,对于数列xn,证,五、收敛数列的性质,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2.唯一性：每个收敛的数列只有一个极限.,矛盾，故收敛数列极限唯一.,3.保号性.,设,均为收敛数列.,若存在正整数,使得当,时有,则,证明：,(1),(2),令,则当,时有,由,的任意性,得,4.保序性,5.子数列的收敛性,例如，,定理 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,思考与练习,如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,1，概念的

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