傅里叶级数课程及习题讲解

1、第十五章傅里叶级数15.1傅里叶级数基本内容一、傅里叶级数在幂级数的讨论中，可以看作是经函数系出现在线性表中。 说到化学基，不同的化学基有不同的级数。 现在以三角函数系为化学基，得到傅里叶级数一三角函数系函数列称为三角函数系，有以下两个重要性质(1)周期性的各函数是周期的周期函数(2)正交性任意两个不同函数的乘积的积分相等零，任何函数的平方上的积分都不等于零在可积函数系中，将两个函数的内积如果，函数系被称为正交系原因；，因此，三角函数系具有正交性，所以称为正交系.由三角函数系构成的级数称为三角级数，在此为常数设为2周期的傅里叶级数定义1可以将函数堆积到上面；，被称为函数的傅立叶系数，三角级数所

2、谓的傅里叶级数。在此不使用等号是因为函数不知道用定义1得到的系数得到的傅里叶级数是否收敛二、傅里叶级数收敛定理定理1周期的函数在上面逐段平滑的话，这里是的傅里叶系数定义2的话，称为上平滑存在存在另外，只要有限个点存在的左、右极限不相等，上推段就会平滑。几何解释图每段的光滑函数图像是有限的由光滑曲线段构成，最大限度有限个第一类间缺点和拐角点假设推论是周期性的连续函数，并推一推段落顺畅的话有的定义3有定义，函数叫做周期延展二练习题解答在1指定区间内将以下函数展开为傅里叶级数(一)；解：周期延展的图像如下因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开由系数式得到就是这样当时，所以，为了寻求周期性延展的图像如

3、下所示因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开由系数式得到就是这样当时，所以，为了寻求(2)；解：周期延展的图像如下因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开由系数式得到就是这样当时，所以，为了寻求解：周期延展的图像如下因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开由系数式得到就是这样当时，所以，为了寻求(3)。解：进行函数、周期延展的图像如下所示因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开由系数式得到就是这样当时，所以为了寻求作为2周期性的积函数，对于任何实数，就是这样证：因为都认为是周期性的积函数，所以有就是这样因此就是这样可以做同样的事情就是这样将三个函数展开为傅里叶级数，然后推出(1)(2)；(3)。解：

4、进行函数、周期延展的图像如下所示因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开由系数式得到就是这样当时，就是这样，所以求取的话由得，所以取的话，所以。设4函数满足条件，询问包含该函数的傅里叶级数具有怎样的特性解：因为符合条件所以我认为是周期的函数由系数式得出就是这样当时，就是这样，因此，包含函数的傅里叶级数的特性假设5函数满足条件：询问包含该函数的傅里叶级数具有怎样的特性解：因为符合条件所以我认为是周期的函数。 由系数式得出就是这样当时，就是这样，因此，包含函数的傅里叶级数的特性6所谓实证函数系都是以上的正交函数系，但他们合成的不是以上的正交函数系证明：关于函数系因为，又来了的情况就是这样所以上面是正

5、交系关于函数系因为，另外，有时就是这样所以上面是正交系但是并不是上面的正交系模因：求七次函数的傅里叶级数展开式(一)；解：进行周期性延展的图像如下所示因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开由系数式得到就是这样当时，所以，为了寻求(2)；解：进行周期性延展的图像如下所示因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开因为由系数式得出就是这样当时，就是这样就是这样所以。有时候，因此，求出.(三)；解：由系数式得出就是这样当时，故乡为了寻求由系数式得到就是这样当时，故乡为了寻求(四)；解：由系数式得出就是这样当时，所以。，所以所以，为了寻求(5)。解：由系数式得出就是这样当时。，所以所以，为了寻求求8函数的傅

6、里叶级数展开式，应用它进行发售解：由得到，然后，从收敛定理得出就是这样设为9以上光滑函数，且设为傅立叶系数，设为的导函数的傅立叶系数。证：因为是上光滑函数，所以是上连续函数，所以可以装载由系数式得到就是这样当时，就是这样所以结论成立10证明：如果三角级数中的系数满足关系，并且是常数，则上述三角级数收敛，其和函数具有连续的导函数证明书：定径套、于是，上面连续且上面也是连续的又来了就是这样收敛所以上一致收敛。因此，原则且上连下15. 2周期函数的展开基本内容一、作为周期函数的傅里叶级数如果置换为周期的函数是周期的函数可以堆在上面，可以堆在上面于是，其中令得，因此。在那之中就是这样我认为上式是周期函

7、数的傅里叶系数。 也是平滑的条件就是这样因为只包含侑弦项，所以叫侑弦级数同样，如果设为周期的奇函数奇、偶于是，就是这样因此。这只包含正弦项，所以称为正弦级数由此可见，函数展开成侑弦级数必须偶延展偶延展展开函数开成正弦级数要奇延展奇延展就是这样二练习题解答求一阶周期函数的傅里叶级数展开式(1) (周期)解：函数，延展后的函数如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数因此，根据系数式得到就是这样当时，就是这样就是这样所以，为了寻求(2) (周期1 )解：函数，延展后的函数如下图所示因为逐段平滑，所以能在傅里叶级数上展开因此，根据系数式得到就是这样当时，就

8、是这样就是这样因此，求出.(3) (周期)解：函数，延展后的函数如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数因此，根据系数式得到就是这样当时，就是这样就是这样因此，求出.(4) (周期)。解：函数，延展后的函数如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数因此，根据系数式得到就是这样当时，就是这样就是这样所以。求二函数的傅里叶级数，并研究其收敛性解：函数，延展后的函数如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数因此，根据系数式得到就是这样当时，就是这样就是这样因此，求出.

9、将三函数向上展开为侑弦级数解：函数、偶延展后的函数如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数由系数式得到就是这样当时，就是这样就是这样故。将四函数向上展开成正弦级数解：函数、偶延展后的函数如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，又因为是奇函数，所以其展开式是正弦级数由系数式得到就是这样所以在上面寻求五个函数向上展开成侑弦级数解：函数，延展后的函数如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数因此，根据系数式得到就是这样当时，所以才要求6函数向上展开成侑弦级数，上市就是这样解：函数、延展作为周期的函数如

10、下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数因为l=0.5，所以可以从系数式中得出就是这样当时，就是这样就是这样所以命令就行了求七次函数的傅里叶级数展开式(一)；解：函数为周期性函数时如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，又因为是奇函数，所以其展开式是正弦级数由系数式得到就是这样所以。(2)。解：函数为周期性函数时如下图所示因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数由系数式得到，当时，就是这样就是这样所以。在区间内如何延长在8上定义的可积函数，询问将傅里叶级数做成以下形式(一)； (2)。解： (1)要首先延

11、长到上面，请：；向上延长，如下所示就是这样其图像如下所示。因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数由系数式得到，当时。就是这样所以(2)先拉伸至上，方法如下：；进一步延长到上面的方法如下所示就是这样其图像如下所示。因为逐段平滑，所以可以展开成傅里叶级数，因为是偶函数，所以其展开式是侑弦级数由系数式得到，当时，就是这样所以15. 3收敛定理的证明基本内容一、贝塞尔不等式定理1上积的话，这里是的傅里叶系数如果推论1是可积分的，如果推论2是可积分的，就是这样定理2周期的函数在上面累积的话，将其称为傅里叶级数的部分和的积分式二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理)

12、周期的函数在上段平滑时，如果定理4上有有限导函数或有限的两个单侧导函数就是这样定理如果是五阶单调的话就是这样二练习题解答假设1周期，具有二次连续的导函数，证明的傅里叶级数以上一致收敛证：主题所知的是被认为是周期的函数，很光滑所以，然后。当时，就是这样于是就是这样从贝塞尔不等式收敛和收敛，收敛上一致收敛作为二元可积函数，证明如果下一傅里叶级数向上一致收敛，则贝塞尔方程成立，这里是傅里叶系数证明：设置的傅里叶级数因上一致而收敛所以就是这样所以.然后就是这样所以有时候，故。3贝塞尔方程对于上面满足收敛定理条件的函数也成立，请应用该结果证明以下各项(一)； (2)； (3)。解： (1)取，从1练习题

13、3得到就是这样从贝塞尔方程式得出即。(2)取而代之，从1个练习题1 (1)得到就是这样从贝塞尔方程式得出故。(3)取而代之，从1练习题1 (2)得到就是这样从贝塞尔方程式得出故。4证明：如果都是累计函数，并且他们的傅里叶级数在上面分别和一致地收敛的话就是这样这里是的傅立叶系数，是的傅立叶系数证明：从问题上知道就是这样于是然后，所以5证明如果该导函数可以一起堆在上面，然后使贝塞尔方程式成立就是这样因为可以堆在上面。安装，由系数式得到就是这样当时，就是这样从贝塞尔方程式得出就是这样总练习题15求一个三角多项式的傅里叶级数展开式解：因为是周期性的光滑函数，所以可以在傅里叶级数上展开由系数式得到，当时，因此，的傅里叶级数是其本身2设为可积函数傅里叶系数在当时积分取最小值，最小值为就是这样上述是第一题中的三角多项式，是其傅里叶系数证明：设置，然后，因为，然后，所以所以当时积分取最小值，最小值为就是这样具有三个周期且二次连续的可微函数，级数绝对收敛的话就是这样证明：由于具有周期性且二次连续的微小函数所以就是这样即，因此绝对收敛和收敛所以收敛就是这样