从历史到课堂—汪晓勤教授讲座.ppt

1、普陀 2017-11-01,从历史到课堂 数学教师专业发展的一个视角,汪晓勤 华东师范大学教师教育学院,从历史到课堂,一门科学的历史就是这门科学本身。,J. W. von Goethe (1749-1832),引 言,歌 德,歌德颜色理论序,引 言,自1972年开始HPM成为数学教育的富有特色的研究领域,引 言,教学取向的数学知识（MKT）的构成,案例1 三角形内角和,从泰勒斯的故事引入泰勒斯的发现,三角形内角和的发现,案例1 三角形内角和,小组合作，探究一般三角形的内角和,案例1 三角形内角和,等腰三角形拼图方案,案例1 三角形内角和,不等边三角形拼图方案,案例1 三角形内角和,案例1 三角

2、形内角和,在拼图方案1中，锁定某个三角形，通过添加辅助线来说理。, 三角形内角和的说理,案例1 三角形内角和,第 1 组的方案：锁定下中三角形。与毕达哥拉斯的证明相同,案例1 三角形内角和,第2组的方案：锁定下中三角形。与19世纪末美国教科书上的证明相同,案例1 三角形内角和,第 3 组的方案：锁定下中三角形。与克莱罗的证明相同,案例1 三角形内角和,第 4 组的方案：锁定下中三角形。与欧几里得的证明相同,案例2 均值不等式,问题1：如图，设AC = a，CB = b，CD AB，证明 CD是 AC 和 CB 的几何中项。（几何原本第6卷命题13）,问题2：根据该图，你能给出正数a和b的算术中

3、项与几何中项之间的大小关系吗？,案例2 均值不等式,问题3：若1/a，1/c，1/b构成等差数列，则称 c 为 a 和 b 的调和中项。如图，过点 C 作 CE OD，证明 DE 是 AC 和 CB 的调和中项。（帕普斯作图法）,问题4：根据该图，你能给出a和b的算术中项、几何中项和调和中项之间的大小关系吗？,案例2 均值不等式,问题5：以O为圆心，OC为半径作半圆，过点O作OD的垂线，交半圆于F，证明 DF 是 AC 和 CB 的均方根（平方平均）。（帕普斯作图法）,问题6：根据上述作图法，你能给出正数a和b的算术中项、几何中项、调和中项和均方根之间的大小关系吗？,问题5：一根垂直悬挂的杆子

4、，从地面上哪点看上去它最长（雷格蒙塔努斯最大视角问题）？,案例2 均值不等式,案例3 点到直线的距离公式,面积法,案例3 点到直线的距离公式,三角法,案例3 点到直线的距离公式,最值法,教学设计,案例4 用字母表示数,公元前1700年,16世纪,公元3世纪,古巴比伦人,修辞代数： 用文字来表达一个方程,丢番图,缩略代数： 用字母表示未知数,符号代数 用字母表示任意数,韦 达,案例4 用字母表示数,案例4 用字母表示数,问题1：一个量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求该量。,案例4 用字母表示数,问题2：已知两数的和与差，你能求出这两个数吗？,案例4 用字母表示数,问题3：搭

5、5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个正方形呢？,4,4+13,4+23,4+33,生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3,几何原本卷11之棱柱定义 一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。,案例5 棱柱的概念,Wentworth & Smith(1913)之棱柱定义： 有两个面为平行平面上的全等多边形、其他面均为平行四边形的多面体叫棱柱。,案例5 棱柱的概念,案例5 棱柱的概念,历史上的棱柱定义分布,案例5 棱柱的概念,棱柱定义的演进, Schuyler(1876)最早对欧氏定义进行改进。 棱柱是一个

6、多面体，它有两个面为全等、平行的多边形且对应边平行，其余各面均为以全等多边形对应边为底的平行四边形。,案例5 棱柱的概念,Stone & Millis (1916)的定义：棱柱是这样的多面体，它的两个面为平行平面上的全等多边形，其余各面均为平行四边形、且有一组对边分别为这两个全等多边形的对应边。,案例5 棱柱的概念,案例5 棱柱的概念, 尝试对空间几何体进行归类,案例5 棱柱的概念,几何体的分类，引出多面体,案例5 棱柱的概念,多面体的分类，引出棱柱,案例5 棱柱的概念, 棱柱定义的初步构建,任务：用自己的语言，以小组为单位尝试给棱柱下一个定义。 经过5分钟的讨论，学生逐渐提交成果，笔者将学生

7、的定义分成7类，分别用D1、D2、D7表来示，见下表。,案例5 棱柱的概念,案例5 棱柱的概念,学生用斜棱柱拼接形成D2的一个反例,D2：两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。, 棱柱定义的不断完善,D2的反例,案例5 棱柱的概念,D2的历史相似性,几何原本卷11之棱柱定义 一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。,PPT展示欧几里得的画像与几何原本中的棱柱定义。,案例5 棱柱的概念,教师用8个菱形、4个正方形磁力片现场拼出这个反例，如图4。,案例5 棱柱的概念,案例6 三角形中位线定理,问题1：如何将三角形土

8、地四等分？（背景故事：古代巴比伦四兄弟分土地问题。）,分割方案之一,分割方案之二,分割方案之三,案例6 三角形中位线定理, 中位线定义,分割方案之三,问题2：将方案三中的四个三角形剪下来放到一起，发现它们是重合的。据此，你能发现中位线与底边有怎样的大小关系和位置关系？,案例6 三角形中位线定理,S1的证法,问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？,案例6 三角形中位线定理,问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？,S2的证法,案例6 三角形中位线定理,问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？,S3的证法,案例6 三角形中位线定理,问题3：如何证明

9、三角形中位线与底边的大小关系和位置关系？,S4的证法,案例6 三角形中位线定理,视频：三角形中位线定理的历史,欧几里得与中位线定理,案例6 三角形中位线定理,问题4：为什么分割方案3中的四个三角形两两全等？,分割方案之三,案例6 三角形中位线定理,问题5：你觉得哪一种分割方案最好？,分割方案之一,分割方案之二,分割方案之三,案例6 三角形中位线定理,案例7 函数的概念,函数概念的历史,总之有自变量、因变量且一个 x 有且仅有一个 y 的值与其对应的式子,案例7 函数的概念,问题1：初中数学中的函数是怎么定义的？,L. Euler (1707 1783),案例7 函数的概念, 欧拉的函数定义(1

10、748)：,一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。 无穷分析引论, 德摩根代数学的定义(1837)：,A. de Morgan (1806-1871),案例7 函数的概念,Any expression which contains x in any way is called a function of x.,李善兰的译文：“凡式中含天，为天之函数。”这便是中文“函数”名称的由来。,案例7 函数的概念,案例7 函数的概念,问题2：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之间的关系能否用一个解析式来刻画呢？,如果某个量依赖

11、于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。 微分学基础,L. Euler (1707 1783),案例7 函数的概念, 欧拉的新定义（1755）：,课前的问卷调查表明：161人中有65人认为它不是函数关系，占比40.37%。理由是： y 不随 x 的变化而变化； 没有 y 与 x 的关系式； x 与 y 之间没有关系； y没有依赖 x 的变化而改变， ,案例7 函数的概念,问题2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。, 狄利克雷的现代定义（1837）：,设 a、b 是两个确定的值，x 是可取 a、b 之间一切值的变量。如果对于每一个 x，有唯一有限的 y 值与它对应,当x连续变化时，y 也随之变化那么 y 叫做 x 的函数。,L. Dirichlet（1805-1859）,案例7 函数的概念,案例7 函数的概念,案例8 和角公式,问题：你能用下面两对直角三角形拼成一个长方