大学数学---初等数论.ppt

1、大学数学，初等数论，线性代数的射影几何概率统计，初等数论，赵征电子邮件：前言，初等数论是研究“整数”性质的一个非常古老的数学分支。它的基本部分集中于整数的可除性，包括可除性、不定方程、同余、连续分数、素数(即整数)分布和数论函数等。初等数论的大部分内容最早出现在古希腊的欧几里德几何中。欧几里得证明了素数是无限的，他还给出了一种求两个自然数的最大公约数的方法，这就是欧几里得算法。中国古代对数论也有杰出的贡献。现在，一般数论书中的“中国剩余定理”是中国古代孙子兵法第二卷第二十六题，在中国被称为“孙子定理”。现代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯的工作。1801年，高斯的算术探究

2、是数论划时代的杰作。数学是科学之王，数论是数学之王。-高斯，欧几里德高斯，费马，欧拉，拉格朗日毕达加斯。20世纪以来，引入了抽象数学和高级分析的巧妙工具，数论得到了进一步发展，拓宽了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论和几何数论等新的分支。此外，近年来，初等数论已广泛应用于计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域，这无疑同时促进了数论的发展。数论以其严密性和简洁性而闻名，其内容丰富而深刻。我将介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家对这门学科感兴趣，并对中小学学到的一些基本概念有更深的理解，如可除性、最大公因式、最小公倍数、轮换除法等。第一章是整数的可除性。1.1可分性的概念。1

3、.基本概念1。自然数，整数2，正整数，负整数3，奇数和偶数。一个属性：整数整数=整数整数整数-整数=整数整数整数*整数=整数。2.分裂。1.定义：让A和B是整数，b0。如果有一个整数q构成这个方程：a=bq成立，那么据说b可以被a整除，或者a可以被b整除，并记录为ba；如果这样的q不存在，据说b不能完全除a。2，可除性的本质，(1)如果ba，cb，那么ca。(2)如果ba，则cbca。(3)如果ca，那么对于任何整数d，cda。(4)如果ca，cb，那么对于任何整数m，n，有cma nb。(5)如果ab，ba，那么a=4。余数除法，定理：假设A和B是两个整数，其中b0存在两个唯一的整数Q和R，

4、这使得a=bq和0rb成立。我们称R为B除以A的余数。可以看出，B精确除A的充要条件是r=0。1.2最大公因数和按匝数和相位划分，1 .最大公因数1。假设a1、a2和an是n个不全为零的整数。如果整数d是它们中每一个的因子，那么d被称为a1、a2和an的公共因子。整数的最大公因数称为它们的最大公因数，表示为(a1，a2，an)。假设a1、a2和an是n个不全为零的整数。如果(a1，a2和an)=1，那么a1，a2和an被认为是互质的。注意：三个质数必须成对质数。例如，(3，4，6)=1，但(3，6)=3，(4，6)=2。3，最大公因数的性质，(1)当ba，(A，B)=B)m(4 2)A和B的所

5、有公因数都是(A，b) B)=(c，b) (5)如果(A，b)=1，bac，那么就有bc。(6)如果A，B和C是任意三个正整数，那么(A，b)=d的充要条件是：4。扭曲和分割，一个推论，如果甲和乙是正整数，示例1:查找(735000，238948)。解决方案：因为735000=2389483 18156，238948=1815613 2920 18156=29206 636 2920=6364 376 636=3761 260 376=2601 116 260=1162 28 116=284 428=47 so(735000，2380，示例3:查找(2660)，因为3245=26051 118

6、0，2605=11801 885 1180=8851 295 885=2953，(2605，3245)=295。7250=29524 170，295=1701 125 170=1251 45 125=452 35 45=351 10 35=103 510=52，所以(2605，3245，7250)=(295，7250)=5 244，555)。1.3最小公倍数1。定义，2 .最小公倍数的性质，1。定理：例1:找到3468，24871。解：(3468，24871)=17。所以3468，24871=。321.3.寻求125，725，1125，2015的可除性测试。1.4整数。1.十进制整数的含义：每

7、个数字的加权和。2.进位制，这是一种数数的方法，有限的数在不同的位置代表不同的值。可以使用的数字符号的数量称为基数，基数为n，可以称为n进位制。目前最常用的是十进制，十个阿拉伯数字0-9通常用于计数。进位制，通用进位制：二进制广泛用于计算机三进制，三进制用于军用十进制。十六进制中最常用的时间、月份和十几个项目在计算机十六进制中被广泛使用。二、可除性的判别方法，判别方法1:(整数可被2整除)如果一个整数的最后一个数可以被2整除，那么这个数就可以被2整除。也就是说，如果2a0，那么2 N。判别式2:(整数可被5整除)如果一个整数的最后一个数可以被5整除，那么这个数可以被5整除。也就是说，如果5a0

8、，5N。判别式3:(可被3整除的整数)如果一个整数的位数之和可以被3整除，那么这个数就可以被3整除。也就是说，如果3an an-1 a1 a0，那么3 n .判别式4:(整数可被9整除)如果一个整数的所有数字之和可以被9整除，那么这个数可以被9整除。也就是说，如果9an-1 a1 A0，那么9 N，2。可除性判别法，判别法5: (integer可被11整除)如果一个新的少于3位的整数通过去掉它的最后三位数字而得到的数和由整数的最后三位数字组成的数之间的差可以被11整除，那么该整数可以被11整除。然后是11N。判别式6: (integer可被13整除)如果一个新整数的三位数小于通过去掉一个整数的

9、最后三位数而得到的最后三位数之间的差可以被11整除，那么这个整数可以被11整除。如果是，则为13N。第2章不定方程，2.1二元线性不定方程，1。齐次方程，2。非齐次方程。推论1:如果(a，b)=1，那么方程(1)有一个整数解。推论2:如果(a，b)c，那么方程(1)没有整数解。第四，用整数分离法求解不定方程。具体步骤如下：1 .将不定方程变形，用系数绝对值较大的未知数来表示系数绝对值较小的未知数；2.将1中的代数表达式分解为一个代数表达式和一个分数的和；3.通过观察等方法，分数为整数，通过筛选得到不定方程的整数解。例3，例4:解下列不定方程，5。不定方程，例2:解不定方程，练习，2.2多元线性

10、不定方程，1。三元线性不定方程1。解的存在定理：三值线性不定方程ax=cz=d有整数解的充要条件是(a，b，c) d，其中a，b，d通解：第三章：同余的概念和性质3.1；第二，同余的性质；定理：同余关系是等价的，即(1)自反性aa(mod m)。(2)如果对称性是ab(mod m)，那么ba(mod m)。(3)传递性是ac(mod m)，如果ab(mod m)，bc(mod m)。在定理中，让A，B，C和D是整数，M是正整数。如果ab(mod m)和cd(mod m)，那么：(1)axcybxdy(mod m)，X和Y是任意整数，即同余可以相加；(2)acbd(mod m)，即同余表达式可以

11、相乘；(3)anbn(mod m)，n0；(4)f(a)f(b)(mod m)，其中f(x)是任何整数多项式。(1)因为ab(mod m)，cd(mod m)，所以m|(ab)，m|(cd)，所以m|(ab)x(cd)y)，即m|(axcy)(bxdy)，所以axcybxdy(mod m)。(2)因为ab(mod m)，cd(mod m)，所以m|(ab)，m|(cd)，所以m|(ab)c(cd)b)，即m|(acbd)，所以acbd(mod m)。因为ab(mod m)，有一个整数q组成abmq。因此：anbn(bmq)nbn(bnbnbn-1(MQ)1 B1(MQ)n-1(MQ)n)bnmp，其中p是整数。因此，anbn(mod m)。(4)由(1)和(3)证明。定理如果acbc(mod m)和(c，m)d，那么ab(mod m/d)证明(c，m)d得到(c/d，m/d)1。从acbc(mod m)获取m|(acbc)，所以(m